LC_谐振电路

RP2 X
2 P
X
2 P
按类似方法也可以求得:
Rp=
RS2

X
2 S
RS2
Rp=
RS2

X
2 S
XS
将上式代入式(1.4.3)、 (1.4.4)可以得到下述统一的阻抗转
换公式，同时也满足式(1.4.1)和(1.4.2)。
该曲线如图１．２．２所示。
(7) 通频带、选择性、矩形系数。
由图１．２．２可知，Ｑ0越大，谐振曲线越尖锐，选择
性越好。 为了衡量回路对于不同频率信号的通过能力，定义
单位谐振曲线上Ｎ（ｆ）≥
1所包含的频率范围为回路的通频
2
带， 用ＢＷ0.7表示。在图上ＢＷ0.7＝ｆ2－ｆ1，
可得
N( f )
1
1
2

RL

1 n2
RL
其中ｎ是接入系数， 在这里总是小于１。如果把RL折合
到回路中1，2两端，则等效电阻
2
RL


C2 C1

RL
1.3.4电感分压式电路
图1．3．5（ａ）所示为电感分压式阻抗变换电路， 它与 自耦变压器阻抗变换电路的区别在于Ｌ1与Ｌ2是各自屏蔽的， 没有互感耦合作用。
第1章 LC谐振回路
1.1 概述 1.2 ＬＣ谐振回路的选频特性 1.3 变压器或LC分压式阻抗变换电路 1.4 LC选频匹配网络 1.5 章末小结
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第1章 LC写真
1.1 概 述
LC谐振回路是高频电路里最常用的无源网络， 包括并联 回路和串联回路两种结构类型。
利用LC谐振回路的幅频特性和相频特性，不仅可以进行 选频，即从输入信号中选择出有用频率分量而抑制掉无用频率 分量或噪声(例如在选频放大器和正弦波振荡器中)，而且还可 以进行信号的频幅转换和频相转换(例如在斜率鉴频和相位鉴 频电路里)。另外，用L、 C元件还可以组成各种形式的阻抗变 换电路和匹配电路。所以，LC谐振回路虽然结构简单，但是 在高频电路里却是不可缺少的重要组成部分，在本书所介绍的 各种功能的高频电路单元里几乎都离不开它。
(1) 回路谐振电导
ge0

1 Re0

r2
r (w0L)2

r ( w0 L) 2
1
(2) 回路总导纳
Y=
ge0

j(wc
) wL
(3) 谐振频率ω0=
1 LC
或f0

2
1 LC
(4) 回路两端谐振电压U00= 1
g e 0 w0 L
(5) 回路空载Q值Q0=
1 g e 0 w0 L

N1 N2
R L=Rs。
所以
N1 Rs 0.125 N2 16RL
在以上介绍的四种常用阻抗变换电路中，所导出的接入系 数ｎ均是近似值，但对于实际电路来说，其近似条件容易满足， 所以可以容许引入的近似误差。
采用以上四种电路虽然可以在较宽的频率范围内实现阻 抗变换，但严格计算表明，各频率点的变换值有差别。如果 要求在较窄的频率范围内实现理想的阻抗变换，可采用下面 介绍的ＬＣ选频匹配网络。
解： 由图可见， 这是自耦变压器电路与电容分压式电路 的级联。
ＲL等效到Ｌ两端的电阻
R″L =
2
1 n22
RL


C1 C2 C1

RL
16RL
Ｒ″L等效到输入端的电阻
2
R′L
=
1 n12
RL


N1 N2

RL

16
N1 N2
RL
2
如要求Ｒ′L＝Ｒs， 则16
回路Ｑ值(即选择性)是互相矛盾的两个性能指标。 选择性是指
谐振回路对不需要信号的抑制能力， 即要求在通频带之外，
谐振曲线Ｎ（ｆ）应陡峭下降。所以，Ｑ值越高，谐振曲线越
陡峭， 选择性越好，但通频带却越窄。一个理想的谐振回路，
其幅频特性曲线应该是通频带内完全平坦，信号可以无衰减通
过，而在通频带以外则为零，信号完全通不过，如图
RL

1 n2
RL或gL

n2gL
1.3.3电容分压式电路
图1．3．4（ａ）是电容分压式阻抗变换电路，（ｂ）是 ＲL等效到初级回路后的初级等效电路。
利用串、并联等效变换公式，在ω2R2L(C1+C2)2>>1时，
可以推导出ＲL折合到初级回路后的等效电阻
RL

பைடு நூலகம்
1
C1 C1 C2
设初级线圈与抽头部分次级线圈匝数之比Ｎ1∶Ｎ2＝１∶ｎ，
则有：
Ｐ1=Ｐ2， U1／U2
因为 P1=′
1 U12 2 RL
P2

1 2
U 22 RL
所以
RL RL


U1 U2
2



1
2

n
R′L=
1 n2
RL或gL

n2gL
对于自耦变压器，ｎ总是小于或等于１, 所以, ＲL等效到 初级回路后阻值增大，从而对回路的影响将减小。ｎ越小, 则 Ｒ′L越大，对回路的影响越小。所以，ｎ的大小反映了外部接 入负载（包括电阻负载与电抗负载）对回路影响大小的程度， 可将其定义为接入系数。
采用阻抗变换电路可以改变信号源或负载对于回路的等效 阻抗。若使Ｒs或ＲL经变换后的等效电阻增加，再与Ｒe0并联， 可使回路总电阻ＲΣ减小不多，从而保证Ｑe与Ｑ0相差不大； 若信号源电容与负载电容经变换后大大减小，再与回路电容Ｃ 并联， 可使总等效电容增加很少，从而保证谐振频率基本保持 不变。
下面介绍几种常用的阻抗变换电路。
１．２．２所示宽度为ＢＷ0.7、高度为１的矩形。
为了衡量实际幅频特性曲线接近理想幅频特性曲线的程度， 提出了“矩形系数”这个性能指标。
矩 形 系 数 Ｋ 0.1 定 义 为 单 位 谐 振 曲 线 Ｎ （ ｆ ） 值 下 降 到 ０．１时的频带范围ＢＷ0.1与通频带ＢＷ0.7之比， 即:
K0.1
（ｂ）图是ＲL等效到初级回路后的初级等效电路，Ｌ＝
Ｌ1＋Ｌ2。 ＲL折合到初级回路后的等效电阻
RL


1
L2 L1 L2
2

RL

1 n2
RL
其中ｎ是接入系数， 在这里总是小于１。
例１．２ 某接收机输入回路的简化电路如图例1.2所示。 已知Ｃ1=5pF，Ｃ2=15pF，Ｒs=75 Ω，ＲL=300 Ω。为了使电路 匹配，即负载ＲL等效到ＬＣ回路输入端的电阻Ｒ′L＝Ｒs， 线 圈初、次级匝数比Ｎ1／Ｎ2应该是多少？
1.2 LC
1.2.1并联谐振回路
图1.21(a)是电感L、电容C和外加信号源

IS
组成的并联谐
振回路。r是电感L的损耗电阻，电容的损耗一般可以忽略。 (b)
图是其等效转换电路，ge0和Re0分别称为回路谐振电导和回路 谐振电阻。
根据电路分析基础知识， 可以直接给出LC并联谐振回路 的某些主要参数及其表达式：
串联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式 分别为：
Z=r+j r2 (wL 1 )2 wc
wL 1
arctan wc
r
并联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式分
别为：
z
1
ge20

(wc

1 wL
)2
wc 1
arctan wL
ge0
图１．２．４（ａ）、 （ｂ）分别是串联谐振回路与并 联谐振回路空载时的阻抗特性曲线。由图可见，前者在谐振频 率点的阻抗最小，相频特性曲线斜率为正； 后者在谐振频率 点的阻抗最大，相频特性曲线斜率为负。所以，串联回路在谐 振时，通过电流Ｉ00最大； 并联回路在谐振时，两端电压U 00最大。 在实际选频应用时，串联回路适合与信号源和负载 串联连接，使有用信号通过回路有效地传送给负载；并联回路 适合与信号源和负载并联连接，使有用信号在负载上的电压振 幅增大。

BW0.1 BW0.7
由定义可知，Ｋ01是一个大于或等于１的数， 其数值越小， 则对应的幅频特性越理想。
例１．１ 求并联谐振回路的矩形系数。
解： 取
N( f )
1
1
1

Q02
(
2f f0
)2
10
利用图1.2.2，用类似于求通频带ＢＷ0.7的方法可求得:
BW0.1 f4
K0.1

BW0.1 BW0.7
Q0=
1 Re0 ge0w0L w0L
而回路有载Ｑ值
Q0=
1 Re0 g w0L w0L
1
其 中 回 路 总 电 导 gΣ=gs+gL+ge0= R ， 回 路 总 电 阻 RΣ=Rs‖RL‖Re0，ｇs和ｇL分别是信号源内电导和负载电导。
可见，Ｑe＜Ｑ0，且并联接入的Ｒs和ＲL越小，则Ｑe越 小，回路选择性越差。 另外， 由式（１．２．４）可知，谐 振电压Ｕ00也将随着谐振回路总电阻的减小而减小。实际上， 信号源内阻和负载不一定是纯电阻，可能还包括电抗分量。 如要考虑信号源输出电容和负载电容，由于它们也是和回路 电容Ｃ并联的，所以总电容为三者之和，这样还将影响回路 的谐振频率。因此， 必须设法尽量消除接入信号源和负载对 回路的影响。
串、并联回路的导纳特性曲线正好相反。 前者在谐振频 率处的导纳最大，且相频特性曲线斜率为负；后者在谐振频率 处的导纳最小，且相频特性曲线斜率为正。读者可自己写出相 应的幅频和相频特性表达式， 画出相应的曲线。
1.3
考虑信号源内阻Ｒs和负载电阻ＲL后，并联谐振回路的电 路如图１．３．１所示。由式（１．２．５）可知，回路的空
f3

102
102 1
1 f0 Q0
9.95
由上式可知， 一个单谐振回路的矩形系数是一个定值，
与其回路Ｑ值和谐振频率无关，且这个数值较大，接近１０，
说明单谐振回路的幅频特性不大理想。
1.2.2
图１．２．３是串联ＬＣ谐振回路的基本形式， 其中ｒ是 电感Ｌ的损耗电阻，ＲL是负载电阻。
下面按照与并联ＬＣ回路的对偶关系， 直接给出串联ＬＣ 回路的主要基本参数。
f f0

f )2 f0
定义相对失谐ε=
f f0

f f0
， 当失谐不大时，即ｆ与ｆ0相差
很小时, ε＝
f f ( f f0) ( f f0) 2( f f0) 2f
f0 f0
f0 f
f0
f0
所以 N(f) =
1
1

Q02
(
2f f0
)2
根据式（１．２．１０）可作出单位谐振曲线Ｎ（ｆ）。
1.3.1自耦变压器电路
图1．3．2(a)所示为自耦变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考
虑次级后的初级等效电路，Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。 在
图中，负载ＲL经自耦变压器耦合接到并联谐振回路上。设自
耦变压器损耗很小，可以忽略，则初、次级的功率P1、P2近似
相等，且初、次级线圈上的电压U1和U2之比应等于匝数之比。

w0c /
ge0
(6) 单位谐振曲线。
谐振时，回路呈现纯电导，且谐振导纳最小（或谐振阻抗 最大）。回路电压U与外加信号源频率之间的幅频特性曲线称 为谐振曲线。谐振时，回路电压U00最大。任意频率下的回路 电压U与谐振时回路电压U00之比称为单位谐振函数，用Ｎ（ｆ） 表示。Ｎ（ｆ）曲线称为单位谐振曲线。
1

Q02
(
2f f0
)2
2
2f Q0 f0
1
Q0
2(
f2 f0
f0)
1
Q0
2(
f1 f0
f0)

1
将式（１．２．１１）减去式（１．２．１２）， 可得到:
Q0
2(
f2 f0
f1 )

2
所以
BW 0.7
=f2-f1=
f0 Q0
(1.2.13)
可见， 通频带与回路Ｑ值成反比。 也就是说， 通频带与
Ｎ（ｆ）＝
U U00
1
1

(2f
c

1
2f
)2 L
/
ge20
由Ｎ（ｆ）定义可知， 它的值总是小于或等于１。
由式（１．２．３）和式（１．２．５）可得:
wc
1 wL

wcw0L
w0L wL
ge0
ge0w0L

Q0
(
w w0

w0 w
)

Q0 (
f f0

f0 ) f
所以
Ｎ(f)=
1
1 Q02 (
回路总阻抗 回路空载Ｑ值
回路有载Ｑ值
Z＝RL+r+j (wL 1 )
Q0= w0L
wc
r
w0L Qe= RL r
谐振频率f 0=
1
2 LC
单位谐振函数N(f)=
I I 00
1
1 Q02 2
通频带BW 0.7
=
f0 Q0
其中Ｉ是任意频率时的回路电流，
的回路电流。
00 是谐振时
1.2.3串、
1.4
1.4.1 阻抗电路的串—并联等效转换
由电阻元件和电抗元件组成的阻抗电路的串联形式与并联形 式可以互相转换， 而保持其等效阻抗和Ｑ值不变。
由图1．4．1可写出：
Zp=Rp‖jXp =
X
2 P
RP2

X
2 P
RP

j
RP2
RP2

X
2 P
XP
Zs=Rs+jXs
要使Ｚp＝Ｚs，必须满足:
Rs = RP2
1.3.2变压器阻抗变换电路
图1．3．3（ａ）为变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考虑 次级后的初级等效电路， Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。若 Ｎ1、 Ｎ2分别为初、次级电感线圈匝数，则接入系数ｎ＝Ｎ2 ／Ｎ1。
利用与自耦变压器电路相同的分析方法， 将其作为无损 耗的理想变压器看待，可求得ＲL折合到初级后的等效电阻