二次函数全章教案

第二十二章二次函数教案
（一）．二次函数在初中数学教材中的分析
二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。

（二）本章课时安排
本章教学时间约需15课时，具体安排如下：
22．1节二次函数…………………………7课时
22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时
22．3实际问题与二次函数…………………3课时
教学活动小结及测试…………………3课时
（三）、本章教学目标分析
（1）本章教学要求如下
①经历描点法画函数图象的过程。

②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。

③经历二次函数图象平移的过程。

④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。

⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。

⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。

⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。

⑧能运用配方法将c
=2变换成k
+
ax
y+
bx
-
=2)
y+
(的的形式。

h
x
a
⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。

探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。

⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

经历数学建模的基本过程。

感受数学的应用价值。

发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

(2)学法教法建议
1．在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2. 教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。

3. 教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。

注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。

4. 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。

课题22.1.2二次函数（第二课时）
教学目标
x的图象，理解抛物线的知识与技能使学生会用描点法画出y=a2
有关概念。

过程与方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。

情感态度与价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象、会用待定系数法确定二次函数y=ax2的解析式；
教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

课时安排一课时
课前准备
教学过程一、情境导入
师：1，同学们可以回想一下，一次函数的性质
是如何研究的?
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来
研究二次函数的性质
呢?如果可以，应先研究
什么?——图象
3．一次函数的图象是什
么？
那么二次函数的图象是
什么?板书课题
二、范例
x的图象。

师生：画二次函数y=2
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值
表：（生独立完成）
x…－3－2－10123…
y…9410149…
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作
为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函
x的图象，如图所示。

数y=2
师：可做适当演示；
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
生：讨论
师：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物
线的顶点．
三、做一做、议一议
当a>0时，抛物线y=a 2x 开口______，在对称轴
的左边，曲线自左向
右______；在对称轴
的右边，曲线自左向
右______，______是
抛物线上位置最低的
点。

图象的这些特点反映
了函数的什么性质?
先让学生观察下图，回答以下问题；
(1)点A 与点B 横坐标大小关系如何?是否都小于
0？
2) 点A 与点B 纵坐标大小关系如何?
(3) 点C 与点D 横坐标关系如何?是否都大于0?
(4) 点C 与点D 纵坐标大小关系如何?
师生明确：当X<0时，函数值y 随着x 的增大而
______，
当X>O 时，函数值y 随X 的增大而______；
当X ＝______时，函数值y=a 2x (a>0)取得最
值，最 值y=______
3.观察函数y ＝-2x 、y=-22x 的图象， 让学生讨
论、交流，达成共识：
当a<O 时，抛物线y=ax 2开口 ，在对称轴
的左边，曲线自左向右 ；在对称轴的右边，
曲线自左向右 ， 是抛物线上位置最高
的点。

图象的这些特点，反映了当a<O 时，函数
y=a 2x 的性质；
进一步明确：当x<0时，函数值y 随x 的增大
而 ；与x>O 时，函数值y 随x 的增大而 ，
当x=0时，函数值y ＝a 2x 取得最 值是。

五、课堂小结： 1．如何画出函数y=a 2x 的图象?
2．函数y ＝a 2x 具有哪些性质?
师：可以引导学生以表格的形式记笔记。

抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax 2 a>0 a<0
5、求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，
并说出该
函数具有
哪些性质
五、小结：
通过本节
课的学
习，你学
到了什么知识？有何体会？
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：
a 0;
b 0;
c 0;ac
b4
2-0。

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、
c、ac
b4
2-的关系：
系数的符号图像特征
a的符号a>0.抛物线开口向
a<0抛物线开口向
b的符号b>0.抛物线对称轴在y
轴的侧
b=0抛物线对称轴是
轴
b<0抛物线对称轴在y
轴的侧
c的符号c>0.抛物线与y轴交于
C=0抛物线与y轴交于
c<0抛物线与y轴交于
ac
b4
2-的符号
ac
b4
2->0.
抛物线与x 轴有
个交点
ac
b4
2-=0
抛物线与x 轴有
个交点
ac
b4
2-<0
抛物线与x 轴有
个交点
六、作业：课后反思y
x o
出S的最大值,并确定当单价在什么范围内变化时，利润随
单价的增大而增大？
(3)若超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得
一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
学生独立分析完成，板书解题过程。

四、反思感悟：
1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
3、学到了哪些思考问题的方法？
五、布置作业：
六、板书设计
补充练习：
为改善小区环境，某小区决定
在一块一边靠墙（墙长25m）的
空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，另三
边用总长为40m的栅栏围住.若
设绿化带的BC边长为xm，绿化
带的面积为ym².(1)求y与x的
函数关系式，并写出自变量x的取
值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最
大？
课后反思
时间科目数学年级九年级课题22.3 实际问题与二次函数（第二课时）
图26.2.6
练习：如图，有一个抛物线形的
水泥门洞．门洞的地面宽度为8
m，两侧距地面4 m高处各有一盏
灯，两灯间的水平距离为6 m．求
这个门洞的高度．（精确到0.1 m）
小结：
1、在实际应用中，用待定系数法求二次函数的函数关系式
的关键是什么？
作业：
1、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为
4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标
系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多
少？
2、预习下一节的内容。

课后反思
一、情境导入
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题． 问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示． 根据设计图纸已知：在图（2）所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2
＋2x ＋5
4
． ①喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
②如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
分析：本题已经建立直角坐标系，并告诉了关系式，直接运用关系式求解即可。

第①题求最大高度，即求最大值；第②题求半径，即求OB 的长，没求过，其实通过点B 的横坐标即可得到。

已知关系式，能用
y ＝0，求x 的值吗？
图26.3.2
(第1题)
处（即OC＝4）达到最高点，最高点高为3 m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动
时间 科目 数学 年级 九年级
课题
二次函数的复习
教学目标
知识与技能 掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决实际问题。

过程与方法 通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及数形结合思想，感受数学的应用价值，激发学习兴趣。

情感态度与价值观在这用本章知识解决具体问题过程中，进一步增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣。

教学重点 本章知识结构梳理及其应用。

教学难点 灵活运用二次函数性质解决实际问题。

课时安排 一课时
课前准备
教学过程
一、情境导入
1. 比较下列二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标，最值情况，函数单调性等。

2ax y =，y ＝ax 2＋k ，y ＝a （x+h ）2，k m x a y ++=2)(，
y=ax 2
+bx+c
二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象的对称轴为x=-a
b
2
，最值为y=a
b a
c 442-
2.二次函数解析式的求法：一般式与顶点式
一般式：)0(2
≠++=a c bx ax y 条件：抛物线上任意三点
顶点式：k m x a y ++=2
)(条件：顶点+抛物线上任意一点
例题讲解与练习：
1．二次函数(1)(2)y x x =--的一般式是 ，二次项系数，一次项系数，常数项分别是 。

2、抛物线()2
1252
y x =-
-+的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向_____。

批注。