大学物理,力矩

由角加速度的定义

dω dt
ω dω

dω dθ dθ dt
ω
dω dθ
m,l O
FN
θ
mg
3g 2l
sin θ d θ
3g l (1 cos θ )
代入初始条件积分得 ω
第四章 刚体的转动
物理工程学院
p 0 Lh
2

1 6
g Lh
3
代入数据，得：
M 2 .14 10
12
y O Q
N m
第四章 刚体的转动
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
二
转动定律
（1）单个质点 m 与转轴刚性连接
F t ma
t
z
M
Ft
F
mr
O r
m
Fn
M rF sin θ
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
大学物理
Physics for institute
主讲教师:刁振琦
物理工程学院
第四章 刚体的转动
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
一
力矩
z
M
用来描述力对刚体 的转动作用． F 对转轴 z 的力矩
M rF
M Fr sin Fd
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
F T1
PC
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
FC
C
mC
F T1
F T2 F T2
O
mA O PA
x
mB B
mB
PB y
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第四章 刚体的转动
4-2 力矩
(3) 转动中 M J 与平动中F ma 地位相同．
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
F
r
O
*
d
P
F

i
Fi 0 ,
d : 力臂 F F M 0 F
i i i
F
0,
i

i
Mi 0
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力F N 作用，由转动定律得
1 2
式中 J
m,l O
FN
θ
mg
mgl sin J
1 3
第四章 刚体的转动
ml
2
得
3g 2l
sin
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
10
h y
N
x O
L
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
d F 对通过点Q的轴的力矩 d M y d F
d F [ p 0 g ( h y )] L d y
M

h
0
y [ p 0 g ( h y )] L d y

dy
y
h
dF
1 2
y
y
x
h
x O Q O
L
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 d A L d y ，作用在此面积元上的力
d F p d A pL d y
y
y
x
h y O Q
dA
dy
x
O
L
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
转动定律 转动惯量
例3 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置， m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接，并可绕其转动．由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度．
其中 F z 对转轴的
F F z F
z
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
M z k r F
k
O
F
r
Fz

F
M
z
rF sin
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第四章 刚体的转动
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M rF t mr
2
M mr
2
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转动定律 转动惯量
Fej
m j
（2）刚体 质量元受外力 F e j ， 内力 F i j
M
ej
z
O
rj
M
ij
m jrj
2
Fij
外力矩
内力矩

j
M
ej


j
M
ij


j
m jrj
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
转动定律 M J
讨论 （1）M 0， ω不变 （2）
M J
d dt
（3） M J J
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转动定律 转动惯量
三
转动惯量
J

j
m jrj
2
J
r
2
dm
转动惯量的单位：kg· 2 m J 的意义：转动惯性的量度 .
F T1 m A a
转动定律 转动惯量
F T1
PC
m B g F T2 m B a
RF T2 RF T1 J
FC
a R
FN
F T2 F T2
mA O PA
F T1
O
mB
PB y
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x
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量

r dV
2
V
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转动定律 转动惯量
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状及体密度 的分 布有关． （3）与转轴的位置有关．
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转动定律 转动惯量
四 平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
M M1 M 2 M 3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
F ji
O
M
d
ji
i ri
F ij
M
ij
M
ji
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转动定律 转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
a
mBg mA mB mC 2
解得：
F T1
mAmBg mA mB mC 2
F T2
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
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转动定律 转动惯量
mAmBg mA mB mC 2
如令 m C 0 ，可得
F T1 F T2 mAmBg mA mB
F T1
F T2
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
v 2 ay 2 m B gy mA mB mC / 2
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J O J C md
第四章 刚体的转动
2
d
C
m
O
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
J J c md
JP 1 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量
mR
2
P
R
O m
mR
2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc 1 12
O1 O1’
mL
2
J J c m( ) mL 2 3
2
M
ij
M
ji
M
ij
0
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
Fej
m j

j
M
ej
( m j r j )α
2
z
O
定义转动惯量
J
rj
பைடு நூலகம்
j
m jrj J
2
r
2
dm
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
令大气压为 p 0 ，则 p p 0 g ( h y )
d F P d A [ p 0 g ( h y )] L d y
F
h

0
[ p 0 g ( h y )] L d y
p 0 Lh
1 2
gLh
2
y
dA
dy
代入数据，得
F 5 . 91 10
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转动定律 转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J
m
m
j
j
r j m 1 r1 m 2 r2 m j r j
2 2 2
2
质量连续分布
J
j
rj
2
r
2
dm
d m ：质量元 d V ：体积元
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2
L
1
2
d=L/2
O2 O2’
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第四章 刚体的转动
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动
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竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
转动定律应用 M J 说明 (1) M J , 与 M 方向相同． (2) 为瞬时关系．