湍流的模式理论

模式理论思想追溯打 100 多年以前，1872 年 Bovssinesq 就提出用涡粘性 系数来模拟 Reynolds 切应力
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外来涡雷诺应力方程
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小涡湍动能耗散率方程 ������ ������ 2 ������ ������ 2 14 ������������ ������������������ ������������������ 14 ������������ ������ 2 ������������ ������������ + ������ + ������ + ������ ������ ������������ ������2 ������������������ ������2 5 ������2 ������������������ ������������������ 5 ������2 ������������������ ������������������
1/4
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1/2
，其中，后者仅仅用于由小
− 三涡连续方程
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5)
可实现性： 构造的模式满足一个重要约束条件， 即计算雷诺应力������������ ������������ 时，须得保证 3 个正应力的值不为负数，非对角线上的分量满足 ������1 ������2
2
≤ ������1 2 + ������2 2 ；
6) 小湍流涡各向同性； 7) 不变性原则：模式表达式与坐标系选择无关，模式与待模拟量按照
������������������ =0 ������������������ 小涡湍动能方程
2 ������ 2 ������������ ������������ ������������ 2 ������������ 2 ������������������ ������������������ ������������ ������ 2 + ������������ − 2������������ − 2������������ − 2������������ 2 − 2������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������ ������������ 2 ������������ ������ 2 − 2������������ 2 − 2������������ ������������ ������������ ������������������ ������������������ ������ ������ ������������
坐标系变换进行相同的规律变化； 8) 湍流各尺度可用 （k， ������ ） 表示， 如������ = ������, ������ = ������ 3/2 /������ ， 或者可用 （v， ������ ）表示，如������ = ������ 3 /������ 尺度涡决定的性质； 9) 湍流模式的模数都需要经过实验验证后才可确定； 10) 注意：若一个模式相对较为完备，那么，此模式模数相对于湍流条 件和几何特性来说是唯一不变的，然而，目前不存在这样的通用模 式。 在 1-9 条假定条件下可以产生许多湍流模式， 如高雷诺数模式、 低雷诺数模式、近壁湍流模式、双尺度湍流模式等。针对假设 6 和 8， 适当放宽假定， 可以考虑湍流涡各向异性和把大小涡改成相应湍 流涡大小的多重尺度。 下面阐述 3 种涡旋分开考虑的模式理论： 周培源的理论建立基于两个假定：平均速度远远大于脉动速度均方根 值；宏观尺度远远大于湍流微尺度。这两个假定在中心区域有真实性，但 在边壁大涡旋起主要作用的区域则失真。由此，吧大涡旋划分为当地产生 的涡旋和外来涡旋或扰动[4]。如此一来，湍流涡旋划分为三种涡旋，当地产 生的涡旋和平均流动的涡量直接发生关系。在建立此三种涡旋湍流理论时 引入两个平均，即针对小我选的平均和针对当地产生涡旋的平均。 按照周培源的思想，通过复杂的计算，且引入二阶矩封闭的概念，得 到： 三涡动量方程 ������������������ ������������������ + ������������ ������������ ������������������ =− 1 ������������ ������ ������ ������ + ������������ 2 ������������ − ������ ������ + ������������������ ������������������ ������ ������������������ ������������������ ������ ������
湍流的模式理论
摘要
本文从湍流基本情况出发， 以三种涡旋分开考虑的模式理论为例简要阐
述了湍流模式理论在处理湍流问题中的应用，湍流模式理论结合相关假设条件， 可以较真实反映湍流的特征，体现了模式理论处理问题的特点。 关键词 湍流模式；模式理论
1. 引言 湍流是一种流体非线性流动，在空间和时间坐标上，湍流流体场中各种 量有着不规则、无秩序变化，这种流动状态具备一定复杂性，受许多因素的 影响较大，比如形变、压力变、边界层特征等等。 湍流，作为极其复杂的流动，机理研究也相对复杂，许多研究者通过自 身探索，结合湍流发展历程，从不同角度形成了混沌、分形、重整化群的方 法大涡模拟；概率密度分布函数模拟；直接数值模拟；切变湍流的拟序结构 等。其中，直接数值模拟和大涡模拟在工程中应用最富希望，但受计算机速 度和容量的限制[1]。 湍流现象可以用 N-S 方程进行一定描述，利用此方程对湍流瞬时状态进 行求取需要节点数 Re2.25，结合湍流高 Re 值可知，目前计算机能力还不能直 接利用 N-S 方程去对湍流进行求解，由此，模式方法对实际湍流的处理相对 得当[2]。 2. 湍流模式理论 湍流是具有层次结构的物理现象，湍流中存在着两种不同层次的流场， 其中一个就是，针对整个湍流场，用各流体微团来描述，而每一个流体微团 就是一个单子流场，因为湍流是一种变化十分剧烈的流动，此时，每一个流 体微团已不能被看成是整体均匀的(层流时， 每一个微团都是整体均匀的)， 而 是存在本身一定的内部结构，即湍流本身的内部流场。湍流的本质就是存在 单子流场，而单子的尺度很小(原则上是无限小) ，所以单子流场是层流,它受 Navier-Stokes 方程控制[2]。
1 N uiN ukN (1 N ) q 2 N ik N 2 N N 3 ik ( T ) ui uk 2( T ) 2 lN ukN u N u N u N uuN u N uiN u N uaN uiN uiN ukN 2 j j j a k T (1 a0 b0 ) ik a0 b0 ij ik x j x j 3 xa x xk x xa i a
模式理论以一个理论体系身份被提出之前，常应用半经验理近似论处理 雷诺应力。这些半经验理论[3]中包括 Prandtl 提出的动量输运理论（混合长度 理论）和 Taylor 提出的涡量输运理论的相似性理论，其中，前者影响更大， 但前者将湍流输运过程与分子输运过程进行类比，这一点是靠不住的，具有 其局限性，不过，两者均将最后形式归并与雷诺应力上，使得 Re 平均运动方 程得以封闭。 在工程实际问题的解决中，湍流的模式理论具备着十分重要的作用。模 式理论是把流体微团的瞬态量看作是时间平均值和脉动值的叠加，从而把瞬 时方程变换为反映流场平均运动尺度的雷诺方程，再引入一系列模型假设， 建立一组描写湍流平均量的封闭方程组的理论计算方法在对时均后的雷诺方 程中出现的雷诺应力进行模拟中，形成了众多湍流模型。 联合对湍流现象的了解及建立封闭方程组的目的，在二阶封闭模式建立 中有以下基本假设及原则[1]，以达到对湍流的模拟： 1) 基本出发点：N-S 方程与脉动运动方程平均化； 2) 湍流输运量是雷诺应力、湍流动能、湍流动能耗散率、平均流动的 变量和热力学变量的局部函数（������������ ������������ ，k，������ ，Ui，ρ ，P,T） ； 3) 量纲一致原则：模拟项在模拟后与原项量纲相同； 4) 形式一致性：模拟后保有原项相同的数学特性，如张良性质的对称 性、置换性等；