工程流体力学第二章

取等压面1-1，列方程： p1+1gh1= p2+2gh2 +´gh
则 p1 -p2 =2gh2 +´gh- 1gh1
（4）倾斜式微压计（自己看）
测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。(d<<D)
实质：应用几何原理测压。
例2. 为了测量高度差为z的两个水管中的微小压强差
PB-PA,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U 形管。已知A、B管中的液体相对密度d1=d3=1,倒U形管 中液体相对密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，试求 压强差PB-PA。
比的力，它是非接触力，有些教材也称为超常力。
质量力：
重力： 惯性力：动力学问题按静力 学求解时虚拟的力
另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可能受到其他 一些非接触力，如电场力和磁场力，这些力虽然与流体质量 无直接关系，在静力学分析中，仍把它们称为质量力。
单位质量力
在流体力学中，常用到单位质量力的概念。 单位质量流体所受的质量力称单位质量力。
P2 P3，P3 P4
§2.4
静压强的计算与测量
2.4.1 静压强的计算单位
流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa =1N/m2 )，
1bar=105 Pa 。以上应力单位多用于理论计算。 工程中习惯上用如下两种换算单位:
1)液柱高单位
液柱高 h
p g
液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等, 多用 于实验室计量 。 2 )大气压单位
流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式 ）
1 p 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z fx
矢量形式：
f 1
欧拉平衡方程是平衡流体中普 遍适用的一个基本公式，无论 流体所受的质量力有哪些种类， 无论流体是否可压缩，流体有 无粘性，欧拉平衡方程都是普 遍适用的。 流体静力学的一切其它计算公 式都是以它为基础面推导出来 的。
容器中的真空度 P=gh
（2）U形管测压计
(a) p+1gh1= 2gh2 ，则计示压强 p= 2gh2 - 1gh1
(b) p+1gh1+ 2gh2=0 ，则真空度 p=1gh1+ 2gh2
（3）差压计 测量两点压差的仪器叫差压计。
常用来测量 两容器的压 强差或管路 中两点的压 强差。
重力流体的压强势能
一定的流体静压强代表使液 柱上升一定高度的势能。
P z C点的总势能： g ；
A点的总势能：z h 0；
p h 根据静压强基本方程有： g
可见可以用液柱高度表示单位 重力流体所具有的能量。
（2）静压强基本方程的几何意义
单位重力流体所具有的能量也可以用液柱高 度来表示，并称水头。 静水头线
Z
：位置水头
p g ：压强水头
位置水头和压强水头合 成静水头，各点静水头 的连线称为静水头线。
流体的静水头线和计示水头线
流体静力学基本方程几何意义：在重力作用下的连续均质不 可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。
（3）静压强分布规律 静压强基本公式中的积分常数C,可用平衡液体自由表 面上的边界条件：z=z0，p=p0来确定。于是有
绝对压强、相对压强与真空度的关系
绝对压强、相对压强、真空度
绝对压强是以绝对真 空为起点，其值恒大 于0； 相对压强是以当地大 气压为起点，其值可 正可负，也可为0.相 对压强又称计示压强； 相对压强小于0时，其 数值的绝对值又称真 空度。
2.4.3 静压强的测量
（1）测压管（最简单的液柱式测压计）
预测量容器（管道）中某点A压强， 在容器（管道）该点处开一个小孔， 接测压管（管内径一般大于5mm)， 液体在压强作用下升高，可测出高度 h ,继而得到A点的计示压强。 测压管测压计结构简单，测量准确。 但存在限制条件：1不能测气体压强； 2.管内压强要大于当地大气压；3.测 点A压强不能过高；
预测量容器中气
2.5.3 作用在沉没物体上的总压力
§2.5.1 平衡流体对平面的作用力
dFP ghM dA gL sin dA
FP dFP gL sin dA
A A
FP dFP
O （b） α h
hc
D
C
g sin LdA
《流体力学》
电子教案
第2章
流体静力学
研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。
平衡包括两种：
什么是平衡？ 1、重力场中的流体平衡
流体对地球无相对运动； 2、流体的相对平衡 流体对运动容器无相对运动。
dV 0 dy
§2.1 作用在流体上的力
1. 质量力
2. 表面力
2.1.1 质量力
定义：作用在流体质点上，大小与流体质点质量成正
gdz
gz p
故有：
积分有： 即：
1

dp

C'
p z C g
(重力场中静压强基本公式)
（1）静压强基本方程的物理意义
Z：单位重力流体的位置势能
p ：单位重力流体压强势能 g
物理意义：平衡流体中各点的总势能（包括 位置势能和压强势能）是一定的。 使用条件：重力场、不可压缩流体
1标准大气压(atm)=101325Pa=760mmHg
大气压单位多用于机械或航天行业 。
2.4.2 静压强的计算标准
(1)绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大小。
(2)计示压强：以当地大气压为零计算的压强，比当
地大气压大多少的压强，叫做计示压强或表压强。 (3)真空度：某点压强低于当地大气压，其低于当地 大气压的数值叫真空度。
练习题
1. 为什么说欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用
的基本公式；
2. 流体静力学基本方程的表达式及其物理意义及
应用范围；
3. 绝对压强、相对压强以及真空度的关系如何？
§2.5 平衡流体对壁面的作用力
三峡船闸
邵伯船闸
运河船闸
姚江船闸 三堡船闸
§2.5 平衡流体对壁面的作用力
2.5.1 作用在倾斜平面的总压力
[例题3] 如图所示测定装置，活塞直径d=35mm，油的相
对密度d油=0.92,水银的相对密度d水银=13.6，活塞与缸壁
无泄漏和摩擦。当活塞重为15N时，h=700mm，试计算U 形管侧压计的液面高度△h值。（P35 例题2.2)
pC pD pC pA d油w gh pD d水银 w g h
假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流
体静压强必然处处相等，这正是在简化处理机械 或仪器中气体平衡问题时所遇到的情况。
2.2.2 欧拉平衡方程式的综合形式
（质量力的势函数略） 由
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
1 p f x dx dx 0 x 1 p f y dy dy 0 y 1 p f z dz dz 0 z
A
d2
4
p A G 15
15 d2
C
pA
D

4
p
15598(Pa)
15598
[例题4]如下图所示，用双U形管测压计测量A、B两点的压差。
已知:
h1 600mm, h 2 250mm, h 3 200mm, h 4 300mm,
h 5 500mm, 1 1000kg / m3 , 2 772.7kg / m3 , 3 13.6 103 kg / m3 .
Fm mam f am m m
作用在流体质点上的质量力 dFm dm am dm( f xi f y j f z k ) 其中： f x、f y、f z 是单位质量力在x、y、z轴上的投影
简称单位质量分力。
2.1.2 表面力
定义：作用在流体表面上，且与表面积大小成正比 的力。 表面力分为两种：一种是沿着表面内法线方向的压 力，一种是沿着表面切向的摩擦力。 法向力（流体静压力） 切向力（平衡流体=0）
F dV lim A0 A dy
2.1.3 流体静压力和流体静压强 作用在平衡流体上的表面力只有沿受压表面内法线方 向的流体静压力。 一般来说，受压表面各点流体静压力的强度并不一定 相等，某点流体静压力的强弱用该点的压强来表示。
F dF lim 一点的流体静压强为 ： p A0 A dA
C D
(1) pC pD
(2) pC d2 W gh2 d1W gh1 pA
pC pA d2 W gh2 d1W gh1
(3) pD d3 W gh3 pB
pD pB d3 W gh3
解：逐段采用压强公式，可算出：
p A d1 w gh1 d 2 w gh2 d 3 w gh3 pB pB p A d 3 w gh3 d1 w gh1 d 2 w gh2 pB p A 4071Mpa
由于微元六面体处于平衡状态，故在X 方向有：
(p 1 p 1 p dx)dydz ( p dx)dydz f x dxdydz 0 2 x 2 x
化简，得
fx
1 p 0 x
同理可求得y、z方向的平衡方程。
设该微元六面体中心点的压强为p，边长分别为dx, dy, dz.
相加，移项得： f x dx f y dy f z dz 1 ( p dx p dy p dz )
x
1 y z f x dx f y dy f z dz

dp
2.2.3 等压面
1、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。
方程： f x dx f y dy f z dz 0
2、等压面的选取 （1）同种流体； （2）静止；
（3）连续。
例1：1、2、3、4各点是否处在一个等压面上？各 点压强的大小关系如何。
§2.3 重力场中的平衡流体
2.3.1 重力场中不可压缩流体的静压强基本公式
综合方程： 现
f x dx f y dy f z dz
1

dp
C, f x f y 0, f z g
作用在某个有限表面的静压力为： F pdAn
A
n ：微元面积外法线方向的单位矢量。
流体静压力和流体静压强区别
流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大 小、方向、作用点），用大写字母
F
来表示。单位符
号是N，它的大小和方向均与受压面有关，方向是沿受压面 内法线方向。
流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号Pa,用小 写字母p来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。 流体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点的流体 静压强在各方向等值，即
（证明略，详见教材）
px py pz p
§2.2 流体平衡微分方程式 2.2.1 流体平衡微分方程式的导出
从静止流体中取出一个边长为dx、dy、 dz的微元平行六面体，对其进行受力 分析， 受力情况如图。
1.在重力作用下，液体内部的压强随深度 h 线性增加；
2 在重力作用下的液体中，深度相同的各点静压强
亦相同，因此等压面是一水平面。
2.3.2 可压缩流体的静压强分布公式（略） 静水力学基本方程演示
1、2两点同种液体、静止、连续，且在同一高度，是同一等 压面；（重力场中等压面是水平面） 2、3两点不满足连续条件，压强不一定相等； 3、4两点不满足同种液体条件，压强不一定相等； 事实上，
p0 p z C z0 g g
移相，整理得：
（边界条件）
p p0 g ( z0 z) p0 gh
（h 淹入系数， h z0 z )
上式就是自由表面的不可压缩重力流体中压强分布规 律的数学表达式，也是静力学基本方程的形式之一，式
中 h 为距自由表面的深度。从该式中可以看出：

gradp 0
上式说明：平衡流体的质量力和表面力在任何方向上都保 持平衡。
Summing-up
微元流体的质量力与该方向上表面力的合力应该
大小相等、方向相反。
平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压强
沿该方向上必然发生变化；反之，如果哪个方向 没有质量力分力，则流体静压强在该方向上保持 不变。