高考数学题型全归纳正余弦定理常见解题类型典型例题

- 1 - 正余弦定理常见解题类型
解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它
们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1已知在ABC △中，
4526A a c ，，，解此三角形．
解：由余弦定理得
22(6)26cos 454b b ，从而有
31b ．又222
(6)222cos b b C ，
得
1
cos 2C ，60C 或120C ．75B 或
15B ．因此，
31b ，60C ，75B 或31b ，120C ，15B ．
注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．
判断三角形的形状
利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或
边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：
A B C ；利用余弦定理公式
222222cos cos 22b c a a c b A
B bc ac ，，
222
cos 2a b c C ab ，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识
来解决问题．
在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C
c B bc B C ，判定三角形的形状．解：由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
，为ABC △外接圆的半径，可将原式化为
22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C ，sin sin 0B C ∵，。