三参数、四参数曲线拟合

拟合参数的最小误差界
Cramer-Rao界：在四参数正弦波拟合中，误差界的 指数表达式给出了拟合参数误差随着信号周期个数 和谐波阶次变化而变化的一个公式。 0.9 A h max|ΔN|= 其中：N为采样的周期个 (nh)1.2 A 数，n为采样点数，h为 Ah ΔA 1 谐波次数（整数），A为 max| |= 1.25 A (Nh) A 幅值，p为相位，C为直
四参数拟合的算法简介
顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆 分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收 敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号 频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数 最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三 参数方法。
四参数顺序搜索算法示例
( Ⅰ ) 令 i = 1 , 确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样 , 转步骤 ( Ⅱ ) ; 对于非等间隔采样 , 直接转步骤 ( Ⅲ ) . ( Ⅱ ) 利用 D F T 或 F F T 计 算信 号频率 , 设 为ωd , 令迭代区间频 率下限 ，迭代区间频率上限 (其中 ,ωc 为时钟频率 , N为 D F T 或 F F T 的长度) , 转步骤 ( Ⅳ ) . ( Ⅲ ) 观察采样序列过零点时刻 , 设第 m 个过“ 零点” ( 零点指采样 序列的均值位置) 时刻在区间[tkm,tkm+1]中 , 而第L(L>M)个过 “ 零点 ” 时刻在区间 [tkl,tkl+1] 中 , 令 ， , 其中m , l 为整数 , 转步骤 ( Ⅳ ). (Ⅳ)令 , 从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取 2 M + 1 个点 ( 比如 M = 5) , 利用三参数法分别计算出这些点对应的 A1j , B1j , C1j 和残差平方和 E1j ( j = 1 , 2 , 3 , …, 2 M + 1) .
( Ⅸ ) 重复 ( Ⅵ ) ～ ( Ⅷ ) , 直到找到满足精度要求的信号频率 , 将其 记为ω, 同时将与它对应的其他三个参数记为 A , B , C , 那么 ω, A , B , C 这四个参数就是正弦信号四参数的估计值. 其中 , 频率估计的最 大误差为Δωmax=Δω0 / Mi 步骤 ( Ⅰ ) ～ ( Ⅸ ) 给出了四参数估计法的一般步骤和频率估计的最 大误差 Δωmax ,可知 , 可以通过增大估计次数 i 来提高估计精度
四参数拟合的算法简介
还有学者使用遗传算法实现总体最优估计，以 此实现四参数正弦参数的最小二乘估计，由于遗传 算法原理本身可保证实现全局最优逼近，可避免收 敛到局部最优点上，从而具有良好的收敛性。
拟合误差
有很多因素会影响到拟合参数的精确度。序列 长度、采样序列中含有的波形周期个数、采样量化 误差、非线性误差等条件，都限制和影响了正弦参 数的估计。
三参数拟合算法示例
设理想正弦信号为 y(t)=C 0cos(2π ft+θ 0 )+D0
=A 0cos(2π ft)+B0sin(2π ft)+D0
三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或 寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：
E= [yi -Acos(ω i)-Bsin(ω i)-D]2
( Ⅴ ) 比较 ( Ⅳ ) 中 2 M + 1 个残差平方和 , 并找出最小残差平方和 对应频率 ( 记为 ω1 ) 、 正弦幅度 ( 记为 A 1 ) 、 余弦幅度 ( 记为 B1 ) 以及直流偏移 ( 记为C1 ) . 这就是正弦信号四参数的第 1 次估计值 , 其中 ,频率估计的最大偏差Δω=Δω0/ M . (Ⅵ)令i=i+1,
四参数拟合的经典算法简介
牛顿法：该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技 术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量， 或残差平方和。 顺序搜索法：顺序对每一个参数在初始值上使用增 量搜索法寻找其最优点。
牛顿法简介
牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到E对给 定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值 进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数 不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出 四个值的最终结果。
C= A2 +B2
B arctan( ); A 0 A arctan( B ) ; A 0 A
三参数拟合算法示例 拟合残差为：
ri =yi -Acos(ω i)-Bsin(ω i)-D
拟合残差有效值为：
E
'
E n
(yi y(i)) i
三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获 取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一 种闭合算法，无须迭代即能获得结果，没有收敛问 题，具有良好的实用性。
三参数法的算法
在标准IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出 了一种三参数正弦拟合的算法。
( Ⅶ ) 从区间 [ ωil,ωih] 中等间距地取 2 M + 1 个点 , 分别计算出这些 点对应的 A ij , B ij , Cij 和误差平方和 E ij .
( Ⅷ ) 比较 ( Ⅶ ) 中 2 M + 1 个误差平方和 , 并找出最小误差平方和 对应的四个参数 ( 分别记为 ωi , Ai ,Bi 和 Ci ) , 这就是正弦信号四参 数第 i 次的估计值 ,其中 , 频率估计的最大偏差Δω=Δω0 / Mi.
1
其中：
E
2 r i
n
n

2
i 1
由于这是一种闭合算法, 因而收敛是肯定的。
四参数法
当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用 四参数法进行拟合。四参数法也是最常用的一种正 弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参 数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析 公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行 迭代。
同理也可以得到幅值和直流分量的不确定度。
幅值：
2 A h u A = u A 2 (A h )= 2.5 h 2 h 2 3(Nh)
直流量：
2 0.124A h u C = u C 2 (A h )= 2.42 3.52 h h 2 h 2 N
拟合参数的不确定度
对于频率不确定度的估计，可以做一下变换：
D(0)-C p=arcsin( ) A
四参数拟合的算法
四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准 IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出了一种方 法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一 种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。
cos(n ) sin(n ) 1
三参数拟合算法示例
残差平方和用矩阵表示为：
T E=E(ω )=(y-Mx0 )(y-Mx ) 0
当式E最小时可得 x0 的最小二乘解为：
x0 =(M T M)-1(M Ty)
∧
拟合函数的幅度和相位表达形式为：
y(i)=Ccos(ω i+θ )+D
其中：
影响不确定度的因素
(1)波形采集速率。
(2)波形测量通道间延迟时间差。 (3) 采样序列的噪声及非谐波失真。 (4) 采样序列的抖动。 (5) 4参数正弦波拟合软件造成的测量不确定度，主要由于软件收敛 判据、舍入误差、累积误差等造成； (6) 另外，采集序列长度的变化、采集序列中所含信号的周期个数的 变化，也将给测量带来影响，它们将体现在上述各项不确定度的分 量中，不单独列出。
拟合参数的最小误差界
John P. Deyst1995年给出了正弦波四参数最小 二乘拟合算法获得参数的误差界，使用蒙特卡罗搜 索仿真法等对于各种可以想象的条件变化进行了细 致研究，并分别以经验公式、误差界曲线等形式， 给出了4个拟合参数随谐波次数和幅度、噪声、抖动、 序列长度、序列所含信号周期个数等条件参量变化 的规律。基本结论是：拟合获得的4个参数的误差界 随着谐波阶次、序列长度、序列所含信号周期个数 增大而变窄，随着谐波幅度、噪声、波形抖动的降 低而变窄。每个参数的误差界应该在一个确定区间 内变化，最小误差界即是其Cramer-Rao界。
2 N 2N ; n n
同理可以计算得到频率的不确定度：
10.659Ah 2 uω = 2.4 2 2 (Nh) nA h 2
降低误差的手段
使用滤波等手段对正弦序列进行预处理后再进 行拟合将是降低拟合误差界的一个有效手段。有学 者专门针对正弦波采样序列提出了一种滤波器，可 用于正弦拟合的预处理，主要用来消除谐波因素影 响，以便降低拟合误差。其特点是理论上可以滤除 全部偶次谐波和任意指定的奇次谐波，且对4个待拟 合的正弦波模型参数没有影响。
正弦曲线拟合的总体思路
假设采样点数是L，采样数据是D(I)，I: 0,+C 则残差的平方和为 E [D(I) S(I t)]2
I 0 L 1
Δt 为采样时间间隔
拟合的目的就是找到让E最小的四个参数A、f、p、 C
三参数法简介
Dpm 1800 A h u p (A h )= = 1.25 3 (Nh) A 3
由于三角函数基之间的正交性，不同谐波 互不相关，所有谐波带来的总的不确定度为：
2 10800 A h u p = u p 2 (A h ) 2.5 2 (Nh) A h 2 h 2
拟合参数的不确定度
正弦曲线拟合的三参数法与四 参数法
正弦曲线拟合的意义
由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函 数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得 了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速 率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制 信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。