复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用

§1.留数

1.（定理6.1 柯西留数定理）：

2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，

其中在点a解析，，则

3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，

则

4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点

则

5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6.无穷远点的留数：

即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号

7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。

8.计算留数的另一公式：

.

§2.用留数定理计算实积分

一.型积分→引入

注：注意偶函数

二.型积分

1.（引理6.1 大弧引理）：上

则

2.（定理6.7）设为有理分式，其中

为互质多项式，且符合条件：

（1）n-m≥2;

（2）Q(z)没有实零点

于是有

注：可记为

三.型积分

3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周，充分大

上连续，且

在上一致成立。则

4.（定理6.8）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：

（1）Q的次数比P高；

（2）Q无实数解；

（3）m>0

则有

特别的，上式可拆分成：

及

四.计算积分路径上有奇点的积分

5.（引理

6.3 小弧引理）：

于上一致成立，则有

五.杂例

六.应用多值函数的积分

§3.辐角原理及其应用

即为：求解析函数零点个数

1.对数留数：

2.（引理6.4）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且（2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且

3.（定理6.9 对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件：

（1）f(z)在C的内部是亚纯的；

（2）f(z)在C上解析且不为零。

则有

内零点个数极点个数

注1：当条件更改为：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f≠0，有，即

注2：条件可减弱为：f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)≠0

4.（辅角原理）：

5.（定理

6.10 鲁歇（Rouche）定理）：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件：（1）它们在C的内部均解析，且连续到C；

（2）在C上，|f(z)|>|(z)|

则函数f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即

N(,C)=N(f,C)

6.(定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f’(z)≠0.