三参数四参数曲线拟合
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相位p： p=arcsin( D(0)-C ) A
四参数拟合的算法
四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准 IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出了一种方 法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一 种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。
Leabharlann Baidu弦曲线拟合的总体思路
假设采样点数是L，采样数据是D(I)，I: 0,1,…,L-1
拟合函数是S(t)=Asin(2πft+p)+C
L1
则残差的平方和为 E [D(I) S(I t)]2 I 0
Δt 为采样时间间隔
拟合的目的就是找到让E最小的四个参数A、f、p、 C
三参数法简介
( Ⅱ ) 利用 D F T 或 F F T 计 算信 号频率 , 设 为ωd , 令迭代区间频
率下限
，迭代区间频率上限
(其中 ,ωc 为时钟频率 , N为 D F T 或 F F T 的长度) , 转步骤 ( Ⅳ ) .
( Ⅲ ) 观察采样序列过零点时刻 , 设第 m 个过“ 零点” ( 零点指采样
三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获 取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一 种闭合算法，无须迭代即能获得结果，没有收敛问 题，具有良好的实用性。
三参数法的算法
在标准IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出 了一种三参数正弦拟合的算法。
序列的均值位置) 时刻在区间[tkm,tkm+1]中 , 而第L(L>M)个过 “ 零点
” 时刻在区间 [tkl,tkl+1] 中 , 令
，
,
其中m , l 为整数 , 转步骤 ( Ⅳ ).
(Ⅳ)令
, 从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取 2 M + 1
个点 ( 比如 M = 5) , 利用三参数法分别计算出这些点对应的 A1j , B1j
三参数拟合算法示例
设理想正弦信号为 y(t)=C0cos(2πft+θ0 )+D0 =A0cos(2πft)+B0sin(2πft)+D0
三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或
寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：
n
E= [yi-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D]2 i=1
则，参数A，B，D即为A0，B0，D0的最小二乘拟合值。为寻找出A，B，
D，构造矩阵
cos() sin() 1
M cos(2) sin(2) 1
M
M M
cos(n) sin(n) 1
A
x0 =
B
D
y1
y=
y2
M
初始值的重要性
初始值的精确度对于迭代结果有着很重要的影 响。较大的初始误差将导致迭代发散，或收敛到局 部最优值而非总体最优值上。
获取初始值的基本方法
频率f：
(1) fft/dft (2) 通过分析信号过零点的时间间隔估计频
率
幅值A： 峰峰值除以2
直流偏移C： (1)计算信号一个周期的平均值 (2)信号最大值与最小值之和除以2
正弦曲线拟合的三参数法与四 参数法
正弦曲线拟合的意义
由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函 数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得 了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速 率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制 信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。
曲线拟合的一般过程
正弦信号——采样——A/D变换——信号处理—— 拟合正弦曲线
yn
三参数拟合算法示例
残差平方和用矩阵表示为：
E=E(ω)=(y-Mx0 )T(y-Mx0 )
当式E最小时可得x0 的最小二乘解为：
x0 =(MTM)-1(MTy)
拟合函数的幅度和相位表达形式为：
∧
y(i) =Ccos(ωi+θ)+D
其中：
C= A2 +B2
arctan(AB ); A 0
arctan( B
A
)
;
A
0
三参数拟合算法示例 拟合残差为：
ri =yi -Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D
拟合残差有效值为：
其中：
E'
E n
n
n
2
E ri2 (yi y(i))
i 1
i 1
由于这是一种闭合算法, 因而收敛是肯定的。
四参数法
当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用 四参数法进行拟合。四参数法也是最常用的一种正 弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参 数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析 公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行 迭代。
四参数拟合的算法简介
顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆 分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收 敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号 频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数 最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三 参数方法。
四参数顺序搜索算法示例
( Ⅰ ) 令 i = 1 , 确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样 , 转步骤 ( Ⅱ ) ; 对于非等间隔采样 , 直接转步骤 ( Ⅲ ) .
四参数拟合的经典算法简介
牛顿法：该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技 术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量， 或残差平方和。 顺序搜索法：顺序对每一个参数在初始值上使用增 量搜索法寻找其最优点。
牛顿法简介
牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到E对给 定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值 进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数 不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出 四个值的最终结果。
数学上，幅度、频率、相位和直流偏移4个参数 可以唯一确定一条正弦曲线。曲线拟合的目的就是 通过分析输入的正弦信号，得到正弦波形的四个参 数值，从而得到拟合曲线。
在已知输入正弦波形的前提下，怎样确定它的4 个参数呢？
正弦曲线拟合的总体思路
主要是通过改变拟合正弦函数的幅度、频率、 相位和直流偏移，使拟合函数和采样序列各点的残 差平方和最小，从而获得正弦波形序列最小二乘拟 合结果。
四参数拟合的算法
四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准 IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出了一种方 法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一 种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。
Leabharlann Baidu弦曲线拟合的总体思路
假设采样点数是L，采样数据是D(I)，I: 0,1,…,L-1
拟合函数是S(t)=Asin(2πft+p)+C
L1
则残差的平方和为 E [D(I) S(I t)]2 I 0
Δt 为采样时间间隔
拟合的目的就是找到让E最小的四个参数A、f、p、 C
三参数法简介
( Ⅱ ) 利用 D F T 或 F F T 计 算信 号频率 , 设 为ωd , 令迭代区间频
率下限
，迭代区间频率上限
(其中 ,ωc 为时钟频率 , N为 D F T 或 F F T 的长度) , 转步骤 ( Ⅳ ) .
( Ⅲ ) 观察采样序列过零点时刻 , 设第 m 个过“ 零点” ( 零点指采样
三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获 取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一 种闭合算法，无须迭代即能获得结果，没有收敛问 题，具有良好的实用性。
三参数法的算法
在标准IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出 了一种三参数正弦拟合的算法。
序列的均值位置) 时刻在区间[tkm,tkm+1]中 , 而第L(L>M)个过 “ 零点
” 时刻在区间 [tkl,tkl+1] 中 , 令
，
,
其中m , l 为整数 , 转步骤 ( Ⅳ ).
(Ⅳ)令
, 从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取 2 M + 1
个点 ( 比如 M = 5) , 利用三参数法分别计算出这些点对应的 A1j , B1j
三参数拟合算法示例
设理想正弦信号为 y(t)=C0cos(2πft+θ0 )+D0 =A0cos(2πft)+B0sin(2πft)+D0
三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或
寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：
n
E= [yi-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D]2 i=1
则，参数A，B，D即为A0，B0，D0的最小二乘拟合值。为寻找出A，B，
D，构造矩阵
cos() sin() 1
M cos(2) sin(2) 1
M
M M
cos(n) sin(n) 1
A
x0 =
B
D
y1
y=
y2
M
初始值的重要性
初始值的精确度对于迭代结果有着很重要的影 响。较大的初始误差将导致迭代发散，或收敛到局 部最优值而非总体最优值上。
获取初始值的基本方法
频率f：
(1) fft/dft (2) 通过分析信号过零点的时间间隔估计频
率
幅值A： 峰峰值除以2
直流偏移C： (1)计算信号一个周期的平均值 (2)信号最大值与最小值之和除以2
正弦曲线拟合的三参数法与四 参数法
正弦曲线拟合的意义
由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函 数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得 了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速 率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制 信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。
曲线拟合的一般过程
正弦信号——采样——A/D变换——信号处理—— 拟合正弦曲线
yn
三参数拟合算法示例
残差平方和用矩阵表示为：
E=E(ω)=(y-Mx0 )T(y-Mx0 )
当式E最小时可得x0 的最小二乘解为：
x0 =(MTM)-1(MTy)
拟合函数的幅度和相位表达形式为：
∧
y(i) =Ccos(ωi+θ)+D
其中：
C= A2 +B2
arctan(AB ); A 0
arctan( B
A
)
;
A
0
三参数拟合算法示例 拟合残差为：
ri =yi -Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D
拟合残差有效值为：
其中：
E'
E n
n
n
2
E ri2 (yi y(i))
i 1
i 1
由于这是一种闭合算法, 因而收敛是肯定的。
四参数法
当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用 四参数法进行拟合。四参数法也是最常用的一种正 弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参 数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析 公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行 迭代。
四参数拟合的算法简介
顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆 分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收 敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号 频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数 最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三 参数方法。
四参数顺序搜索算法示例
( Ⅰ ) 令 i = 1 , 确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样 , 转步骤 ( Ⅱ ) ; 对于非等间隔采样 , 直接转步骤 ( Ⅲ ) .
四参数拟合的经典算法简介
牛顿法：该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技 术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量， 或残差平方和。 顺序搜索法：顺序对每一个参数在初始值上使用增 量搜索法寻找其最优点。
牛顿法简介
牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到E对给 定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值 进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数 不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出 四个值的最终结果。
数学上，幅度、频率、相位和直流偏移4个参数 可以唯一确定一条正弦曲线。曲线拟合的目的就是 通过分析输入的正弦信号，得到正弦波形的四个参 数值，从而得到拟合曲线。
在已知输入正弦波形的前提下，怎样确定它的4 个参数呢？
正弦曲线拟合的总体思路
主要是通过改变拟合正弦函数的幅度、频率、 相位和直流偏移，使拟合函数和采样序列各点的残 差平方和最小，从而获得正弦波形序列最小二乘拟 合结果。