非线性代数模型
一.非线性相关知识及整理
1.1）.非线性模型：非线性是相对线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例。所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必许从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。
2）.线性统计模型(简称为线性模型)是数理统计中一类重要的模型,包括线性回归模型、方差分析模型、协方差分析模型、方差分量模型等.线性模型中的"线性"是指待估计参数与应答变量间的关系为线性的.
区别：非线性模型比线性模型复杂的多，要得到一个比较简单的非线性模型表达式并不容易。以下是含两个参数的几种初等模型，有些非线性模型可通过变换，转化为线性模型： 1）指数模型y=aebx， 取对数得到lny=lna+bx； 2.对数模型y=a+blnx， 取z=lnx，化为线性模型y=a+bz； 3）双曲线模型y=1/(a+bx)， 取z=1/y，化为线性模型z=a+bx； 4）双曲线模型y=x/(a+bx)， 取z=1/y,u=1/x，化为z=b+au； 5）双曲线模型y=(a+bx)/x， 取z=1/x，化为线性模型y=b+az。 然后，利用最小二乘法求出参数a,b
非线性的理解：1.在用于描述一个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化组足不成比例，换言说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
3.对非线性概念的这两种表述时间上是等价的，叠加原理不成立必将导致其一物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两者中表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系，微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系（包括变量的时间行为）将是方便的。
非线性与线性的关系：相对而言，两者是一对矛盾的概念，一方面两者在一定程度上可以相互转化，另一方面两者有存在本质上的区别。与此同时存在于一个系统中，规定着系统相应方面的性质。
非线性与现行的密切联系
首先，在数学上一些线性方程可以转化为非线性方程求解。物理上的一些非线性问题，也可以通过数学变化而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性可积方程，求出精确解。
非线性与现行的本质区别
非线性与现行虽然可以通过数学变化而相互转化，下数
学上有一定的联系，但是在同一视角同一层
次，同一参照系下，非线性有是有本质区别的。
4.非线性双时间尺度紊流模型的研究与应用
摘要：在双时间尺度紊流模型的基础上，对线性涡粘性模型进行了修正，建立了封闭的非线性双时间尺度紊流模型。采用交错网格系统和有限体积法，将修正后的模型应用于具有回流的突扩流的紊流模拟中，其计算结果比采用双时间尺度紊流模型的计算结果有进一步的改进；对泄洪洞进口三维流场的数值模拟的结果与试验结果也较为吻合。
双时间尺度紊流模型考虑了紊动能量传递和能量密度分布的特点，对于高波数区和低波数区的紊动能和紊动能耗散的计算采取不同的处理方式，使紊流模型能更准确地反映紊动能量传递的过程。研究表明[1]双时间尺度紊流模型在紊流的一阶统计矩方面优于K-ε紊流模型，由于Hanjalic[2]、Kim[3]等学者提出的双时间尺度紊流模型中的雷诺应力仍按Boussinesq各向同性的应力模式计算，因而对于复杂的各向异性紊流，双时间尺度紊流模型和k-ε紊流模型一样不能完全正确地反映其流动特性和二阶统计矩。因此，需要对双时间尺度紊流模型进行非线性修正，使其能适应具有各向异性的紊流流动。建立非线性紊流模型的主要方法是建立正确的非线性雷诺应力模式或对雷诺应力进行非线性修正。这些方法主要分为两类：一类为微分应力的非线性雷诺应力模式(也称为二阶矩模式)，其研究主要集中在雷诺应力输运方程的紊流脉动动压力与应变相互作用的非线性模化上。在这方面，比较成功的模式有：非线性快速项模型(FLT)[4]、简化的非线性模型(SL)[5]和Speziale的非线性模型(SSG)[6]。这些模型对于包含旋转影响、曲率影响的复杂紊流流动有所改进。但是对于工程应用来说，这些模型的计算仍显得较为复杂。另一类是在Boussinesq涡粘性的基础上加入应力与应变的非线性项来考虑的，这类也被称为非线性代数应力模式[7]。本文是在非线性代数应力模式中选择较为简便的非线性雷诺应力模式，从而对双时间尺度紊流模型进行非线性修正的，建立反映各向异性的双时间尺度紊流模型。
1） 双时间尺度紊流模型的基本特性
双时间尺度紊流模型是将紊流紊动能谱分为低波数区和高波数区(见图1)，对于不同区域的紊动能和紊动能耗散项采取不同的处理方式，其中低波数区的紊动能为Kp，高波数区紊动能为Kt，总的紊动能为K=Kp+Kt.紊动能在谱空间的传递率为εp，紊动能的耗散率εt(ε=εt)，Pk是紊动的能产生项。紊动能的传递是由大尺度逐级向高波数区的小涡
传递，最后由小涡通过分子粘性而耗散。
Kim和Chen根据Hanjalic的双时间尺度的概
念提出了以Kp、Kt、εp、εt的输运方程来封闭雷诺方程，Kp、Kt、εp、εt的输运方程分别为：
图1 双时间尺度紊流模型紊动能能谱分区示意
(1)
(2)
(3)
(4)
式中：νt=CμfK2/εp为紊流粘性系数，与K-ε紊流模型中的紊流粘性系数相比有Cμ=Cμfεt/εp，在紊流的平衡状态下Cμ=Cuf=0.09；式中模型参数为：σkp=σkt=0.75；σεp=εεt=1.15；Cp1=0.21；Cp2=1.24；Cp3=1.84；Ct1=0.29；Ct2=1.28；Ct3=1.66.为紊动能的产生项，雷诺应力仍按Boussinesq假定计算。分区波数γk(γk=Kp/Kt)是Pk和εp、εt的函数，是变化的，其值是在求解过程中确定的。当紊动能的产生项较大时，分区波数向高波数方向移动；当紊动能的产生项较小或消失时，分区波数向低波数方向移动。Kp、Kt、εp、εt的输运方程与连续性方程和雷诺方程构成了封闭的双时间尺度紊流模型。
2） 非线性双时间尺度紊流模型的建立
在Kim的双时间尺度紊流模型中雷诺应力仍按Boussinesq涡粘性假定计算，没有考虑涡粘性系数的各向异性问题，因而在正应力计算上与实际有一定的误差。文献[7]对非线性代数应力模式进行了总结，给出了一般的表达式
(5)
式中：C1、C2、C3为非线性雷诺应力模型系数，并给出了6家公式中的不同系数值，这些模型系数依赖于所选择的流动和流动性质。另外，陈义良[8]、张长高[9]等均对Boussinesq涡粘性雷诺应力模式进行了非线性修正。对于雷诺应力我们采用比较简便的张长高雷诺应力模式，其方程为：
(6)
式中：当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0；LT=CdK3/2/εt为紊动长度尺度，Cd=0.1643.在双时间尺度紊流模型中，认为紊动能在谱空间的传递率εp对大尺度涡有直接的作用，紊流应力方程中的紊动长度尺度与大尺度紊流的参数有关，即LT=CdfK3/2/εp.该紊动长度尺度与方程(6)中的紊动长度尺度相比有Cdf=Cdεp/εt。若采用νt=CμfK2/εp和LT=CdfK3/2/εp之关系取代方程(6)中的紊流粘性系数和紊动长度尺度，与方程(6)一起代入雷诺方程和双时间尺度输运方程中就可形成非线性的双时间尺度紊流模型和控制方程。控制方程如下：
连续性方程
(7)
动量方程
(8)
其中：
(9)
νt=CμfK2/εp， LT=CdfK3/2/εp
(10)
紊动能方程和紊动能耗散方程采用式(1)～(4)的形式，紊动能产生项中的雷诺应力、紊动粘性系数和紊动长尺度采用方程(9)和方程(10)，模型参数与双时间尺度紊流模型的模型参数相同。
数值方法
3）.1 计算方法 对于恒定流，将控制方程转变为下列通用形
式：
(11)
对于贴体坐标，设变换为ξ=(ξ，η，ζ)=(ξ1,ξ2,ξ3),则通用方程可表示为下例形式：
(12)
式中：Φ是通用变量，ΓΦ为广义输运系数，SΦ是源项。方程的离散采用交错网格的有限体积法，将p、Kp、Kt、εp、εt置于控制体中心，u,v,w控制体与压强控制体交错布置，对流项的离散采用乘方格式，源项的离散采用主控制体的中心离散格式。离散方程的求解采用SIMPLEST算法[10]。
3.2 边界条件 进口条件为：K=(0.04Uin)2,εt=0.09×0.75K1.5/l(l为混掺长度)，Kp=K/1.25，Kt=0.25K/1.25，εp=εt；在出口，认为紊流达到相对平衡，沿出口法向的速度梯度为零，同时紊动能梯度和紊动能耗散率的法向梯度也为零。出口给定压力分布。在近壁区，采用壁面函数法。
4 ）非线性双时间尺度紊流模型的应用
4.1 二维突扩后台阶流动的计算 二维突扩后台阶流动是一种具有代表性的有回流的分离流动。这种流动的紊流结构非常典型，其流动含有分离流、回流和再附着流，能否正确模拟这种流动成为验证紊流模型的重要标志。本文对图2所示的突扩后台阶流动，在相同的条件下分别采用双时间尺度紊流模型(MTS)和修正的非线性双时间尺度紊流模型(NLMTS)，用有限体积法进行了数值模拟计算。突扩管的突扩比为3∶2，HT为3.81cm，雷诺数为Re=4.5×104，计算长度为25倍的HT，计算网格采用了75×50的网格密度。计算结果与试验资料[11]进行了比较。
图3为壁面压力系数，从图中可看出：在台阶后，NLMTS紊流模型的计算结果与实测的结果比较吻合，并优于MTS紊流模型的计算结果。另外，回流的再附着长度也是检验模型的重要指标，MTS紊流模型计算的再附着长度为Xr=X/HT=7.4，NLMTS紊流模型计算的长度为Xr=X/HT=7.3，试验实测值Xr=X/HT=7.1.此外，对突扩比为2.105：1的后台阶的流动进行了计算，台阶高度为9.5mm,雷诺数为5500，计算的流速分布如图4所示。计算的结果与激光流速仪所测的结果[12]进行了比较，其结果说明修正的双时间尺度紊流模型使计算结果有所改进。
4.2 泄洪洞进口流场的数值模拟 我们对某水利枢纽导流泄洪洞进口流厨行了数值模拟，第一作者曾对该导流泄洪洞进行了水力试验。该泄洪洞由导流明渠、闸室段、渐变段、洞身段、出口扩散段、消力池及尾水等部分组成。泄洪洞进口与导流明渠相接，进口段为压力短管型式，闸底高程592.0m，进口段高8m×12m检修平板闸门两扇，8m×10m弧形门两扇。进水口为喇叭口，进口顶部曲线方程为X2/122+Y2/42=1，接1∶4切线，检修门槽后为1∶4的压板，底部水平。试验中，一项主要的任务是确定泄洪隧洞进
口段的压力。其最不利工况为：单孔泄流，流量为1200m3/s，库水位为616.6m，闸门为全开。
由于库水位较高，泄洪洞进口淹没水深较深，为简化计算，
计算中没有考虑导流明渠和检修门槽的影响。计算中采用分块技术划分网格，水库用正规网格22×10×23，进口段采用贴体坐标，网格10×14×18.水库进口给定流速及其它物理参数。出口为自由出流，压力按静水压强分布给定。计算结果见图5和图6.
图2 二维突扩后台阶流动示意图 图3 后台阶流动的壁面压力系数
▲ 文献[12]中的实测值 ■ NLMTS模型计算值+MTS模型计算值
图4 突扩流断面流速分布 图5 泄洪洞进口对称断面流速分布
图5为泄洪洞进口中线的流速分布图，最大流速为15.4m/s.图6为泄洪洞进口对称面顶部和侧壁中部压力试验值和计算值的对比图。从图中可看出：在侧壁，压力计算值与试验值吻合较好，特别是计算值与试验值沿程的变化趋势和绝对值基本一致；在对称面顶部检修门槽后，压板处的计算值与试验值有一定的误差。造成误差的原因是：计算中没有考虑门槽的影响；第二，在试验中，门槽中的水面波动很大，水面波动影响了顶部壁面的压力分布。
5 ）结语
本文对双时间尺度紊流模型进行了非线性修正，建立了非线性双时间尺度紊流模型。建立的模型克服了各向同性的缺陷，同时又保留了双时间尺度的特点。通过对具有分离、回流的水流数值模拟和实验资料比较，说明修正的双时间尺度紊流模型计算结果与实测数据较为符合，比双时间尺度紊流模型有进一步的改进，而且计算工作量并未有显著增加。采用非线性双时间尺度紊流模型对泄洪洞进口流场的数值模拟，计算的结果与试验数据比较吻合，其计算结果可作为工程设计和物理模型试验的参考，以减少试验次数和降低试验的费用。
二.非线性模型竞赛论文及学习笔记
1）.论文的特点：1）考虑问题比较全面，最优化的把利润减到最小，模型实际性很强。2）使用图形法对问题进行分析，根据数据的变化做相应的讨论处理。3)假设比较巧妙，也很符合实际现状。从各在一定程度上减少了建模的复杂程度。4）论文简练，解题清晰，简单易懂。
不足之处：通过程序的计算我们可以发现，模型的简便会带来的偏差较大，并且在最后还需要相应的比较修正，这就是模型的严谨性降低了。
2）.竞赛论文剖析：论文一般包括1摘要；关键词；2问题重述；3模型的基本建设；4符号说明；5问题的分析6模型的建立；7模型的求解；8结果及其分析；模型的检验，改进与推广；10模型评价；11参考文
献；12附录；
3）非线性模型及求解：1.实验目的及意义：学习非线性规划模型的标准形式和建模方法，掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法，熟悉matlab软件求解非线性规划模型
的全过程，与线性规划比较其难点何在。
通过对实验学习，并且是学生会使用matlab软件进行非线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析，解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。2.实验内容：建立非线性模型的基本要素和步骤，熟悉使用matlab软件，学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧3.实验步骤:开启matlab软件，开启matlab编辑窗口，根据问题，建立非线性规划模型。并编写求解规划模型的M文件，保存文件并运行。观察运行结果。根据观察到的结果和体会，写出实验报告。4.实验要求与任务： 根据实验内容步骤，完成以下实验（实验目的，问题，数学模型，算法与编程，计算结果，分析检验和结论）