几种定积分的数值计算方法
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
一元函数的定积分与定积分的计算
一元函数的定积分与定积分的计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算一元函数在给定区间上的面积、曲线长度、体积等问题。
本文将介绍一元函数的定积分以及常见的定积分计算方法。
一、一元函数的定积分在介绍定积分之前，我们先来回顾一下导数的概念。
对于一元函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点处的瞬时变化率。
类似地，定积分可以看作是函数在一定区间上的累积变化量。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，把[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上选择一个点ξi，并计算出f(ξi)。
将Δx 逐渐趋近于0，ξi逐渐靠近区间[a, b]的端点，可以得到如下极限：∑f(ξi)Δx → ∫f(x)dx其中∑表示求和，Δx表示小区间的长度，ξi表示取点的位置，∫表示定积分，f(x)dx表示被积函数。
定积分∫f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的区域的面积。
根据定积分的定义，我们可以将定积分分为两种情况：1. 当被积函数f(x)为非负函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的面积；2. 当被积函数f(x)为有正负之分的函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的有向面积，即正面积减去负面积。
二、定积分的计算方法计算定积分的方法多种多样，这里介绍几种常见的方法。
1. 几何法：根据定积分的几何意义，可以通过几何图形的面积公式计算定积分的值。
具体步骤是将被积函数对应的图形分割成几何形状简单的子图形，计算每个子图形的面积，然后将这些面积相加得到定积分的近似值。
2. 基本积分法：定积分的计算可以通过求导的逆操作——积分来实现。
根据函数的导数与原函数的关系，可以利用一些基本积分公式对被积函数进行积分。
常见的基本积分公式包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的重要关系。
定积分的基本计算方法
定积分的基本计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来了解一下定积分的定义。
定积分是一个数学上的概念，它表示在一个区间上函数数值的总和。
在数学符号上，我们可以用∫表示定积分，其中∫a^b f(x)dx表示在区间[a, b]上函数f(x)的定积分。
这个符号中，a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数，dx表示自变量的微元。
接下来，我们将介绍定积分的基本计算方法。
在实际计算中，我们通常会用到定积分的基本性质和积分表。
定积分的基本性质包括线性性、区间可加性、积分中值定理等。
通过这些性质，我们可以将复杂的定积分计算化简为简单的代数运算。
另外，积分表是我们在计算定积分时经常会用到的工具。
积分表中包含了许多常见函数的积分表达式，我们可以通过查表的方式来进行定积分的计算。
当然，对于一些特殊的函数，我们也可以通过换元积分、分部积分等方法来进行计算。
除了基本性质和积分表，我们还需要掌握定积分的计算步骤。
在进行定积分计算时，我们需要先确定被积函数，然后确定积分的上下限，接着根据被积函数的性质选择合适的计算方法，最后进行具体的计算步骤。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用。
在数学领域，它可以用来求曲线下面积、求函数的平均值等；在物理领域，它可以用来求物体的质量、质心、转动惯量等。
因此，掌握定积分的基本计算方法对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
总之，定积分是微积分中的重要内容，掌握定积分的基本计算方法对于我们的学习和工作都是非常重要的。
通过本文的介绍，相信读者对定积分有了更深入的理解，希望能够在实际应用中灵活运用定积分的基本计算方法。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。
本文将总结几种常见的定积分计算方法。
1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。
通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。
但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。
该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。
常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。
换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。
例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。
3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。
通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。
该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。
4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。
例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。
5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。
例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。
通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。
6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。
当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
定积分基本计算公式
定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。
它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。
下面将介绍一些定积分基本计算公式。
1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
关于定积分的快速计算公式
关于定积分的快速计算公式定积分的快速计算公式。
在数学中，定积分是微积分的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面积、求解体积、质量、质心等问题。
定积分的计算通常需要使用积分法或者数值积分法，但是有一些特定情况下可以使用快速计算公式来求解定积分，本文将介绍一些常用的定积分快速计算公式。
1. 基本积分表。
首先，我们需要了解一些基本的积分表，这些积分表中包含了一些常见函数的不定积分公式，可以帮助我们快速计算定积分。
例如：（1）常数函数积分，$\int k\,dx=kx+C$。
（2）幂函数积分，$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$。
（3）指数函数积分，$\int e^x\,dx=e^x+C$。
（4）三角函数积分，$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int \cos x\,dx=\sin x+C$，$\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$等。
这些基本积分表可以帮助我们快速计算一些简单的定积分，但是对于一些复杂的函数，我们可能需要使用其他方法来求解定积分。
2. 牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的一个重要性质，它可以帮助我们将一个函数的定积分转化为另一个函数的不定积分。
具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么它的定积分可以表示为：$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$。
其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
这个公式可以帮助我们快速计算定积分，只需要求出函数$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后代入上式即可得到定积分的值。
3. 分部积分法。
分部积分法是一个常用的积分方法，它可以帮助我们将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。
具体来说，如果函数$u(x)$和$v(x)$都具有连续的导数，那么定积分$\int u(x)v'(x)\,dx$可以表示为：$$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$$。
定积分求导方法(一)
定积分求导方法(一)定积分求导在微积分中，定积分求导是一种重要的技巧，用于求解连续函数的导数。
本文将详细介绍定积分求导的各种方法。
方法一：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求导的一种常用方法。
它的公式如下：d dx (∫fxa(t)dt)=f(x)这个公式的意义是，对于函数f(x)的定积分，其导数等于f(x)。
这使得我们可以通过求函数的定积分来得到其导数。
方法二：基本定积分求导法则在广义的意义下，可以使用基本定积分求导法则来求解定积分的导数。
以下是一些常用的基本定积分求导法则：1.$ _{a}^{b} k , dx = 0 $，其中 $ k $ 是常数。
2.$ _{a}^{b} x , dx = b - a $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
3.$ {a}^{b} f(x) + g(x) , dx = {a}^{b} f(x) , dx + _{a}^{b}g(x) , dx $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是函数。
4.$ {a}^{b} f(x) g(x) , dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) +{a}^{b} f’(x) g(x) , dx$，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是可导函数。
这些法则可以根据具体问题进行灵活运用，简化定积分求导的过程。
方法三：换元法换元法是一种常用的定积分求导的方法，通过引入新变量来简化计算过程。
其一般步骤如下：1.对于积分∫f(g(x))⋅g′(x) dx，选取适当的换元变量u=g(x)。
2.计算出du=g′(x) dx。
3.将原表达式中的g(x)和dx替换为u和du。
4.将对x的积分转换为对u的积分。
5.计算出∫f(u) du，得到最终结果。
使用换元法，可以将原本复杂的函数转化为更简单的形式，从而更容易进行积分和求导。
方法四：分部积分法分部积分法是定积分求导中的另一种常见方法，通过应用求导的乘积法则来简化计算过程。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结1. 定积分的概念定积分是微积分中的一种重要概念，它表示在某个区间上某个函数在该区间上的总体积大小。
定积分的计算可以通过几种方法来实现，本文将对这些方法进行总结。
2. 基本的计算方法2.1. 几何意义法定积分的几何意义表示函数图像与坐标轴之间的面积关系。
对于一元函数，可以通过将所求区间划分为若干小的区间，然后近似计算各小区间上的面积之和，再将这些和求和来逼近定积分的值。
通过使用更小的划分间隔，可以得到更精确的结果。
2.2. 积分基本公式法对于一些常见的函数，可以利用积分的基本公式来求解定积分。
例如，对于幂函数、三角函数等，可以通过代入公式中的上下界，并进行计算来得到定积分的结果。
2.3. 分部积分法分部积分法是定积分计算中的重要方法。
当被积函数是两个函数的乘积时，可以通过分部积分公式将原积分转化为易于计算的形式。
分部积分公式为：$$\\int u \\, dv = uv - \\int v \\, du$$通过选择合适的u和dv，可以将原问题转化为一个更容易求解的积分形式。
2.4. 替换变量法替换变量法也常用于定积分计算中。
通过进行变量替换，可以将原函数转换为一个更简单的形式。
例如，对于根号下含有二次多项式的积分，可以进行合适的变量替换，将其转化为一个更简单的形式，然后再进行计算。
3. 数值积分方法除了上述基本的计算方法外，还可以利用数值积分方法来求解定积分。
数值积分法适用于无法得到解析解的情况下，通过将积分转化为数值计算来近似求解。
3.1. 矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它的基本思想是将所求区间划分为若干个小矩形，然后分别计算各个小矩形的面积之和。
这种方法的精度较低，但对于简单的计算问题，可以得到较为接近的结果。
3.2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的方法之一。
它的基本思想是将所求区间划分为若干个小梯形，然后分别计算各个小梯形的面积之和。
相比矩形法，梯形法的计算精度更高，可以得到更准确的结果。
C语言__用六种方法求定积分
C语言__用六种方法求定积分C语言是一种广泛应用于科学计算、算法设计和系统编程的程序设计语言。
虽然C语言本身并没有提供内置的定积分计算函数，但可以通过使用不同的方法来近似计算定积分。
以下将介绍六种常见的数值积分方法：矩形法、梯形法、辛普森法、龙贝格法、高斯-勒让德法和自适应辛普森法。
1. 矩形法（Reimann Sum）：将积分区间等分成若干小区间，然后在每个小区间取一个函数值，最后将所有函数值相加，并乘以区间大小。
这相当于将每个小区间上的曲线近似为一个矩形。
2. 梯形法（Trapezoidal Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用梯形面积公式进行近似计算。
梯形的上底和下底分别为相邻两个小区间的函数值，高为小区间的宽度。
3. 辛普森法（Simpson's Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用三点拉格朗日插值多项式近似计算。
辛普森法使用二次多项式来逼近曲线，能够更好地近似曲线的曲率。
4. 龙贝格法（Romberg Method）：龙贝格法是一种逐步逼近的方法，将积分区间多次分割，并使用多种精度的梯形法进行计算。
通过不断提高梯形法的精度，最终逼近定积分的值。
5. 高斯-勒让德法（Gauss-Legendre Method）：高斯-勒让德法使用一组预先确定的节点和权重，将积分区间变换到[-1,1]上，然后使用插值多项式计算定积分的近似值。
该方法的优点是能够以很高的精度计算积分值。
6. 自适应辛普森法（Adaptive Simpson's Rule）：自适应辛普森法根据曲线的变化程度自动调整子区间的大小。
在每个小区间上计算出辛普森值，并与高斯-勒让德法值进行比较，以决定是否需要进一步细分区间。
以上这些方法都可以使用C语言中的循环、条件语句和函数来实现。
具体实现的步骤包括：将积分区间分割成若干小区间，计算每个小区间上的函数值，然后将这些函数值进行加权求和，最后乘以相应的权重或宽度，得到定积分的近似值。
定积分的计算
定积分的计算定积分是微积分中的一个重要概念，用来计算曲线与x轴之间的面积或曲线的弧长等问题。
本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。
一、定积分的概念定积分是一种数学运算，用来计算曲线与x轴之间的面积。
它的定义是在一个区间上划分出无穷多个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和，然后取极限。
用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示微元长度。
二、定积分的性质1. 定积分具有可加性，即∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
2. 定积分的区间可加性，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
3. 定积分的值与被积函数的符号无关，即∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
4. 定积分的值与积分区间的长度无关，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[ka,kb]f(x)dx，其中k为任意非零常数。
三、定积分的计算方法计算定积分的方法有很多种，以下是一些常用的方法：1. 几何方法：对于一些简单的几何图形，我们可以利用几何的知识来求解。
例如，对于一个矩形的面积，可以直接计算长度乘以宽度。
2. 切割方法：将区间切割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的面积之和。
当小区间趋近于无穷小时，这个和就是定积分的值。
这种方法也被称为黎曼和的定义。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：若函数G(x)是f(x)的一个原函数，则定积分可以通过G(b) - G(a)来计算，其中a、b是积分区间的端点。
4. 变量代换法：对于一些复杂的函数，可以通过变量代换来简化问题。
例如，对于∫(x^2 + 1)dx，我们可以令u = x^2 + 1，然后计算∫udu，最后再带回原来的变量。
5. 分部积分法：对于一些产品的积分，可以利用分部积分公式来求解。
该公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
[生活]第一讲 定积分的数值计算
![[生活]第一讲 定积分的数值计算](https://img.taocdn.com/s3/m/4c79464e0b4e767f5acfce88.png)
[生活]第一讲定积分的数值计算第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。
【主要内容】定积分的数值计算方法，包括:矩形法、梯形法与辛普森法;对误差的了解:精度与收敛速度引言首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。
考虑在区间内任意插入个分点的分法:把分割成个小区间，第个子区间的长度为;任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间上的定积分，即。
称和式为积分和或黎曼和。
在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。
显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。
定积分的定义中要求在对区间无限细分()的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。
这一点初学者较难理解。
我们将通过数值实验来加以理解。
当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。
但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。
而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。
我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。
实验一定积分概念的深化——达布和设函数在区间上有界。
考虑将将区间任意分割成个子区间()的分法，设在子区间上的上、下确界分别为，称为在子区间上的振幅，和式分别称为关于该分割的达布(Darboux)大和与达布小和。
由定义可知，函数对应于同一分割的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。
(计算物理学)第3章物理学中定积分的数值计算方法
辛普森法则
总结词
详细描述
公式表示
辛普森法则是另一种改进的数值积分 方法，通过将积分区间划分为若干个 小的子区间，然后在每个子区间上取 一个点，并使用这些点的函数值来近 似积分值。
辛普森法则是基于梯形法的改进，它 使用了更多的点来近似函数曲线。具 体来说，它在每个子区间上取两个点 （即区间的端点和中点），然后使用 这两个点的函数值来计算该子区间的 近似面积。将这些近似面积相加，即 可得到定积分的近似值。
几何意义
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即原函数曲线与x轴、 x=a、x=b所围成的区域面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf(x)+f (x)dx
区间可加性
∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫caf(x)dx
常数倍性质
k∫baf(x)dx=k∫baf(x)dx
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误差分析
梯形法误差主要来源于对曲线的近似，当梯形 越多，近似程度越高，误差越小。
适用范围
适用于被积函数在积分区间上变化较小的情形。
辛普森法则的误差分析
辛普森法则的基本思想
将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上用抛物线代替曲线， 然后求抛物线面积之和。
误差分析
辛普森法则误差主要来源于对曲线的近似，当抛物线越多，近似程 度越高，误差越小。
形等。
计算体积
02
定积分可以用来计算三维物体的体积，例如长方体、球体、圆
柱体等。
计算长度
03
定积分可以用来计算曲线或曲面的长度，例如圆的周长、椭圆
的弧长等。
在物理学中的应用
01
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。
本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。
1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。
2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。
它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。
接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。
3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。
它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。
在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。
然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。
4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。
龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。
在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。
然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。
通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。
上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总数值积分是一种用计算机逼近求解定积分的方法，它通过将区间划分为多个小区间，并在每个小区间上进行数值计算，最后将结果相加以得到整个区间上的定积分近似值。
在实际应用中，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
下面将详细介绍这几种方法，并对它们进行比较汇总。
1.梯形法则是一种基本的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一条梯形，并用该梯形的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，梯形法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx≈ (b-a)[f(a) + f(b)]/2梯形法则的优点是简单易懂、计算速度较快，但它的缺点是精度较低，特别是当被积函数曲线较为陡峭时。
2.辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一个二次曲线，并用该曲线下的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，辛普森法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]/6辛普森法则的优点是精度较高，特别是对于曲线比较平滑的函数，它能给出较为准确的积分近似值。
然而，辛普森法则的计算量较大，因为它需要在每个小区间上计算3个点的函数值。
3.复化求积法是一种综合性的数值积分方法，它基于划分区间的思想，将整个求积区间划分为多个小区间，并在每个小区间上采用其中一种数值积分方法来进行计算。
具体而言，复化求积法可以采用梯形法则或辛普森法则来进行计算。
它的计算公式如下：∫[a,b]f(x)dx ≈ ∑[i=0,n-1] (b-a)/n * [f(a + i(b-a)/n) +f(a + (i+1)(b-a)/n)]/2复化求积法的优点是能够灵活地根据被积函数的特点选择合适的数值积分方法，从而提高求积的准确性。
但它的计算量较大，尤其在需要高精度的情况下，需要划分较多的小区间。
求解定积分技巧
求解定积分技巧定积分是微积分中的重要概念，通过求解定积分，我们可以计算函数在给定区间上的面积、质量、平均值等物理量。
在实际应用中，求解定积分的技巧对于简化问题和加快计算速度非常重要。
本文将介绍一些常见的求解定积分的技巧。
1. 基本积分表：掌握常用函数的基本积分表可以帮助我们更快地求解定积分。
例如，幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数的积分可以在积分表中找到。
2. 替换变量：有时候通过替换变量可以简化定积分的形式。
例如，当定积分的被积函数中含有根号表达式时，我们可以尝试将根号内的式子替换成一个新的变量，使得原定积分变得更易求解。
3. 分部积分法：用于求解乘积形式的积分。
设有两个函数 u(x) 和 v(x)，根据分部积分公式，可得到以下等式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx通过适当地选择u(x) 和v'(x)，可以将原定积分转化为更容易求解的形式。
4. 偏微分法：对于一些特殊的函数构造，可以通过偏微分法将定积分转化为更简单的形式。
例如，对于含有指数函数的定积分，我们可以通过偏微分得到一阶线性微分方程，进而解得定积分的表达式。
5. 对称性和周期性：对于具有对称性或周期性的函数，我们可以利用函数的性质简化定积分的计算。
例如，当被积函数具有偶对称性时，可以将定积分从负无穷到正无穷的范围缩小为从0到正无穷的范围，从而简化计算。
6. 改变积分次序：当一个定积分是多个变量的函数时，可以通过改变积分次序来简化定积分的计算。
积分次序的改变可以通过Fubini 定理实现，使得原先复杂的多重积分变为一次性积分。
7. 利用对数、指数、三角函数之间的等式：对于包含对数、指数、三角函数的积分，我们可以利用它们之间的等式进行简化。
例如，对数函数和指数函数之间的等式可以通过换底公式互相转化，从而简化积分的形式。
8. 利用积分的性质：定积分具有一些性质，如线性性、区间可加性等。
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几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite IntegralsAbstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式⎰-=baa Fb F x f )()()(求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F x f )()()(求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx ex ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
(2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。
(3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较．2.几何意义上的数值算法s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中nab h -=表示小区间的长度. 2.1矩形法矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=niixfnabA1).(图1 分割曲边矩形近似积分2.2 梯形法梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S的近似值,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∑-=11)(2)()(niixfbfafnabA.图2 分割曲边梯形近似积分2.3抛物线法抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.图3 抛物线积分210,,x x x 对应的曲线上的点210,,P P P 可以唯一地确定一条抛物线c bx ax y ++=2,这条抛物线将作将代替从0x 至2x 的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:)]()(4)([3)2102120x f x f x f hdx c bx ax A x x ++=++=⎰（上面利用了条件210,,P P P 是抛物线上的点以及等式1022x x x =+.同理可证： )]()(4)([3h4322x f x f x f A ++=……)]()(4)([3122/n n n n x f x f x f hA ++=--所以,})(2)(4)]()({[12/122/11232/21∑∑-==--+++=+++≈n i i n i i na b n x f x f b f a f A A A S3.概率意义上的数值算法概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.3.1平均值法考虑定积分⎰=ba dx x f I )(的近似计算,其中)(x f 在[]b a ,内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生n 个独立的随机变量,且服从在[]b a ,上均匀分布,即),2,1(n i i =ξ;其次,计算I 的近似值I ,∑=-=ni i f n a b I 1)(ξ.由中心极限定理知,若{}),2,1(n i i =ξ相互独立、同分布,且数学期望及标准差0>σ存在,则当n 充分大时,随机变量nII Y σ-=渐近服从正态分布)1,0(N ,即对任意的0>αt ,}t I -I P{}t Y P{nσαα<=<这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为)1(n O .3.2“类矩形”Monte-Carlo 方法由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为)1(n O ,就有对平均值法的改进，“类矩形” Monte-Carlo 方法,改进过程为：先将积分区间[]b a ,n 等分, 随机产生n 个相互独立且服从[]1,0上均匀分布的随机变量序列),2,1(},{n i i =ξ；然后由这n 个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换 n i i nab a i i ,2,1),1(=-+-+=ξη将}{i ξ映射到子区间 []n i b a a b nia ab n i a ,,2,1,,)}(),(1{ =⊂-+--+最后,计算I 的近似值I ~,∑=-=ni i f n a b I 1)(~η． 下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性. 命题1 设[][][]有记,,,)(max ,,)(0,1b a x x f M b a C x f b a x ∈∀'=∈∈M a b a b x f dx x f ba2)())(()(20-≤--⎰证明:由Lagrange 中值定理得)())(()()(000之间与介于x x x x f x f x f ξξ-'+=上式两边在[]b a ,积分,得⎰⎰-'+-=babadx x x f a b x f dx x f ))(())(()(00ξ由)(x f '得连续性,得.2)()(21)())(())(()(222020000M a b b a x b a x M dxx x M dx x x f a b x f dx x f b ababa-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-≤-'≤--⎰⎰⎰ξ命题2 设[],,,)(1nab h b a C x f -=∈[][]n i x f M x f M ih a h i a x i b a x ,.2.1,)(max,)(max ,)1(, ='='=+-+∈∈I ~与I 如上,则I ~与I 的误差满足)1(~nO I I =-.证明: ⎰∑=--=-ba ni i f n a b dx x f I I 1)()(~η ∑⎰∑=+-+=-=ni iha hi a ni i f h dx x f 1)1(1)()(η∑⎰=+-+-≤n i iha hi a i hf dx x f 1)1()()(η由命题1得, n i h M hf dx x f i iha hi a i ,,2,1,2)()(2)1( =≤-⎰+-+η 于是∑=-≤≤-ni i a b n M h M I I 122)(22~即)1(~nO I I =-.3.3“类梯形”Monte-Carlo 方法再给出平均值法的另一种改进.首先将[]b a ,n 等分,再在每个子区间上随机产生n 2个相互独立且服从]1,0[上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得),,3,2,1(},,{212n i i i =-ξξ;做变换)12(2)22(2221212i i i i i nab a i nab a ξηξη+--+=+--+=--将12-i ξ,i 2ξ分别映射到子区间ni a b ni a a b n i a a b ni a a b n i a ,,3,2,1)],(),(212[)](212),(1[ =-+--+--+--+然后在每个等分子区间上)](),(1[a b nia ab n i a -+--+利用i i 212,ηη-两点类似于梯形公式构造“类梯形”公式 )]()([212i i i f f nab S ηη+-=- 近类似⎰+-+ih a hi a dx x f )1()(.最后计算I 的近似值I ~~,∑=-+-=n i i i f f n a b I 12122)()(~~ηη． 下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题：命题3 设()[]2,f x a b ∈C ，记[](),max ''x a b f x ∈M=，则()1212,x x a x x ∀≤≤，有()()()()312212bab a b af x dx f x f x M ---+≤⎡⎤⎣⎦⎰． 证明： 过()()()()1122,,,x f x x f x 两点的直线方程为()()()211121()()f x f x P x f x x x x x -=+--所以 ()(),1,2.i i P x f x i ==令12()()()()()()R x f x P x k x x x x x =-=-- （1）将x 看成[],a b 上的一个定点,构造辅助函数12()()()()()()t f t P t k x t x t x φ=----由于12()()()0x x x φφφ===,由Rolle 中值定理,'()t φ在(),a b 内至少有两个零点,对'()t φ再用Rolle 中值定理,知''()t φ在(),a b 内至少有一个零点,即存在(),a b ξ∈,使''()''()2()0f k x φξξ=-=,所以''()()2f k x ξ=．将它代入（1）式,并两段同时从a 到b 积分,得()()()12121212121212122''()()()2()()2()()()()()()2ba babax x b a x x b af x dx f x f x f x x x x dx M x x x x dxM x x x x dx x x x x dx x x x x dx ξ--+⎡⎤⎣⎦=--≤--⎡⎤=--+--+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰记121212121212(,)()()()()()()x x bax x L x x x x x x dx x x x x dx x x x x dx =--+--+--⎰⎰⎰不妨设12a x x b <<<,则将12(,)L x x 分别对求偏导数,得1222212121()()()02()()()02x x a bL b a x x x a bL b a x x x +=----=+=--+-=解得唯一驻点：121(3)41(3)4x a b x a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 又3333()()(,),(,)44166a b a b b a b a L L a b ++--==故当12a x x b ≤<≤时,()()()()31212(,)2212bab a b a M f x dx f x f x L x x M ---+≤≤⎡⎤⎣⎦⎰结论成立．命题4 [],,)(2b a C x f ∈设[][]n i x f M x f M nab h ih a h i a x i b a x ,2,1,)(max ,)(max ,,)1(,=''=''=-=+-+∈∈I 与I ~~如上,则I 与I ~~ 的误差满足:)1(~~2nO I I =-.证明：∑⎰∑⎰∑⎰∑=+-+-=+-+=-=-+-≤+-=---=-n i iha hi a i i ni ih a h i a ni i i ba n i i i hf f dx x f f f h dx x f f n a b dx x f I I 1)1(2121)1(121212122)()()(2)()()(2)()(~~ηηηηηη由命题3,得n i h Mh f f dx x f i iha hi a i i ,,2,1,122)()()(3)1(212 =≤+-⎰+-+-ηη于是∑=-≤≤-n i i n M a b h M I I 123312)(12~~即)1(~~2nO I I =-.4.例题对于积分dx 14102⎰+x ,该积分精确值为 3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对它的计算结果:4.1用三种基于几何意义的算法:矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1:表1 几何意义算法的比较分割数算法 近似值 误差110矩形3.14241294 13.8-e 梯形 3.1399398 37.1-e 抛物线 3.1415569 81.4-e 210矩形3.1415528 13.8-e梯形 3.1416496 57.1-e 抛物线3.14160128110.4-e4.2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo 方法, “类梯形”Monte-Carlo 方法计算结果如表2:表2 概率意义算法的比较5．结语本文介绍的几种求积公式各有特点：梯形求积公式和抛物线法求积公式是低精度公式,但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果,尤其是梯形求积公式．当被积函数为周期函数时,效果更为突出.由表1分析,一般情形下,三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大,梯形法次之,抛物线法最高.抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法,特别是在积分区间分割份数较小的情况下,仍然保持较高的近似程度.“类矩形”Monte-Carlo 方法; “类梯形”Monte-Carlo 方法是平均值法的改进,提高了平均值法的精确度．通过表2可以看出,直接用平均值法计算定积分,410节点的计算已经很可观了,但计算结果只有2位有效数字,而选取同样的节点数,计算量几乎不变,类矩阵法就达到了4位有效数字,类梯形法则达到了8位有效数字,恰好与上述定理中误差阶的估计是一致的,从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo 方法和”类梯形”Monte-Carlo 方法的高效性．从表2中也可以看出随着节点数的增大,积分精度会不断提高,当然计算复杂度就会增加.节点数算法 近似值 误差410平均值法3.13849728 31.3--e类矩形法 3.1416903 50.7-e类梯形法3.1416002990.2--e参考文献[1] 费祥历,刘奋,马铭福.高等数学(第2版上册)[M].山东:石油大学出版社,2008: 211-287．[2] 徐萃薇,孙绳武.计算方法引论(第三版).北京:高等教育出版社,2007.[3] 王晓东.计算机算法分析与设计[M].北京:电子工业出版社,2001:197-228.[4] 徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:上海科学技术出版社,1985.[5] 张平文,李铁军,数值分析[M].北京:北京大学出版社,2007.[6] 阮宗利.计算一元定积分的若干数值算法及其比较[J].中国石油大学学报(科技教育),2010:182-184.[7] 朱长青. 计算方法及其应用.北京:科学出版社,2006.[8] 张威,刘志军,李艳红.数值分析与科学计算.北京:清华大学出版社,200,5[9] 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