运筹与优化模型
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品的计划生产数；
f表示利润（单位千元）
则问题归结为如下线性规划问题：
1
目标函数 max f 7 x1 12 x2
约束条件 9x1 5x2 360
4x1 5x2 200
3x1 10 x2 300 x1 0, x2 0.
其中(x1, x2)为决策向量，
满足约束条件的(x1, x2)称为可行决策。
6
例3：生产组织与计划问题
设有m种资源，第i(i=1,2…,m)种资源的现存量
为 bi ，现要生产n种产品，已知生产j(j=1,2…,n)种
产品时，每单位产品需要第i种资源量为 aij ，而每 单位j种产品可得利润c j ，问如何组织生产才能使
利润最大？
解：用 x j 表示生产第j(j=1,2,…,n)种产品
线性规划问题就是指目标函数为诸决策变量的线性
函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等
式表示的决策问题。线性规划求解的有效方法是单纯
形法（进一步了解可参考有关书籍），当然简单的问
题也可用图解法。
2
如用图解法求解例1： 由约束条件决定的可行域如图阴影所示，
目标函数的等值线向右上方移动时其值增
大，在到达点Q2 时f取得最大值； 3
和c（ij 元／个）。问在这个生产周期内怎样安排各机
床的生产任务，才能使得既完成加工任务，又使总的 加工成本最少？
解：在一个生产周期内，假设第i台机床加工第j
种零件的个数为 xij 。
由于xij 是零件个数，因此 xij 必须是非负整数，
10
本问题的数学模型为：
mn
min
cij xij
i 1 j 1
例1、某工厂制造A.B两种产品，制造A每吨 需用煤9t，电力4kw，3个工作日；制造B每吨需 用煤5t，电力5kw，10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元，现工厂只有 煤360t，电力200kw，工作日300个可以利用，问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？
解：设 x1 x2 ,（单位为吨）分别表示A、B产
一般线性规划问题的数学表达式：
max(min) f c1x1 c2 x2 cn xn s.t a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 , , xn 0
厂 A1 离3个居民区 B1, B2, B3 的距离依次为
10km,5km,6km，煤厂 A2 离3个居民区B1, B2, B3 的 距离依次分别为4km,8km,12km，问如何分配供 煤量使得运输费（即t·km）达到最小？
4
解：设xij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j
（j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费
如 155xx1 11112x2 85
x1
,
x2
0
x1, x2 为 整 数
9
例4：分配问题 假设某工厂用m台机床加工n种零件。在一个生产
周而期第内j(j=，1,第2,…i(i=,n1),种2,…零,件m)必台须机完床成只b能j 工个作，又ai第个i机台时机，床
加工第j种零件所需机时和成本分别为 t ij（机时／个）
的计划数，
上述问题可归结为如下的数学问题：
n
max c j x j
n
j 1
s.t aij x j bi
i 1.2 m
j 1
xj 0
j 1.2 n
7
二、整数规划模型
对于线性规划：
min f n c j x j
j 1
n
aij x j bi
j1
x
j
0
i 1,2 m j 1,2 n
X D
其中X ( x1, x2 , , xn )T , D Rn为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
12
如 min f (x1, x2, x3) x12 x1x2 5x32 x3
16x1x2 5x1x3 x22 0 x12 x22 x1x3 10 0
13
例5：容器的设计问题
某公司专门生产储藏用容器，定货合同要求该公
司制造一种敞口的长方体容器，容积恰好为12立方 米，该容器的底必须为正方形，容器总重量不超过 68公斤。已知用作容器四壁的材料为每平方米10 元， 重3公斤；用作容器底的材料每平方米20元，重2公 斤。试问制造该容器所需的最小费用是多少？
当产2x41t=时2，0, 生x产2=方24案时最，优即。产品A生产20t，产品B生
其最大利润为： 7×20＋12×24＝428千元
例2：某两个煤厂 A1 . A2 ，每月进煤数量分别为
60t和100t联合供应3个居民区 B1, B2, B3 。3个居民 区每月对煤的需求量依次分别为50t,70t,40t，煤
此问题归结为：
min f 10x11 5x12 6x13
4x21 8x22 12x23
s.t x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
x12 x22 70
x13 x23 40
xij 0,i 1,2, j 1,2,3,
5
决策变量是连续变量，最优解可能是小数或分数。
8
但是在许多实际问题中，往往要求所得的解为 整数，例如投资项目的选择、机器的台数、完成工 作的人数、装货的车数等，分数和小数的答案就没 有现实意义了。
在现性规划中，若限制 x j (j=1,2,…,n)是非负整
数，则这种线性规划问题称为整数规划问题。
max f x1 x2
n
tij xij ai i 1,2 m
s.t j1
m
xij bj
i 1
j 1,2 n
xij 为非负整数
11
三、非线性规划模型
非线性规划模型的一般形式为：
min f (X )
(1)
s.t gi ( X ) 0 i 1,2, , m . (2)
hi ( X ) 0
j 1,2百度文库 , l . (3)
模型建立 设该容器底边长和高分别为 x1米、x2米，
则问题的数学模型为
min f ( X ) 40 x1x2 20 x12 （容器的费用）
s.t.
1x212xx1
2 12, x2 2 x12
f表示利润（单位千元）
则问题归结为如下线性规划问题：
1
目标函数 max f 7 x1 12 x2
约束条件 9x1 5x2 360
4x1 5x2 200
3x1 10 x2 300 x1 0, x2 0.
其中(x1, x2)为决策向量，
满足约束条件的(x1, x2)称为可行决策。
6
例3：生产组织与计划问题
设有m种资源，第i(i=1,2…,m)种资源的现存量
为 bi ，现要生产n种产品，已知生产j(j=1,2…,n)种
产品时，每单位产品需要第i种资源量为 aij ，而每 单位j种产品可得利润c j ，问如何组织生产才能使
利润最大？
解：用 x j 表示生产第j(j=1,2,…,n)种产品
线性规划问题就是指目标函数为诸决策变量的线性
函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等
式表示的决策问题。线性规划求解的有效方法是单纯
形法（进一步了解可参考有关书籍），当然简单的问
题也可用图解法。
2
如用图解法求解例1： 由约束条件决定的可行域如图阴影所示，
目标函数的等值线向右上方移动时其值增
大，在到达点Q2 时f取得最大值； 3
和c（ij 元／个）。问在这个生产周期内怎样安排各机
床的生产任务，才能使得既完成加工任务，又使总的 加工成本最少？
解：在一个生产周期内，假设第i台机床加工第j
种零件的个数为 xij 。
由于xij 是零件个数，因此 xij 必须是非负整数，
10
本问题的数学模型为：
mn
min
cij xij
i 1 j 1
例1、某工厂制造A.B两种产品，制造A每吨 需用煤9t，电力4kw，3个工作日；制造B每吨需 用煤5t，电力5kw，10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元，现工厂只有 煤360t，电力200kw，工作日300个可以利用，问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？
解：设 x1 x2 ,（单位为吨）分别表示A、B产
一般线性规划问题的数学表达式：
max(min) f c1x1 c2 x2 cn xn s.t a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 , , xn 0
厂 A1 离3个居民区 B1, B2, B3 的距离依次为
10km,5km,6km，煤厂 A2 离3个居民区B1, B2, B3 的 距离依次分别为4km,8km,12km，问如何分配供 煤量使得运输费（即t·km）达到最小？
4
解：设xij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j
（j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费
如 155xx1 11112x2 85
x1
,
x2
0
x1, x2 为 整 数
9
例4：分配问题 假设某工厂用m台机床加工n种零件。在一个生产
周而期第内j(j=，1,第2,…i(i=,n1),种2,…零,件m)必台须机完床成只b能j 工个作，又ai第个i机台时机，床
加工第j种零件所需机时和成本分别为 t ij（机时／个）
的计划数，
上述问题可归结为如下的数学问题：
n
max c j x j
n
j 1
s.t aij x j bi
i 1.2 m
j 1
xj 0
j 1.2 n
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二、整数规划模型
对于线性规划：
min f n c j x j
j 1
n
aij x j bi
j1
x
j
0
i 1,2 m j 1,2 n
X D
其中X ( x1, x2 , , xn )T , D Rn为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
12
如 min f (x1, x2, x3) x12 x1x2 5x32 x3
16x1x2 5x1x3 x22 0 x12 x22 x1x3 10 0
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例5：容器的设计问题
某公司专门生产储藏用容器，定货合同要求该公
司制造一种敞口的长方体容器，容积恰好为12立方 米，该容器的底必须为正方形，容器总重量不超过 68公斤。已知用作容器四壁的材料为每平方米10 元， 重3公斤；用作容器底的材料每平方米20元，重2公 斤。试问制造该容器所需的最小费用是多少？
当产2x41t=时2，0, 生x产2=方24案时最，优即。产品A生产20t，产品B生
其最大利润为： 7×20＋12×24＝428千元
例2：某两个煤厂 A1 . A2 ，每月进煤数量分别为
60t和100t联合供应3个居民区 B1, B2, B3 。3个居民 区每月对煤的需求量依次分别为50t,70t,40t，煤
此问题归结为：
min f 10x11 5x12 6x13
4x21 8x22 12x23
s.t x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
x12 x22 70
x13 x23 40
xij 0,i 1,2, j 1,2,3,
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决策变量是连续变量，最优解可能是小数或分数。
8
但是在许多实际问题中，往往要求所得的解为 整数，例如投资项目的选择、机器的台数、完成工 作的人数、装货的车数等，分数和小数的答案就没 有现实意义了。
在现性规划中，若限制 x j (j=1,2,…,n)是非负整
数，则这种线性规划问题称为整数规划问题。
max f x1 x2
n
tij xij ai i 1,2 m
s.t j1
m
xij bj
i 1
j 1,2 n
xij 为非负整数
11
三、非线性规划模型
非线性规划模型的一般形式为：
min f (X )
(1)
s.t gi ( X ) 0 i 1,2, , m . (2)
hi ( X ) 0
j 1,2百度文库 , l . (3)
模型建立 设该容器底边长和高分别为 x1米、x2米，
则问题的数学模型为
min f ( X ) 40 x1x2 20 x12 （容器的费用）
s.t.
1x212xx1
2 12, x2 2 x12