线性方程组的迭代法
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方法3 采用近似解的迭代改善方式，逼近方程组的 精确解。
设x^是方程组Ax=b的近似解，则以其残余向量
r=b-Ax^为新的右端项的方程组：Ax=r （ *）
方程组（*）的解e作为近似解x^修正，得到原方程 组更好的近似解 x = x^+e
重复该过程，就可得到一个近似解序列，可以证明 该序列收敛于Ax=b的真解。具体内容可参见有关文 献。
计算方法三⑥
8/35
解线性方程组的所有直接方法比较适用于中小型 方程组.对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的,但在计 算中很难保持稀疏性,因而有存储量大，程序复杂等不 足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决.
计算方法三⑥
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§3.6 迭代法
• 它的基本思想是将线性方程组 AX=b 化为 等价方程组
•
X=BX+f
• 再由此构造向量序列{X (k)}:
•
X(k+1)=BX (k)+f
• 若{X (k)}收敛至某个向量X *,则向量X *就是
所求方程组 AX=b 的准确解.
• 线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、 Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.
计算方法三⑥
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一、Jacobi 迭代法
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的；
当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。 病态方程组的求解问题：
首先考虑怎样判断方程组是否属于病态方程组。 设方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异计算A的条件数，是 判断病态方程组的可靠方法。但在实际问题中，当方程 组的规模较大时，计算条件数的工作量很大，甚至超过 了求解方程组的计算量。一般采用下列方式，初步进行 直观的判断。
计算方法三⑥
5/35
方法2 采用豫处理，降低矩阵A的条件数，以改善方 程组的病态程度。
例如当系数矩阵A元素的数量级差别很大时，可以对某些行或 列乘上适当的数，使得A的所有行或列按某种范数大体上有相 同的长度。我们称这种方法为行（列）均衡法。
例 设方程组
1 104 11
= x1
104
x2
2
考虑用均衡法改善它的条件数。
x1
x1
x2 10 x2 x2
化为等价于方程组: X=BX+f
2x3 2x3 5x3
11/35
7.2 8.3 4.2
x1
x2
x3
0.1x1 0.2x1
0.1x2 0.2x3 0.2x3
0.2x2
0.72 0.83 0.84
1/35
b
A1 A
b
解的相 对误差
常数项的 相对误差
系数矩阵的 相对误差
|| A1 || || A || A1 A
X
说明系数矩阵和常数项的相对误差 在 解中放大了||A-1|| ||A||倍。
计算方法三⑥
2/35
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数， 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
1.29934
8
1.09981
1.19941
•由此构造向量序列{X (k)}: X(k+1)=BX(k)+f
若X(k+1)→X*，则X*即为AX=b的解。
计算方法三⑥
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取迭代初值 x1(0) x2(0) x3(0) 0, 依次代入迭代公式:X(k+1)=BX(k)+f
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
0
0.00000
0.00000
如果确定待解的方程组Ax=b是一个病态方程组,
则数值求解必须小心，选择合适的方法，否则难以达 到要求的精确度。一般方法有：
计算方法三⑥
4/35
方法1 采用尽可能高精度的运算，例如双精度或多精
度，以改善和减轻矩阵病态的影响，但此时的计算量
将大大增大。
1 1/2 1/3 1/4
x1
25/12
例 方程组
计算方法三⑥
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1）当det(A)相对来说很小，或者A的某些行 （或列）近似线性相关，Ax=b可能病态；
2）当系数矩阵A中元素的绝对值相差很大， 且无规则， Ax=b可能病态；
3）如果采用Gauss选主元消去法求解，在消 元过程中出现小主元， Ax=b可能病态；
4）求解方程组时，出现一个很大的解， Ax=b可能病态。
Jacobi迭代和Seidel迭代 是求解线性方程组的两种基 本的迭代法，但由于收敛速 度较慢，已经越来越不适应 当前信息时代人们对计算速 度和精度的要求，所以在实 际应用中使用得并不多。但 是由于它们体现了迭代法的 最基本的思想，所以仍是学 习其它迭代法的基础。
计算方法三⑥
例:设AX=b为
10x1
1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6
x2 =
x3
77/60 57/60
1/4 1/5 1/6 1/7
x4
319/420
1
分别用3位和5位有效数字舍入运算的
它的精解为 x= 1
消去法求解，得到的解分别为
1 x=(0.988，1.42，-0.428, 2.10)T 和
1 x=(1.0000，0.99950，1.0017, 0.99900)T 显然后者的精度大大提高了
0.00000
1
0.72000
0.83000
0.84000
2
0.97100
1.07000
1.15000
3
1.05700
1.15710
1.24820
4
1.08535
1.18534
1.28282
5
1.09510
1.19510
1029414
6
1.09834
1.19834
1.2950481
解：矩阵A的条件数cond(A)∞≈104，方程组是病态的 。为了使各行元素的大小均衡，将第一个方程乘以
10-4，得到方程组 cond(B)∞≈4
BX =
10-4 1 11
= x1
1
x2
2
计算方法三⑥
6/35
再计算矩阵B的条件数cond(B)∞≈4，显然经过行均 衡后，系数矩阵的条件数得到很大的改善。
计算方法三⑥
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作业：P74-75 8、9、10、 17
实验
25 41 10
A
41 10 6
68 17 10
17 5 3
6
32
10 23
b
23 3331
1、计算A的条件数cond(A). 2、如何改变方程组AX=b的病态性？
设x^是方程组Ax=b的近似解，则以其残余向量
r=b-Ax^为新的右端项的方程组：Ax=r （ *）
方程组（*）的解e作为近似解x^修正，得到原方程 组更好的近似解 x = x^+e
重复该过程，就可得到一个近似解序列，可以证明 该序列收敛于Ax=b的真解。具体内容可参见有关文 献。
计算方法三⑥
8/35
解线性方程组的所有直接方法比较适用于中小型 方程组.对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的,但在计 算中很难保持稀疏性,因而有存储量大，程序复杂等不 足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决.
计算方法三⑥
9/35
§3.6 迭代法
• 它的基本思想是将线性方程组 AX=b 化为 等价方程组
•
X=BX+f
• 再由此构造向量序列{X (k)}:
•
X(k+1)=BX (k)+f
• 若{X (k)}收敛至某个向量X *,则向量X *就是
所求方程组 AX=b 的准确解.
• 线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、 Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.
计算方法三⑥
10/35
一、Jacobi 迭代法
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的；
当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。 病态方程组的求解问题：
首先考虑怎样判断方程组是否属于病态方程组。 设方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异计算A的条件数，是 判断病态方程组的可靠方法。但在实际问题中，当方程 组的规模较大时，计算条件数的工作量很大，甚至超过 了求解方程组的计算量。一般采用下列方式，初步进行 直观的判断。
计算方法三⑥
5/35
方法2 采用豫处理，降低矩阵A的条件数，以改善方 程组的病态程度。
例如当系数矩阵A元素的数量级差别很大时，可以对某些行或 列乘上适当的数，使得A的所有行或列按某种范数大体上有相 同的长度。我们称这种方法为行（列）均衡法。
例 设方程组
1 104 11
= x1
104
x2
2
考虑用均衡法改善它的条件数。
x1
x1
x2 10 x2 x2
化为等价于方程组: X=BX+f
2x3 2x3 5x3
11/35
7.2 8.3 4.2
x1
x2
x3
0.1x1 0.2x1
0.1x2 0.2x3 0.2x3
0.2x2
0.72 0.83 0.84
1/35
b
A1 A
b
解的相 对误差
常数项的 相对误差
系数矩阵的 相对误差
|| A1 || || A || A1 A
X
说明系数矩阵和常数项的相对误差 在 解中放大了||A-1|| ||A||倍。
计算方法三⑥
2/35
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数， 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
1.29934
8
1.09981
1.19941
•由此构造向量序列{X (k)}: X(k+1)=BX(k)+f
若X(k+1)→X*，则X*即为AX=b的解。
计算方法三⑥
12/35
取迭代初值 x1(0) x2(0) x3(0) 0, 依次代入迭代公式:X(k+1)=BX(k)+f
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
0
0.00000
0.00000
如果确定待解的方程组Ax=b是一个病态方程组,
则数值求解必须小心，选择合适的方法，否则难以达 到要求的精确度。一般方法有：
计算方法三⑥
4/35
方法1 采用尽可能高精度的运算，例如双精度或多精
度，以改善和减轻矩阵病态的影响，但此时的计算量
将大大增大。
1 1/2 1/3 1/4
x1
25/12
例 方程组
计算方法三⑥
3/35
1）当det(A)相对来说很小，或者A的某些行 （或列）近似线性相关，Ax=b可能病态；
2）当系数矩阵A中元素的绝对值相差很大， 且无规则， Ax=b可能病态；
3）如果采用Gauss选主元消去法求解，在消 元过程中出现小主元， Ax=b可能病态；
4）求解方程组时，出现一个很大的解， Ax=b可能病态。
Jacobi迭代和Seidel迭代 是求解线性方程组的两种基 本的迭代法，但由于收敛速 度较慢，已经越来越不适应 当前信息时代人们对计算速 度和精度的要求，所以在实 际应用中使用得并不多。但 是由于它们体现了迭代法的 最基本的思想，所以仍是学 习其它迭代法的基础。
计算方法三⑥
例:设AX=b为
10x1
1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6
x2 =
x3
77/60 57/60
1/4 1/5 1/6 1/7
x4
319/420
1
分别用3位和5位有效数字舍入运算的
它的精解为 x= 1
消去法求解，得到的解分别为
1 x=(0.988，1.42，-0.428, 2.10)T 和
1 x=(1.0000，0.99950，1.0017, 0.99900)T 显然后者的精度大大提高了
0.00000
1
0.72000
0.83000
0.84000
2
0.97100
1.07000
1.15000
3
1.05700
1.15710
1.24820
4
1.08535
1.18534
1.28282
5
1.09510
1.19510
1029414
6
1.09834
1.19834
1.2950481
解：矩阵A的条件数cond(A)∞≈104，方程组是病态的 。为了使各行元素的大小均衡，将第一个方程乘以
10-4，得到方程组 cond(B)∞≈4
BX =
10-4 1 11
= x1
1
x2
2
计算方法三⑥
6/35
再计算矩阵B的条件数cond(B)∞≈4，显然经过行均 衡后，系数矩阵的条件数得到很大的改善。
计算方法三⑥
7/35
作业：P74-75 8、9、10、 17
实验
25 41 10
A
41 10 6
68 17 10
17 5 3
6
32
10 23
b
23 3331
1、计算A的条件数cond(A). 2、如何改变方程组AX=b的病态性？