分形曲线及面积计算
Koch分形雪花图的面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
形的面积了解形面积的计算方法
形的面积了解形面积的计算方法面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小。
在几何中，我们可以通过各种方法来计算不同形状的面积。
本文将介绍常见图形的面积计算方法，帮助读者更好地理解和掌握形的面积的计算方法。
一、矩形的面积计算方法矩形是最常见的图形之一，其面积计算十分简单，可通过以下公式计算：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长度，宽代表矩形的宽度。
通过直接将长和宽代入公式即可得到矩形的面积。
二、三角形的面积计算方法三角形的面积计算相对矩形稍微复杂一些，根据三角形的特点，我们可以使用以下两种方法计算三角形的面积：1. 通过底边和高计算面积 = 底边 ×高 ÷ 2其中，底边代表三角形的底边长度，高代表从底边到顶点的垂直距离。
将底边与高代入公式，计算结果除以2即可得到三角形的面积。
2. 通过海伦公式计算当我们只知道三角形的三条边长时，可以通过海伦公式来计算面积。
海伦公式如下：面积= √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]其中，a、b、c表示三角形的三条边长，p表示三角形的半周长，公式中的√表示开平方。
三、圆的面积计算方法圆也是一种常见的图形，其面积计算方法如下：面积= π × 半径²其中，π是一个常数，可以近似表示为3.14，半径代表圆的半径长度。
将半径的平方乘以π即可得到圆的面积。
四、正方形的面积计算方法正方形是特殊的矩形，其四边长度相等。
正方形的面积计算方法与矩形相同，可使用矩形的面积公式来计算：面积 = 边长 ×边长其中，边长代表正方形的边长长度。
将边长代入公式即可得到正方形的面积。
五、其他图形的面积计算方法除了上述常见图形外，还存在很多其他形状的图形，例如梯形、长方体、圆柱等。
这些图形的面积计算方法因形状特点的不同而各异，具体计算方法可以参考相关几何知识教材或者通过搜索引擎获取。
Koch分形雪花图地面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
分形曲线与面积计算-精品
sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos
(1, 0)
1
0
cos sin
(0, 1)
0 sin
1
cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
10/11
二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
一类分形曲线的构造算法及维数
一类分形曲线的构造算法及维数
王若恩;陈锦昌
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2005(026)005
【摘要】以分形理论为依据,根据分形几何描绘自然景物的基本思想,论述了一类分形曲线的递归算法和生成过程,通过参数控制,研究了如何使一条直线段生成了3种不同结构的分形曲线,运用C++编程绘出3种不同结构的分形曲线的图形;同时对Hausdorff维数理论进行了深入的研究与探讨,并且以Hausdorff维数理论为依据分析了由直线分形演绎生成的分形曲线的雏数,把维数理论与实践应用相结合.本研究为分形曲线的生成和实践应用提供了理论依据.
【总页数】5页(P105-109)
【作者】王若恩;陈锦昌
【作者单位】华南理工大学机械工程学院,广州,510640;广东工业大学应用数学学院,广州,510090;华南理工大学机械工程学院,广州,510640
【正文语种】中文
【中图分类】TP39
【相关文献】
1.三维空间中的分形插值曲线及其维数 [J], 李玲;冯志刚;许荣飞
2.一类分形方块的拓扑豪斯道夫维数 [J], 代玉霞;柯枫;李青
3.一类耦合的非线性KdV方程组的Hausdorff维数和分形维数 [J], 房少梅
4.一类非自治分数阶随机反应扩散方程随机吸引子的分形维数 [J], 白欠欠;舒级;李林妍;李辉
5.一类化学模型的确定模式和分形维数（英文） [J], 郭延涛;陈学勇
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
曲线与曲面的长度与面积
曲线与曲面的长度与面积在数学中，曲线与曲面是常见的几何概念，它们的长度与面积是我们研究的重点。
本文将探讨曲线与曲面的长度与面积计算方法，并举例说明。
一、曲线的长度计算对于平面曲线来说，我们可以使用弧长公式来计算其长度。
假设曲线方程为y=f(x)，其中a≤x≤b，那么曲线的长度L可以由以下积分求解：L = ∫[a,b]√[1+(f'(x))²]dx其中f'(x)表示曲线的导数。
通过求解上述积分，我们可以得到曲线的长度。
举例来说，考虑一条抛物线y=x²，其中-1≤x≤1。
我们可以计算出该曲线在给定范围内的长度。
首先求导得到f'(x)=2x，然后根据公式计算弧长：L = ∫[-1,1]√[1+(2x)²]dx通过计算上述积分，最终得到该抛物线在-1≤x≤1范围内的长度。
二、曲面的面积计算对于曲面来说，我们可以使用曲面面积公式来计算其面积。
假设曲面方程为z=f(x,y)，其中D为曲面在xy平面上的投影区域，那么曲面的面积S可以由以下积分求解：S = ∬[D]√[1+(fₓ(x,y))²+(fᵧ(x,y))²]dA其中fₓ(x,y)和fᵧ(x,y)分别表示曲面在x和y方向的偏导数，dA表示曲面元素的面积元。
举例来说，考虑一个半径为R的球面，其球心位于原点，那么球面方程可以表示为x²+y²+z²=R²。
我们可以计算出该球面的面积。
首先计算出fₓ(x,y)=fᵧ(x,y)=2z，然后根据公式计算曲面的面积：S = ∬[D]√[1+(2z)²]dA通过计算上述积分，最终得到该球面的面积。
综上所述，曲线与曲面的长度与面积可以通过数学方法计算得出。
这些计算公式为我们研究几何形体提供了有力的工具。
通过适当选择积分范围及运用相关计算方法，我们可以准确求解曲线与曲面的长度与面积问题。
这些计算结果对于实际应用中的建模、工程设计和科学研究等领域都具有重要的意义。
雪花曲线面积公式
雪花曲线面积公式雪花曲线（snowflake curve）是一种分形曲线，具有类似于雪花的形状。
雪花曲线在科学、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍雪花曲线的面积公式、原理和实际应用场景。
一、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是由德国数学家康托尔（Georg Cantor）最先发现的，即：S=\frac{3\sqrt{3}}{20}L^2S表示雪花曲线的面积，L表示雪花曲线的边长。
二、雪花曲线的原理雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性。
雪花曲线的生成是通过迭代过程得到的。
具体来说，生成一个雪花曲线需要以下几个步骤：Step 1：以一个正三角形为起点。
Step 2：将正三角形的每条边等分为3段，并将中间一段替换为两个边长相等、与中间一段成60度角的小正三角形，即在正三角形的每一条边上均生成一个小正三角形。
Step 3：对于每个小正三角形，重复Step 2的操作，直到达到所需的细节程度。
整个过程类似于“分形生长”，即通过不断重复根据一定规律生成新的形状。
这样生成的雪花曲线具有自相似性和不规则性，且细节层次丰富，看起来别具一格。
三、雪花曲线的实际应用场景1.计算机图形学雪花曲线是计算机图形学中常用的一种分形曲线，可以通过计算机程序生成。
由于雪花曲线具有自相似性和不规则性，可以给图形增加一定的复杂度和美感，因此在图形设计领域有着广泛的应用。
2.科学研究雪花曲线还被应用于物理、化学、生物等科学研究领域。
在材料科学中，雪花曲线可以用于研究材料表面的形貌、结构和性质。
在气象学中，雪花曲线可以用于模拟雪花的形状和降雪规律。
3.金融市场分析雪花曲线还可以应用于金融市场的波动性分析和预测。
利用雪花曲线的自相似性和不规则性，可以揭示金融市场存在的某些隐含规律或规律的破坏，进而预测市场的趋势和波动，为投资决策提供参考。
四、结语雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性，广泛应用于计算机图形学、科学研究、金融市场分析等领域。
Koch分形曲线
Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。
从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。
1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。
设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。
现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。
显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。
算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
分形公式大全
分形公式大全分形公式是一种表示分形特征的数学公式，它可以描述自相似、无限细节和复杂的结构。
下面是一些常见的分形公式及其相关参考内容。
1. Mandelbrot集公式:Mandelbrot集是分形几何中最著名的一个例子，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)是一个复数，C是一个常数。
这个公式对于不同的C值会产生不同的形状，形成了Mandelbrot集的分形特征。
关于Mandelbrot集的更多内容，可以参考书籍《The Fractal Geometry of Nature》 by Benoit B. Mandelbrot。
2. Julia集公式:Julia集是类似于Mandelbrot集的分形图形，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)和C都是复数。
当给定不同的C值时，Julia集的形状也会有所不同。
关于Julia集的更多内容，可以参考书籍《The Science of Fractal Images》by Heinz-Otto Peitgen和Dietmar Saupe。
3. 分岔图公式:分岔图是描述非线性动力系统中稳定性变化的一种分形图形。
它由下面的公式定义：f(x) = r * x * (1-x)其中，r是参数，x是状态变量。
当r的值在一定范围内变化时，分岔图会展现出分形的特征。
关于分岔图的更多内容，可以参考书籍《Chaos: Making a New Science》by James Gleick。
4. 树形分形公式:树形分形是一种描述树状结构的分形图形，它由下面的公式定义：x(n+1) = r * x(n) * cos(theta) - y(n) * sin(theta)y(n+1) = r * x(n) * sin(theta) + y(n) * cos(theta)其中，x(n)和y(n)是当前点的坐标，x(n+1)和y(n+1)是下一个点的坐标，r是缩放参数，theta是旋转角度。
不规则面积计算公式(二)
不规则面积计算公式(二)不规则面积计算公式在数学和几何学中，计算不规则形状的面积是一项常见的任务。
不规则形状是指不符合常见几何图形的形状，例如梯形、矩形或圆形。
本文将介绍一些常见的不规则面积计算公式，并举例解释说明。
下面是一些常见的不规则面积计算公式：1. 多边形的面积计算公式对于任意一个简单闭合多边形，可以使用以下公式计算其面积：S = 1/2 * (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1- x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn)其中，(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) 是多边形的各个顶点坐标。
该公式通过将多边形划分为多个三角形来计算面积，并累加这些三角形的面积。
例如，考虑一个三角形，其顶点坐标为 (0, 0), (4, 0), (0, 3)。
可以使用上述公式计算其面积：S = 1/2 * (0*4 + 4*3 + 0*0 - 0*0 - 4*3 - 0*4)= 1/2 * (0 + 12 + 0 - 0 - 12 - 0)= 1/2 * 0= 0因此，该三角形的面积为 0。
2. 圆形的面积计算公式圆形是一种常见的不规则形状，其面积可以使用以下公式计算：S = π * r^2其中，π 是一个数学常量，约等于，r 是圆的半径。
例如，考虑一个半径为 5 的圆，可以使用上述公式计算其面积：S = π * 5^2≈ * 25≈因此，该圆的面积约为。
3. 曲线围成的面积计算公式对于由曲线围成的不规则形状，可以使用积分来计算其面积。
具体而言，可以使用以下公式：S = ∫[a, b] y(x) dx其中，y(x) 是曲线的方程，[a, b] 是曲线在 x 轴上的投影区间。
例如，考虑由曲线 y = x^2 围成的形状，要计算其面积，可以使用上述公式：首先，找出曲线与 x 轴的交点，即解方程 x^2 = 0，得到 x = 0。
分形公式大全
分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。
它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。
分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。
为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。
以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。
曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。
通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。
2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。
朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。
朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。
3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。
希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。
4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。
科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。
除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。
这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。
总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。
通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。
分形几何概述
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。 如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
整理课件
对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
整理课件
分形山
整理课件
分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
整理课件
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
整理课件
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式 定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
整理课件
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派 生
出来.
整理课件
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.
数学中特殊的曲线汇总和公式
–3
4. 曲边扇形的面积
d
o
r =( )
元素法
1 取极角为积分变量，
其变化区间为[,]
+d
[,]
dS
S
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
dS()d
3 作定积分
r
.
. .
S
[()]d
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
r = a (1+cos )
r
0 2
0 r 2a
o
P
x
2a
.
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
.
a
o
来看动点的慢动作
a
x
8. 心形线 (圆外旋轮线)
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
a
o
来看动点的慢动作
a
x
2a
.
8. 心形线 (圆外旋轮线)
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
问题：选谁为积分变量？
0
4
x
–2
y
S (y )dy
18
–4
3. 求抛y 物 x线 x与其(在 0,)和 点点(3,
切线所围成图形的面积
。
y
由yx
。 。
面积计算学习如何计算不规则形的面积
面积计算学习如何计算不规则形的面积对于不规则形的面积计算，我们可以通过多种方法进行求解，例如将不规则形分割成几何图形再计算各个图形的面积，或者利用数学公式进行计算。
下面将介绍两种常用的计算不规则形面积的方法：多边形拆分法和积分法。
一、多边形拆分法这种方法适用于边界为折线的不规则形。
我们可以将不规则形分割成多个规则的图形，如三角形、矩形或梯形，然后计算各个图形的面积之和即可得到整个不规则形的面积。
举个例子，假设我们需要计算以下图形的面积：（插入图片）首先，我们可以将该图形分割成两个三角形和一个矩形。
计算每个图形的面积并求和：三角形1的面积：S1 = 0.5 ×底边1 ×高1三角形2的面积：S2 = 0.5 ×底边2 ×高2矩形的面积：S3 = 长 ×宽最后，将三个图形的面积相加即可得到整个图形的面积：总面积 = S1 + S2 + S3二、积分法积分法适用于边界为曲线的不规则形，它通过数学上的积分运算来求解面积。
以一个弯曲的河岸线为例，我们可以使用积分法计算其封闭区域的面积。
首先，我们需要找到曲线方程 y=f(x)。
然后，确定积分的上下界，即曲线的起点和终点。
根据曲线的形状，我们可以设置适当的积分上下界。
接下来，使用面积元素的微元法。
将曲线上的微小线段 dx 划分为无穷多个小段，计算每个面积元素的面积 dS，然后对这些微小的面积元素进行累加，即可得到整个曲线封闭区域的面积。
面积元素的面积 dS 可以通过微积分中的曲线积分公式进行计算：dS = y dx最后，进行积分运算，在给定的积分上下界内对面积元素的微小面积 dS 进行累加，得到整个不规则形的面积。
需要注意的是，在使用积分法时，曲线方程的选择和确定积分上下界的方法取决于具体的不规则形状。
总结：不规则形的面积计算可以通过多边形拆分法和积分法进行求解。
多边形拆分法适用于边界为折线的不规则形，将不规则形分割成规则的图形进行面积计算；积分法适用于边界为曲线的不规则形，通过积分运算对面积元素进行累加得到整个不规则形的面积。
雪花曲线的面积公式
雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式一、雪花曲线简介雪花曲线，又称科赫曲线，是一种自相似的分形曲线。
其发明者是瑞典数学家科赫（Helge von Koch），于1904年提出。
雪花曲线的构造方法为：将一条长度为l的线段中间1/3处割去，再在剩下的每一段线段上重复这个过程，直到不可再分。
最终形成的曲线，是由四条长度相等的直线段组成的，它们包含着六个小三角形，每个小三角形都相似于原始大三角形，且其边长为原始大三角形的1/3。
二、雪花曲线的性质1. 长度无限雪花曲线是一条无限长的曲线，在构造过程中，每条线段都会被无限次的分割，因此曲线的长度也是无限的。
2. 面积有限尽管雪花曲线的长度无限，但其面积是有限的。
由于雪花曲线是在平面直角坐标系中构造的，因此可以用面积来衡量曲线所占用的空间。
研究表明，雪花曲线的面积是有一个固定的数值，即：⅔l²√3，其中l表示原始大三角形的边长。
3. 构成自相似自相似是指一条曲线在任意尺度下具有相同的形状。
雪花曲线是一条自相似的曲线，无论对其哪个部分进行放大或缩小，都能看到完全相同的形状。
三、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是⅔l²√3，其中l表示原始大三角形的边长。
该公式的推导过程比较复杂，需要用到高等数学中的一些知识，例如积分、极限等。
不过，雪花曲线的面积公式也可以通过其他方法来推导，例如使用等比数列等知识，这些方法更加简便易懂，适合于初学者。
在推导出雪花曲线的面积公式后，就可以用它来计算雪花曲线的面积了。
如果知道原始大三角形的边长l，就可以按照公式计算出其面积。
在计算过程中，需要注意单位的转换，确保最终的结果是一个面积值。
四、结语雪花曲线是一个极具美感和深度的数学对象，它的面积公式是高等数学中的经典结果之一。
通过了解雪花曲线的性质和推导其面积公式，可以更深入地了解分形理论和数学中的一些基本知识。
分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
自相似的分形曲线.2021优秀PPT文档
分形相似维数(Similar Dimension) 计算
分形几何学起初确实没有太多公式，但
它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot 紧紧抓住了双对数关系(幂律关系)，在非线性 中找到了一个重要不变量——分数维数。有
了这些，对于一门学科的初创者来说，也就 足够了。
严格自相似分形的相似维数 :
3.如此反复操作直至无 穷，极限情况下，小立 方体的体积为零，而其 表面面积之和趋于无穷 大。所以实际得一个面 集，是一个具有自相似 性结构的规则分形系统.
维数计算
从一个小立方体出发，将小立方体的每边 放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心 和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是 N=20 个小立方体；
Ds
ln N ln r
双对数形式.
康托尔尘埃(Cantor dust)
生成方法：初始元为正 方形，将初始元分成 16个小正方形(如右 图)，保留4个小正方 形，形成生成元，无 穷次操作形成一点集, 显然它是一个严格的 自相似形
分形维数 :生成元由4个
与初始元相似比为4的 注意：分形的相似维数
部分组 Ds=ln4/ln4=1
55.讨厌自己明明不甘平凡却又不好好努力。 100.除了奋斗，我别无选择。 97.即使脚步下是一片岩石，它也会迸发出火花，只要你拿起铁锤钢钎。 82.人若有志，万事可为。 64.欲戴王冠，必承其重。 三、所有成功的背后，都是苦苦堆积的坚持；所有人前的风光，都是背后傻傻的不放弃。只要你愿意，并为之坚持，总有一天，你会活成自己喜欢的模样！
即 3r cos 1 0
4
4r
且由三角形三边关系,得r
1 3
取r
0.33912, Ds
ln5 ln0.33912
黎曼分割曲线面积
黎曼分割曲线是一种数学曲线，它可以将一个区间分成任意个不相交的子区间，使得每个子区间的长度和在该子区间内曲线下的面积相等。
分割曲线的方法有很多种，其中一种常用的方法是使用正弦函数和余弦函数。
下面是一个使用正弦函数和余弦函数来构造黎曼分割曲线的例子。
假设我们要将一个长度为2π的区间分成n个相等的小区间，每个小区的长度为2π/n。
我们可以将正弦函数和余弦函数分别表示为：sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2)我们可以将x分成n个小区间，每个小区间的长度为2π/n。
在每个小区间的中点处，我们可以计算出正弦值和余弦值。
然后我们可以用这些值来构造一个分割曲线，使得每个小区间内的曲线下的面积等于该小区间的长度。
具体来说，我们可以将每个小区间的左端点设为xi，右端点设为xi+1，其中i=0,1,...,n-1。
在该小区间的中点处，我们可以计算出正弦值和余弦值：sin(xi+1/2) = [sin(xi+1) - sin(xi)]/(2π/n)cos(xi+1/2) = [cos(xi+1) + cos(xi)]/(2π/n)然后我们可以使用这些值来计算该小区间内的曲线下的面积。
该曲线可以表示为：y = a0 + a1sin(xi+1/2) + b1cos(xi+1/2)其中a0、a1和b1是常数，可以根据该曲线在该小区间的中点处的值来确定。
在该小区间的长度为2π/n的情况下，曲线下的面积为：A = (2π/n) [a0 + a1sin(xi+1/2) + b1cos(xi+1/2)]由于每个小区间内的曲线下的面积等于该小区间的长度，因此：A = 2π/n因此，我们可以得出结论：黎曼分割曲线是一种可以将一个区间分成任意个不相交的子区间，使得每个子区间的长度和在该子区间内曲线下的面积相等的数学曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x( t ) (1 t ) xk txk 1 , t (0,1) y( t ) (1 t ) yk tyk 1
Lk
ydx [(1 t ) yk tyk 1 ]( xk 1 xk )dt
0
1
1 ( xk 1 xk )( yk yk 1 ) 2
12/11
Koch分形曲线与面积计算
分形图形的基本特征 正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算
1/11
分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967 年发表于美国《科学》杂志一篇论文
“英国海岸线有多长” 。 分形(Fractal)图形最基本特征是自相 似性，即某一对象的局部与整体在形 态、功能、信息、时间、空间等方面 具有相似性。 在自相似的图形中，局部只是整 体的缩影，而整体则是局部的放 大。适当的放大或缩小几何尺寸， 整个结构并不改变。
格林公式导出的面积计算方法
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
取 P y
Q x
区域 D 的面积公式
1 A ydx xdy 2 L
(k 1,2,, n)
设 D 是平面多边形, 顶点为:
Pk ( xk , yk )
第 k 条边:
MATLAB函数: polyarea(x,y)
yk yk 1
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 3 4
n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
lim Area ( K n )
2/11
Mandelbrot 1924- 2010
Koch分形曲线 算法描述 : 将一条直线段三等分 , 删除中间三分之一 部分 , 用一等边三角形的腰代替 , 形成四条线段的折 线.每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn
Koch岛 Koch分形曲线
基本算法
P1 P2 P1 Q1
Q2
Q3 P2
lim Area ( Pn )
n
11/11
三、电子科技大学清水河校区占地面积计算
参考电子科技大学 清水河校区1:200 地图(或参考网上 地图). 采样学校周 边坐标数据计算学 校占地面积. 同类问题: 杭州西湖面积、 洞庭湖面积、 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(0, 1)
cos sin
cos A sin
sin x1 cos x2
sin cos
0 sin 1 cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Sn 4 1 Kn的周长: Ln n 4 n L0 3 Kn的维数: Dn ln4 / ln3 1.2618
Kn的边数:
n
Dn ln N / ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
xdy [(1 t ) xk txk 1 ]( yk 1 yk )dt 01 1 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) 2
Lk
Lk
ydx xdy xk yk 1 xk 1 yk
(k : An 2 k 1 x k 1
n
10/11
二、竞赛题的实验设计
(第一届全国大学生数学夏令营第6题 ) 设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等 分点连接成的六边形，· · · · · · ，Pn+1是由Pn之各边3等分 点连成的多边形。 试证Pn的边数为：
Ln 3 2
n1
求 Pn 所围面积和面积数列的极限
功能:对向量做旋转变换.
x1 1 0 x1 x 2 0 1 x2 x1 cos sin x2 x1 x 2 sin cos
(1, 0)
cos 1 0 sin
(1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT;
(3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
A是正交矩阵.
cos / 3 sin / 3 A sin / 3 cos / 3