小结、习题

解:(1)由库仑定律得:
F1
q2
4 0r12
,
q2
F2 4 0r22
二者比值为:
F2 F1
r12 r12
F2
r12 r12
F1
0.012 0.12
10 5
107 N
(2) 两点电荷所带的电荷量.
由
F2
q2
4 0r22
得:
q 3.310 C
12
7-2 在边长为2cm的等边三角形的顶点上,分别放
(6)均匀带电球面的场强分布:
E
0 q
40r 2
rR rR
(7)均匀带电球体的场强分布:
E
qr
4 0 R3
4
q
0 r
2
rR
rR
4
二、电势 1. 定义式:
Va
Wpa q0
E dl
a
2. 静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：
b
Aab qE dl q(Va Vb ) qUab (Wpb Wpa )
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
VP
q
4 0r
(2)点电荷系的电势分布:
V
qi
i 40ri
(3)任意带电体的电势分布:
V
1
V 40
dq r
5
4. 电势分布的典型结论 (1) 电偶极子的电势分布:
VP
Pe r
40r 3
(2) 无限长均匀带电直
线的电势分布:
V ln rB 2 0 r
求球心处的电场强度.
y
解：均匀带电圆环在轴线上的场强为：
ε E
= 4π
0
qx ( x 2+R )2 3
2
d
R
x
建立右图坐标系,将球面分成半径
o
不等的带电细圆环.
r
细圆环半径为: R r sin
细圆环宽度为: rd
圆环面积为: dS 2R rd 2r2 sind
圆环带的电荷量为: dq 2r 2 sin d
q2
4
3
(r23
R13 )
由高斯定理得:
E2 4r22
q2
0
4 3 0
(r23
R13
)
高斯面上场强大小为:
E2
3 0r22
(r23
R13 )
3.98V / m
场强 E2 的方向沿矢径向外.
R1 10cm R2 20cm
R1
ρO
R2
SE dS
q
0
23
(3) 当 r3 =0. 5m时,高斯面内电荷为:
1 E 2V
2
2.电容器的静电能：
We＝
Q2 2C
1 2 QU AB
1 2
CU
AB
2
3.电场的能量密度：
we
1
2
E2
1 2
ED
11
7-1 在真空中，两个带等值同号的点电荷相距
0.01m时的作用力为 10-5 N,它们相距0.1m时的作用力 多大？两点电荷所带的电荷量是多少？
r1 0.01m F1 105 N r2 0.1m
• 求出两极板之间的电场强度分布；
• 计算两极板之间的电势差； • 根据电容器电容的定义式求出电容.
几种真空中电容器的电容：
平行板电容器:
C0
oS
d
圆柱形电容器:
C0
2 0l
ln RB RA
球形电容器:
C0
4o R1R2
R2 R1
8
二、静电场中的电介质
电介质的极化:在外电场作用下出现极化电荷的现象.
半球在O点产生的电场为:
σε E = 2
0
π2
sin cos d
0
4 0
sin 2
2
0
Hale Waihona Puke Baidu
4 0
场强方向沿 x轴.
sin n u cos udu sin n1 u C
n 1
21
7-17 在半径分别为10cm和20cm的两层假想同心球
面中间，均匀分布着电荷体密度为ρ =10-9 C/m3的正
取与带电球体同心的球形高斯面.
(1)当
rR
时，
由高斯定理
SE dS
1
0
dV
得:
25
E 4r 2
1
0
dV
1
0
r kr'4r '2dr' k r 4
0
0
高斯面上的场强为:
(2)当 r R 时，
E
kr2
4 0
er (0 r
R)
r
R
E 4r 2 1 R kr'4r '2dr' k R4
第七章小结
本章研究对象---静电场的性质和规律.
一个实验规律：库仑定律
F12
q1q2
4 0 r123
r12
两个定理：高斯定理、环路定理
(1)高斯定理:
E
s
E
d
S
1
0
i
qi
(2)环路定理: E dl 0 l
电通量： E E d S EdS cos
s
s
1
两个物理量：电场强度、电势
E
ql
2 0r 3
Q 2ql2
P点场强大小为：(方向可单独分析)
E E2 E1
整理得：
ql
ql
2
0 (r
l )3 2
2
0 (r
l )3 2
E
ql
2 0
3r 2l r6
6ql 2
4 0r 4
3Q
4 0r 4
r ll
P点场强方向与
E
方向一致.
2
-q +2q -q
P 证毕.
19
7-12 一半径为 r 的半球面均匀带电,电荷面密度为 .
q3
4 3
(R23
R13 )
由高斯定理得:
E3
4r32
q3
0
4 3 0
( R23
R13 )
高斯面上场强大小为:
E3
3 0r32
( R23
R13 )
1.06V / m
场强 E3 的方向沿矢径向外.
R1
ρO
R2
R1 10cm R2 20cm
SE dS
q
0
24
7-18 一个半径为R的球体内,分布着电荷体密度ρ=
在垂直于电场方向的两个表面上,将产生极化电荷.
1.电极化强度
P
p
V
单位体积中分子的电偶极矩的矢量和,叫作电介质的
电极化强度.
2.电极化强度和极化电荷面密度的关系
'
P
n
P
cos
3.电介质中的合场强: E＝E0＋E
在均匀电介质充满整个电场时, 电介质内部场强减弱.
9
三、电介质中的高斯定理
1.有电介质时的高斯定理
(2)将一试探电荷q0 =10-９C从无穷远移到 o 点,电场力 作功多少？
(解3：)问(1()2由)中图所可述以过看程出中,四q0的个电点势电能荷的到改变q4为多少？q3
中心的距离相等,在P点产生的场强大
小相等,方向相反,合场强为零.
E0 0
ro
q1
q2 27
四个点电荷在P点产生的电势为：
V0
S
D dS
q0
S内
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量,等于该面
包围的自由电荷的代数和.
2.电位移矢量 D 0E P
电位移矢量是辅助量, 没有明确的物理意义.
3.
D、E
矢量之间的关系
在真空中: D 0E
在电介质中: D 0r E E
10
四、静电场的能量
1.静电场能量一般表达式：
We
0 0
0
kr' dv 4r'2dr'
高斯面上的场强为:
E
kR4
4 0r 2
er
球体内、外 E—r关系曲线为:
kR2 E
4 0
(r R)
0
R
r
26
7-22 点电荷q１、q2、q３、q４的电荷量各为4×10-９C ,放 置在一正方形的四个顶点上,各顶点距正方形中心 o 点
的距离均为5cm.
(1)计算o点处的场强和电势；
20
圆环带的电荷量为: dq 2r2 sin d
圆环在O点产生的电场为:
ε dE
=
1
4π
0
(x
x dq 2+R 2 )3
2
方向沿
x 轴.
式中: x r cos, R r sin, x2 R2 r2
d
R
x r
y
dE
x
o
则:
dE
2r
3 sin cosd 4 0r3
sin cosd 2 0
0
F1
F31
q3
.
q1
a F13
F32
F3F23
F2
q2 x
F21
(3)求哪个点电荷所受的力最大？
取坐标系如图.
14
点电荷q1
受力:
F2 67.5N
F1 F12 F13 (F12 F13) cosi (F12 F13)sinj
F1 F12x F12y 59.5N
点电荷 q3 受力:
F3
F31
F32
(F31 cos
F32
)i
F31 sin j
F3 F32x F32y 81.1N
由计算结果知,电荷 q3受力最大.
y F12
F1 q1
a F13
F31
q3
F32
F3F23
F2
q2 x
F21
15
7-6 在直角三角形 ABC 的 A点, 放置点电荷 q1 =1.8×10-9C、 在 B 点 放 置点电荷q2= -4.8×10-6C、 已知 BC = 0.04m，AC =0.03m。试求直角顶点C
电荷.求离球心5cm、15cm、50cm处的电场强度.
解: 带电体的电荷分布具有球对称性,
利用高斯定理计算电场强度.
R1
取与带电体同心的球形高斯面. ρ O
q
由高斯定理 E dS
计算电场.
S
0
R2
(1) 当r =0.05m时,高斯面内无电荷,
q1 0 E1 0
22
(2) 当 r2 =0.15m时,高斯面内电荷为:
1
4
0
( q1 r
q2 r
q3 r
q4 ) r
4q1
4 0r
9.0
10
9
4
4.0 10 9 5.0 10 2
* 导体为一等势体.
* 导体表面是一个等势面.
2.静电平衡时导体上的电荷分布
电荷分布在导体表面,导体内部 及空腔的内表面处处无净电荷.
E外表面
0
en
3.静电屏蔽: 利用接地的空腔导体,将腔内、腔外带电
体对外界影响隔绝的现象,称为静电屏蔽.
7
4.电容器的电容 C q
U AB
计算电容器电容的一般步骤： • 设电容器的两极板带有等量异号电荷；
q1 1.0106C, q2 3.0 10 6 C,
F13 F31 22.5N
y F12
q3 1.0106C
600
(2)作用在 q2 上的力大小与方向.
夹角因为F211与200F,23所大以小力相等F2,它的们大之小间为的：
F2 67.5N
力 F2 的方向与 q2q3之间的夹角为 60
中心为r
(r＞＞l )
的
P
点处的电场强度为
E
3Q
4 0r 4
式中 Q 2ql2 称为这种电荷分布的电四极矩.
r
l
l
P -q +2q -q
证明: 电四极子在P点产生的场强,可以看作是两个反
向的电偶极子在该点场强的叠加.
电偶极子在轴线延长线的场强大小:
E
pe
2 0r 3
18
电偶极子在轴线延长线的场强:
kr,式中 r 是径向距离,k是常量. 求空间的场强分布,并
画出E 对r 的关系曲线.
解：带电体的电荷分布具有球对称性, 可以利用高斯定理计算电场强度.
r' dr'
由于带电球体电荷体密度不是常数,可
R
以将带电球体分成无数个球壳,每个球壳
的体积为: dV 4r'2dr'
每个球壳所带电荷量为: dq 4r'2dr'
F12
F21
q1q2
4 0a2
9 109
1 310 4 10
F23
F32
q2q3
4 0a2
67.5N
F13
F31
q1q3
4 0a2
22.5N
12 4
F1 q1
67.5N F13
F31
q3
F32
F3F23
F2
q2 F21
q1 ,q2 ,q3 受力方向如图:
13
F12 F21 67.5N , F23 F32 67.5N
(VB 0 )
(3) 均匀带电球面的 电势分布:
q
V
4 0R
q
rR rR
4 0r
(4)均匀带电圆盘轴线 上的电势分布:
V ( R2 x2 x ) 2 0
6
导体和电介质中的电场 一、静电场中的导体
1.导体处于静电平衡的条件
* 导体内部场强处处为零.
* 导体表面场强垂直于导体表面.
4.8109 (4102 )2
2.7 104V
/m
A E
q1
C
E2
E1 EC
E12 E22 1.82 2.72 104 3.24104V / m
arctg E1 33.70
E2
q2
B
17
7-7 如图所示的电荷分布称为电四极子,它由两个相
同的电偶极子组成.证明在电四极子轴线的延长线上离
一、电场强度
1. 定义式:
E F q0
2. 电场强度叠加原理
(1)点电荷的场强分布:
E q r
40r 3
(2)点电荷系的场强分布:
E
(3)任意带电体的场强分布:
Ei
i
qi
40ri3
ri
E
V
dE
V
1
40
dq r3
r
dl dq dS
dV
2
3. 电场强度分布的典型结论(大小）
(1) 电偶极子的场强分布:
置电荷量为q1=1.0×10-6C、q2=3.0×10-6C、和q3=-
1.0×10-6C的点电荷. (1)哪一个点电荷所受的力最大？
q2 3.0 10 6 C,
(2)求作用在q 2上力的大小和方向.
q3 1.0106C
a 2 10 2 m, q1 1.0106C,
F12
a 解:各电荷间的作用力大小为:
处的场强E 。
A
解: q1 , q2 在C点产生的场强如图. q1
场强大小：
E1
q1
4 0rA2C
9
109
1.8 109 (3102 )2
C
E1
1.8104V / m
E2
EC
q2
B
16
E1
q1
4 0rA2C
9
109
1.8 109 (3102 )2
1.8104V
/m
E2
q2
4 0rB2C
9
109
a延长线上的点：E A
1
4 0
2Pe r3
(2)
b中垂线上的点：E B
1
4 0
无限长均匀带电直线的场强分布:
Pe
r
3
E
20r er
(3)均匀带电圆环轴线上的场强分布:
E
xq
40 (x2
R2 ) 32
(4)均匀带电圆盘轴线上的场强分布:
E (1 x )
2 0
R2 x2
3
(5) 无限大均匀带电平面的场强分布: E 2 0