分形曲线与面积计算

Area
(
Pn
)
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三、电子科技大学清水河校区占地面积计算
参考电子科技大学 清水河校区1:200 地图(或参考网上 地图). 采样学校周 边坐标数据计算学 校占地面积.
同类问题: 杭州西湖面积、 洞庭湖面积、 ·······················
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在自相似的图形中，局部只是整 体的缩影，而整体则是局部的放 大。适当的放大或缩小几何尺寸， 整个结构并不改变。
Mandelbrot 1924- 2010
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Koch分形曲线
算法描述:将一条直线段三等分,删除中间三分之一 部分,用一等边三角形的腰代替,形成四条线段的折 线.每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn
xdy

[(1
01
1
t ) xk

txk1]( yk1

yk
)dt
2 ( yk1 yk )(xk xk1 )
Lk ydx xdy xk yk1 xk1 yk (k 1,2, , n)
多边形面积计算公式:
An

1 2
n k 1
xk xk1
cos / 3 sin / 3
A sin / 3
cos
/
3

功能:对向量做旋转变换.
x1

x2


1 x1 0

x2
0 1
x1

x2


cos
x1
sin


sin
x2 cos

MATLAB代码
function koch0(P,N)
if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)];
for k=1:N
p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3;
)
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二、竞赛题的实验设计 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等 分点连接成的六边形，······，Pn+1是由Pn之各边3等分 点连成的多边形。
试证Pn的边数为：
Ln 3 2n1
求 Pn 所围面积和面积数列的极限
lim
n
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
格林公式导出的面积计算方法

D
(
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
取 P y Q x
区域 D 的面积公式 A 1 ydx xdy 2L
设 D 是平面多边形, 顶点为:
Pk ( xk , yk ) (k 1,2, , n)
Koch分形曲线与面积计算
分形图形的基本特征 正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算
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分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967 年发表于美国《科学》杂志一篇论文
“英国海岸线有多长” 。
分形(Fractal)图形最基本特征是自相 似性，即某一对象的局部与整体在形 态、功能、信息、时间、空间等方面 具有相似性。
第 k 条边:

x(t) y(t )

(1 (1

t t
) )
xk yk

txk 1 tyk 1
,
t

(0,1)
1
Lk ydx 0 [(1 t) yk tyk1]( xk1 xk )dt

1 2
( xk1

xk
)( yk

yk1 )
Lk
yk yk 1
MATLAB函数: polyarea(x,y)
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 3 4n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
lim
n
Area(
K
n
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
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Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln

1 3n
4n

L0
Kn的维数: Dn ln 4 / ln 3 1.2618
1
Dn ln N / ln
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
Koch分形曲线
Koch岛
基本算法
Q2
P1
P2
P1 Q1
Q3 P2
(1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT; (3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
A是wenku.baidu.com交矩阵.
cos sin
sin x1
cos


x2

cos sin
A sin
cos

(1, 0)
1 0
cos

sin

(0, 1)

0 sin
1 cos

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