最新多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学练习题及答案
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
多元函数微积分复习题.docx
多元函数微积分复习题、单项选择题1 •函数f x,y 在点X o ,y °处连续是函数在该点可微分的（B ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•2 •设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件；（C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.CA. 若 lim = A,则必有 lim f (x, y) = A 且有 lim f (x, y) = A ；x %x =x o y >y oy >y oB. 若在（X o ,y °）处''z 和2都存在,则在点（X o , y °）处z - f （x, y ）可微； ex cyC.若在（x 0,y 0）处三和三存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x, y ）可微; ex cy5. 二元函数z =f （x,y ）在点（x °,y 。
）处满足关系（）.CA. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续；B. 可微=可导=连续；C. 可微二•可导，或可微=连续，但可导不一定连续；D.可导=连续，但可导不一定可微.j4科・6. 向量a=3,-1, -2, b = 1,2,-1，则 aLb 二 （A ）（A ） 3 （B ）-3（C ）-2（D ） 2D.若 -2三和 :x -2z 都存在,则. 2 :y -2:z q 2 . ■y；：2 z5.已知三点 M( 1, 2, 1), A (2, 1, 1), B (2 !, 1, 2) ，贝U MM AB =( C)(A) -1 ； (B) 1(C) 0 ；(D) 27—、T6.已知三点M(0, 1, 1), A (2, 2,1), B 2, 1, 3) ，则 | MA AB |= ( B)(A) - .2;(B)2、2(C)- 2 ;(D)-2;7 .设D 为园域x 2寸乞2ax (a 0),化积分 F(x,y)d 匚为二次积分的正确方法r>是D2aa2a :竹-x 2A. 0 dx f(x, y)dy- _aB.20dxf (x, y)dya 2acos0C. °d a f(「cos ),「sin J 「d 「2a cos -iD.2小 o 一 fLcosd, 5 ^)-d ■- ~23 ln x8 .设I = j dx o f (x, y)dy ,改变积分次序，则I 二 ___________ - Bcos -, 9.二次积分f(Pcosq P s in 日)P d P 可以写成 __________________________ . D 1 y -ydy 0 f(x,y)dx B. 1 1 0dx 0f(x, y)dyD.10 .设「是由曲面x 2 y^2z 及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I =川f (x, y, z)dxdydz 表示为三次积分，I= ___________ . C2... 1 .A . d r d 「2 f(「cosd 「sin=z)dzJ 0J 0』0 \ '2兀 2 £B. d » ! d 「2 f (「cos=,「sin r, z)「dz*0‘0‘0\ ' 1 'A. C.ln3e y0 dy 0 f(x,y)dx B. ln3 3dy°f(x,y)dxD.ln33dy e y f(x, y)dx 3ln x1dy 0 f (x, y)dx11今20dy 0 f(x, y)dx1x -x 2dx 0 f (x, y)dyA. C.2兀 2 2C . ° dr ° d ；： | f f ( Tcosr,「sinr, z) ?dz~22兀 2 2D . d d「f(「cosv,「sinv,z)「dz-o p - o11.设L为x0y面内直线段，其方程为贝U P x, y dx 二L(A) a(C) 012 .设L为x0y面内直线段，其方程为(A) a(C) 0 L:y二a, c_x_d，贝U Px, ydy 二L(B) c(D) dQ Q13.设有级数7 u n,则lim u n二0是级数收敛的心y(A) 充分条件；(B) 充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D) 必要条件；Q Q14.幂级数' nx nn珀的收径半径R =(A) 3 (B) 0(C) 2 (D) 115.幕级数v -x n的收敛半径R-n =1 n(A) 1 (B) 0(C) 2 (D) 3oO oO16 .若幕级数a n X n的收敛半径为R，则a a n X n 2的收敛半径为n =0 n=0(A) R (B) R2(C) 、R (D) 无法求得oO17.若limu n =0,则级数"U n()F n三DA. 收敛且和为B.C. 发散D. 收敛但和不一定为可能收敛也可能发散Q Q18.若a u n为正项级数，则()n =1(B) c (D) dQ QQ QC.若V U n 2 ,则7 U n 也收敛D.nJ n 二Q Q19. 设幕级数v C n x n 在点x=3处收敛,则该级数在点x = -1处（）An 4A.绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数「Sin ^X（x = 0）,则该级数（） Bn4n!A.是发散级数B. 是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散：、填空题1•设 f(x, y)=sinx+(y_1)ln(x 2+y 2)，则 f 「(0,1) = __________ 1___.2. _______________________________________________ 设 f (x, y )=cosx + (y -1 $n (x 2 + y 2 )，贝U f x (0,1) = _____________________________ 0 _____ 3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是「i f x, y dxdy = f 'cos] 's in ； i'd d -DD4 .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是111 f x, y, z dxdydz ： 111 f H cos 「，' sin ,zl ： d 「d 「dzQQ5 .柱面坐标下的体积元素_dv = T dd z6 .设积分区域 D : x 2 y 2 - a 2,且 dxdy =9二，则 a = _3D3则 11dxdy a 24DA.若 lim u n=0,则u n 收敛n =1 B.若v u n 收敛,则u n 2收敛Bn 4nJ若v u n 发散,n 4则 lim u n =7. 设D 由曲线=asin^,8. 设积分区域D为仁x2• y2乞4 , .. 2dxdy 6-19. 设f x, y 在［0 , 1］上连续，如果o f x dx =3,1 1则 0 dx 0 f x f ydy= _______ 9.20. 设 D 为园域 x 2+y 2"2,若"(X 2+y 2 )dxdy = 8 兀，则 a= ______________ . 2D21. 设 I = JJJ2dxdydz,其中 0 : x 2 + y 2+z 2 兰 a 2, z^O ,则 1= ___________ .a 3Q 310. 设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则设L 为连接(1,0)与(0, 1) 贝U J (x - y )ds = ______L两点的直线段,.012. 等比级数「aq nn =1(a = 0)当 qc1时，等比级数□aaq n =4收敛.13 .当_P>1—时,旳1p -级数v —-是收敛的.P14.当Q Q时，级数V-1心丄是绝对收敛的.n p15 .若 f (X ，y) = J xy +Z则 f x (2,1)二16.若 2f(x, y)=xy 3(x -1)arccos —,贝U f 2x(1,y)=3y 217 .设 u 二 z xy ,贝q du 二z xy I y In xdx xln zdy18.设 z=y lnx ,则—2 =exln y(ln y -1) mx2yx22219.积分0 dx x/dy 的值等于1.4二、计算题1.求过点-2,0,1 且与平面2x-5y ・4z-8=0平行的平面方程•解：已知平面的法向量n= (2, -5, 4),所求平面的方程为2( x +2)-5( y -0)+4( z -1)=0即 2 x -75y +4z = 02•求经过两点Mi ( -1 , -2, 2)和M2 (3, 0, 1)的直线方程。
多元函数微分学练习题及解答
xy
1
ex cos y 8、 lim
x, y0,01 x y
[解]：函数 z ex cos y 在 0, 0点连续，故 lim ex cos y e0 cos 0 1 。
1 x y
x,y0,01 x y 1 0 0
教材 P63 页习题 9-1 第 6 大题求极限。
xy
9、讨论函数
x
f22
x y2
x2
f11
2x2 y2
f12
x2 y4
f22
2x y3
f
2
。
20、设
f
具有连续导数，
z
xy
xf
y x
，证明
x
z x
y
z y
xy
z
[证明]：
z x
y
f
y x
x
f
y x
y x2
y
f
y x
y x
f
y x
z y
x
x
f
y x
1 x
x
f
y x
x
z x
y
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、 二元函数 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处的两个偏导数存在是 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处连
续的 ______ 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、 如果函数 z f x, y 的两个混合偏导数 2 z , 2 z 在区域 D 内
26、求 3x2 y2 z2 16 在 1, 2, 3处的切平面与 xoy 面夹角的余弦
y
5）
2z y 2
x sin x
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分学复习习题及答案
欢迎阅读第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于 ；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则 （ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）； （C ）； （D ）-1414-12127、若，则 （ C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点； （B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。
P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。
答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。
答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。
答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。
答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。
答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
多元函数微积分期末练习题及答案
多元函数微积分期末练习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多元函数微积分期末练习题及答案一．填空：1．空间直角坐标系中，点P（2，3，4）Q（2，4，-1）距离∣PQ∣=2．过点P（1，2，3）且与xoy平面平行的平面方程为3．函数z =x2-y2 + 2x - 4y的驻点为4．已知z =f（x,y）的二阶偏导数连续且fxy (x,y) = 4xy+ x 则fyx(x,y)=5．已知在平面区域D内f (x,y)>O,则由D为底 z = f (x,y)为顶的曲顶柱体体积可表示为二．单项选择填空1．点P(0,2,-1)在A 第V卦限B 第 VIII 卦限C x轴上D yoz平面2．方程x2+y2=1在空间直角坐标系中表示A 单位圆B 单位圆包围的平面区域C 圆柱面D 平面3．z =f (x,y) 在(x0, y)点偏导数存在,则在该点A 全微存在B 偏导数连续C 函数连续D A,B,C均不对4．z = f（x,y）在驻点(x0, y)处存在二阶偏导数，且fxy(x。
,y。
) 2-f xx (x。
,y。
)-fyy(x。
,y。
)>O fxx(x。
,y。
) >O 则 (x。
,y。
) 点为函数z = f（x,y）的A 极大值点B 极小值点C 不是极值点D 不能确定25．则等式成立的是A =B =C =D =三．计算题1．求2．z=求全微分dz3．设cos（x+y）+y=0，求4．设x+y2+z2=xy+2z，求5．求 z=2x-4y-x2-y2+5的极值6．改变二次积分积分次序7． D y=x2 y=x围成答案：一、填空：1 2 3 （-1，-2） 435二、单项选择：D C D C A三、计算题：12 34 56 74。
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
A. 538. 函数 z = xy + 50第八章 偏导数与全微分参考答案第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 u ( x,y) y = x 2 = 1,1 1A.-B.C. -1D. 122∂u ∂x y = x 2= x, 则∂u∂y y = x 2 = [A ]2.函数 z = x 2 + y 2 - 6x + 2 y + 6 [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数 f (x, y )在点 (x , y 0) 处的两个偏导数 f (x , y ), f x 0 0y (x , y )存在是函数 f 在0 0该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设 u= x 2 +2 y 2+3 z 2 +xy+3x-2y-6z 在点 O(0, 0, 0)指向点 A(1, 1, 1)方向的导数5 3 5 3 5 3 B. -C.D.-66335. 函数 z = x 3 + y 3 - 3xy [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数 f (x, y )在点 (x , y)处可微是 f (x, y )在该点连续的[ A ]0 0A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件∂u∂l= [ D ]7. 已知 y - ε sin y - x = 0(0 < ε < 1) , 则 dy dx= [ B ]A. 1 + ε cos yB. 1 1C. 1 - ε cos yD.1 - ε cos y 1 + ε cos y20 + （x>0，y>0）[ D ] x yA. 在点(2, 5)处取极大值B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值-1-C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=-t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]A.1条B.2条C.3条D.不存在11．设f(x,y)=xy x y，则f(,)=B y2-x2y xA.xyy4-x2 B.x2y2x2+y2y2-x2C.D.y4-x4y4-x4y4-x412．为使二元函数f(x,y)=为B x+yx-y沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择A.x x x2x=y B.=y C.=y D.=y 432313．设函数z=f(x,y)满足∂2z∂y2=2，且f(x,1)=x+2，f'(x,1)=x+1，则f(x,y)=ByA.y2+(x+1)y+2B.y2+(x-1)y+2C.y2+(x-1)y-2D.y2+(x+1)y-2 14．设f(x,y)=3x+2y，则f(x y,f(x,y))=CA.3xy+4x+4yB.xy+x+2yC.3xy+6x+4yD.3xy+4x+6y15．为使二元函数f(x,y)=xy2x2+y2在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16．已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f(x,y)∂f(x,y)+=C ∂x∂yA.2x-2yB.2x+2yC.x+yD.x-yy 17．若f()=x x2+y2x(x>0)，则f(x)=BA.x2-1B.x2+1C.∂z∂z 18．若z=y x，则在点D处有=∂y∂x x2+1x D.xx2-1A.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)20.函数f(x,y)=⎨11x sin+y sin,xy≠0y x4(C)(D)-119．设z=x y2，则下列结论正确的是AA.∂2z∂2z∂2z∂2z -=0B.->0∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂xC.∂2z∂2z-<0 D.两者大小无法确定∂x∂y∂y∂x⎧0,xy=0⎪⎪⎩，则极限lim f(x,y)（C）.x→0y→0(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数z=xy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数z=x2+y2在原点(0,0)处（A）.(A)连续，但偏导不存在(B)可微(C)偏导存在，但不连续(D)偏导存在，但不可微23．设u=f(r)，而r=x2+y2+z2，f(r)具有二阶连续导数，则（B）.12(A)f''(r)+f'(r)(B)f''(r)+f'(r)r r 1112f''(r)+f'(r)(D)f''(r)+f'(r) (C)r2r r2r ∂2u∂2u∂2u++∂x2∂y2∂z2=24．函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点偏导存在的（D）.00(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件25．函数z=1-x2-y2的极大值点是（D）.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设f(x,y)=arcsin yx，则f'(2,1)=（B）.x(A)14(B)-112227．极限limx→0x2yx4+y2（B）.∂x 0z = u 2ln v , u =xy , v = xy, 则 x 22 x x（D ） y 232．设f ( x , y) =xy(A) f x, ⎪ = f ( x , y) ；(B) f ( x + y , x - y) = f ( x , y) ；33．设 z = e x cos y ，则 ∂2z34．已知 f ( x + y , x - y) = x 2- y2 ，则∂f第八章 偏导数与全微分参考答案(A) 等于 0(B) 不存在(C) 等于 12(D) 存在且不等于 0 及 1228． z = f ( x , y) 若在点 P ( x , y ) 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.0 0(A) f ( x , y) 在点 P 连续(B) z = f ( x , y ) 在点 x 连续0 0(C) dz = ∂z|⋅dx +P ∂z| ⋅dy (D) A,B,C 都不对 ∂y P 029. 设函数 z = x y ，则 d z =（ A ）．(A)． yx y -1d x + x y ln x d y (B)． yx y -1d x + x y d y(C)． x y d x + x y ln x d y(D)． yx y -1d x + x y ln y d y∂z 30. 已知∂y =（ C ）2 x 2 （A ） y 3ln xy + x2 y3 2 x 2 （B ） y 3 ln xy - x 2y 3- 2 x 2（C ） y3ln xy +31．函数 z = 1 - x 2 - y 2 的定义域是（ D）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1} （B.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≥ 1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≤ 1} x 2 + y 2 ，则下列式中正确的是（ C）；⎛ y ⎫ ⎝ x ⎭(C) f ( y , x) = f ( x , y) ；(D) f ( x ,- y) = f ( x , y)∂x ∂y = （D）；(A)e x sin y ； (B) e x + e x sin y ； (C) -e x cos y ； (D) -e x sin y∂x + ∂f ∂y = （ C ）；∂x⎛x,y⎫,lim f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)f(x+∆x,y)-f(x,y)lim∆x∆xf(x+∆x,y)-f(x,y)f(x+∆x,y)lim∆x∆x37.设由方程e-xyz=0确定的隐函数z=f(x,y),则(((A)2x+2y；(B)x-y；(C)2x-2y(D)x+y．35.设z=2x2+3xy-y2∂z=，则∂x∂y（B）（A）6（B）3（C）-2（D）2.36.设z=f(x,y)则∂z=⎝00⎭（B）0000000（A）∆x→0（B）∆x→0lim （C）∆x→0000000（D）∆x→0z∂z∂x=（B）z z y y （A）1+z（B）x(z-1)（C）x1+z)（D）x1-z)38.二次函数z=ln(4-x2-y2)+1x2+y2-1的定义域是（D）A.1＜x2+y2≤4；B.–1≤x2+y2＜4；C.–1≤x2+y2≤4；D.1＜x2+y2＜4。
多元函数微分学习题及详细解答
C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)
多元微分学复习题答案
多元微分学复习题答案一、填空题 １．)1l n (4222y xy x z ---=的定义域是（(){}222,4,01x y y x x y ≤<+<）．函数221lnyxx z --=的定义域是（(){}22,0,01x y x xy ><+<）．2.设二元函数xyyx y x f +=),(，则=+-),(y x y x f （222x x y- ）．3．设函数xy y x y x f =-+),(，则=),(y x f （224x y -）．4．设函数yx ez +=2，则=∂∂22xz （22222(12)x yz ex x+∂=+∂）．x exz yx 22⋅=∂∂+5．函数2y x z -=在点（２，１）处对x 的偏导数为（2(2,1)(2,1)11z xy∂=-=-∂ ）． 6．函数222y x xy z -=在点（１，２）处对y 的偏导数为（3(1,2)(1,2)33(42)4z x xy yy∂=+⋅=∂ ）．7．二元函数32y x z =在点（３，２）处的全微分是（ 48108dz dx dy =+ ）．8．函数6106522++-+=y x y x z 的驻点是（ ()3,1- ）三、选择题：1.以下极限中，（ C ）表示),(00y x xf ∂∂ ．（Ａ）xy x f y y x x f y x ∆-∆+∆+→∆→∆),(),(lim 00000； （Ｂ）xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000；（Ｃ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000； （Ｄ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000．2.以下结论中正确的是（ C ） （Ａ）),(y x f 在点),(00y x 处一阶偏导数存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续；（Ｂ）),(y x f 在点),(00y x 处一阶偏导数存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微； （Ｃ）),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 处一阶偏导数存在；（Ｄ）),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 处一阶偏导数存在． 3.函数),(y x f 在点),(00y x 满足条件（ C ），),(00y x 称为),(y x f 的极值点．（Ａ）),(00y x xf ∂∂＝０，),(00y x yf ∂∂＝０ ；（Ｂ） ),(y x f 在点),(00y x 处没有偏导数； （Ｃ） 在点),(00y x 的某邻域内，有),(y x f ),(00y x f >；（Ｄ） 对定义域内的所有点),(y x ，有),(y x f ),(00y x f >4.设函数22yx z+=，则以下结论正确的是（ Ｂ ）．（Ａ） 点（０，０）是该函数的一个驻点； （Ｂ） 点（０，０）不是其驻点，而是极值点； （Ｃ） 点（０，０）不是极值点，是可微点； （Ｄ） 点（０，０）不是极值点，也不是驻点． 5.函数()22,yx y x f +=在点()0,0处（ Ａ ）（Ａ）连续、偏导数不存在； （Ｂ）连续、偏导数存在； （Ｃ）连续且可微； （Ｄ）不连续、偏导数不存在． 6．设),(y x f z =在区域D 内具有二阶偏导数22xz ∂∂，22yz∂∂ ，y x z∂∂∂2，x y z∂∂∂2，则在D 内（ C ）A ．22xz ∂∂=22yz ∂∂ B ．yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2C ．dy yz dx xz dz ∂∂+∂∂=D ． A B C 都无法确定四、计算题 1．设函数32,2sin ,2ty t x ez yx ===-，求dtdz ．()()2323sin 22sin 2222sin 46t tt tdz eet t dt--'==-2．设函数32ln zy x u ++=，求du ．u u u du dx dy dzx y z∂∂∂=++∂∂∂2232323111213222yzdx dy dz x y zx y zx y z=⋅+⋅+⋅++++++22311(23)2dx ydy z dz x y z=⋅++++2．若)ln(32z y x u ++=，求),,(z u yu xu 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂＋．),,(z u yu xu 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂＋ )1,1,1(322)1,1,1(32)1,1,1(32321zyx z zy x y zy x ++++++++=213231=++=3．设函数yy x zln 2=，求22yz ∂∂．22ln x y x yz +=∂∂，yxyz 222=∂∂4．设函数),(yx x f zy=，求yzx z∂∂∂∂,． yx v x u y==, yf yx f xvv z xu uz xz v y u 11⋅'+⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂-)(ln 2yx f x x f yvv zyu uz yz v yu -⋅'+⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂5．由方程03=-+-xyz z y x 定义的隐函数),(y x z z =，求yzx z∂∂∂∂,．法一：令xyz z y x z y x F -+-=3),,(，xyzyz F x 23-=，xyzxz F y 21--=，xyzxy F z 21-=xyxyz yz xyz F F xz zx ---=-=∂∂26xyxyz xz xyz F F yz zy --=-=∂∂22法二：等式两边同时对x 求导 0)(213=∂∂⋅+-∂∂+x z xy yz xyzx zxyzyz xzxyz xyx z 232+-=∂∂-∂∂xyzyz xz xyzxy 23)21(+-=∂∂-yz xyz xz xy xyz +-=∂∂-6)2(所以xyxyz yz xyz xz ---=∂∂26等式两边同时对y 求导0)(211=∂∂+-∂∂+-yz xyxz xyzyz 所以xyxyz xz xyz yz --=∂∂226．设函数xy z arctan=，求二阶混和偏导数yx z∂∂∂2．、2222)(1y x y xy xyx z+-=+-=∂∂ 22222222222)()(2y x xy y x y y y x yx z +-=+⋅-+-=∂∂∂7．求由方程3)sin(2=+++z y x ex确定的二元函数),(y x z z =的全微分．等式两边求微分 0))(cos(22=+++++⋅dz dy dx z y x xdx exdy dx z y x xez y x dz x-+++++-=)cos(2)cos(28．求函数222)(4),(y x y x y x f ---=的极值。
高数第八章 多元函数 复习题答案
第八章 多元函数微分学 复习题答案一、单项选择题：1、以下各式中不正确的有（A ）A 、01lim 2222=+++∞→∞→y x y x y xB 、1lim 2210=+→→y x yy x C 、2ln )ln(lim2201=++→→y x e x y y x D 、不存在2200limy x xyy x +→→2、设y ez xcos sin = ，则=∂∂∂），（202πx y z( B )A 、0B 、1－C 、1D 、e3、设函数221ln y x z ++= ，则它在点)1,1(处的全微分=dz ( A )A 、)(31dy dx + B 、dy dx + C 、)(3dy dx + D 、)(2dy dx +4、(,)f x y 在点00(,)x y 处具有连续偏导数是(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ B ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件5、函数xyxe z =，则=∂∂xz （ D ） A.xy xye B.xye x 2C.xye D.()xye xy +16、函数xy z =在（0，0）处（ D ）A.()0,0不是驻点B.有极小值C. 有极大值D. 无极值..;..;.;.) B (,],[,],[.7无关条件充要条件充分条件必要条件是函数在该点可微的连续在点的偏导数函数D C B A ；y x yzx z y x f z ∂∂∂∂=二、填空题：1、22(,)(2,0)sin lim x y xy y→= 2 ； 2、设2x xyz y e =+，则(1,2)z y∂=∂ 21e + ；3、函数)1ln(912222-++--=y x yx z 的定义域是}91|),{(22<+<y x y x ；4、函数22y x z =在点)1,2(-处当01.0,02.0-=∆=∆y x 时的全微分，=dz 0.16 5、函数2221ln 4yx y x z ---=的连续区域为}4,0,0,1|),{(222yx y x y x y x ≥≠≠<+ ；6、设()y x z z ,=是由方程yzx ln=确定的隐函数，则=∂∂x z z； 7、函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处 不连续 ；（填写“连续”或“不连续”）8、若函数),(y x f z =可微，,2x y =则函数),(2x x f z =的全导数=dxdz''2y x xff +9、函数z =1，1）处的全微分dz =)(31dy dx +10、设)1ln(y xz +=，则=)1,1(dz )(21dy dx - ；11、211lim 0y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 1 ；;.12————————————条件充分条件而不是必要微分存在的各偏导数的存在只是全三、计算题：1、设,24,3,22y x v y x u u z v +=+==求yz x z ∂∂∂∂,。
微积分期末复习多元函数重积分
多元函数 重积分复习一、客观题： 1．判断1）．已知),(2),(),(lim ),(0b a f xb x a f b x a f b a x f x x '=--+∂∂→存在，则 （ √ ）2）．若二元函数),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z 在点的两个偏导数存在，则在点==可微。
( × ）3）．若二元函数的两个偏导在点不可微，则在点),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。
数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 4）．若二元函数.),(),(),().(0000不可微在点则的两个偏导数不连续，在点y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。
数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 2.选择题1）. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微分,是),(y x f 在),(00y x 处连续的_________条件.A ． 充分条件 B. 既充分又必要条件 C ． 必要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：A2）．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的________. A. 必要条件 B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 答案：D3）．设函数),(y x f z =在（0，0）处存在偏导数，且,0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(===f f f y x 那么 。
A. ),(lim 0y x f y x '→→ 必定存在 B ．),(y x f 在（0，0）处必连续C. 0=dz D ．0,0),(lim 220==+→→dz yx y x f y x 则若答案：D4）．设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）。
多元微分学复习题答案.doc
―z =击5?的定义域是（{(x, y)| / < 4x,0 < X2 + / <1}).函数g =润+)，. 2]OXA 5.函数z = -x/y2在点（2 , 1 ）处对x的偏导数为（；OX_ 17 (2J))广=-1(2,1))•成）.（1,2）4dz = 48c/x+i08dy（A）］血,（*。
+&'，。
+匀）-/（*。
'“。
）A O （B）Hm/（*。
+&40+颂）一/（*。
"。
）Ax（C）/（—+&，，.）-六*.，））Ax （D）hm/（毛）'月 + 颂）一，（％丸）Ax多元微分学复习题答案一、填空题7 = In X——的定义域是({3y)|x>0,0 V]2 +,2 < [}) yji-x2 - y22.设二元函数/。
,了）=旦】，则f（x-y,x+y）=（-21—）.x y JT _）广2 23.设函数/(x+j) = xj,则f(x,y)=(* 一)').44.设函数z = e'+，，则翌=（；=2/+、（1 + 2/））.dx志~6.函数z = 2xy2-x/y2在点（1 , 2）处对），的偏导数为X= (4xy + 2~)(i,2) y7.二元函数z=x2y3在点（3, 2）处的全微分是（8.函数z = %2+5y2 -6x + 10y+ 6 的驻点是(三、选择题:I.以下极限中，（c ）表示阳2.以下结论中正确的是（C ）（A）f（x,y）在点（％了。
）处一阶偏导数存在，则f（x,y）在点（乩,光）连续;（B）f（x,y）在点（％坊）处一阶偏导数存在，则f（X,y）在点（工0，光）可微;（C ）f（x,y）在点（Do）时微，则f（X, y）在点（x0o T0）处一阶偏导数存在;(A)若|（S =。
，的（》0，光）=0(A)点（0 , 0 ）是该函数的一个驻点;sin-2/-2r(2sin4r-6r)（D ） f （x ,y ）在点（m ）连续，则f （x,y ）在点（X 。
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
高等数学题库第08章(多元函数微分学).
- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。
（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题
1.
（ B ）
(A)
等于0； (B)不存在； (C)等于
(D)存在且不等于0（提示：令2
2
y k x =）
2
（ C ）
(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
3
(,)f x y （ A ）
(A) 处处连续；
(B)
处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；
(D) 除（0,0）点外处处连续
（提示：①在2
2
0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，
200
0(0,0)x x y f →→→=== ，故在2
20x y +=，函数亦连续。
所以，(,)f x y 在
整个定义域内处处连续。
）
4 （ A ）
(A)
必要而非充分条件；
(B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件；
(D)既非充分又非必要条件 5
（ B ）
(A)
；
(D)
6
（ A ）
（A
（B
（C
（
D 7、若)ln(y x z -
=，则=∂∂+∂∂y
z y x z x
（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2
1
-．
8、设y x
z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
（A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）2
2v u u
v +-．
9
（
D ）
(A)
(B)
(C)
10
（ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ；
(C) 0 ； (D) 1 11
（ B ）
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
12
（ C ）
2)()(,0)()(,0)(,0)(000000=
=====P f P f P f P f P
f P f yx xy yy xx y x ，则
（A
（B
（C
（D ）条件不够，无法判定。
二、填空题 1
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
2
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
3
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
4 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
5⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
6⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：22
2x y x
-
（22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-Q ）
7 。
答：3cos5
822
z
x ∂∂= 0 9、、设
9_________。
答：（1，－1） 三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z = (2)
ln()z x y =+(3)1
ln()
z x y =
+ (4)ln(1)z xy =-
解：(1)要使函数z =有意义，必须有2
2
10x y --≥，即有2
2
1x y +≤.
故所求函数的定义域为22
{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1
(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为
{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2
(3)要使函数1
ln()
z x y =
+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.
故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3
(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为
{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4
图3.1 图3.2
图3.3 图3.4 2
= -8
3
4
四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)
3
3(
01
.0
3
2
4002
2y
xy
x
y
x+
+
+
+
+元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：)
,
(y
x
L表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数)]
3
3(
01
.0
3
2
400
[
)
9
10
(
)
,
(2
2y
xy
x
y
x
y
x
y
x
L+
+
+
+
+
-
+
=
)0
,0
(,
400
)
3
3(
01
.0
6
82
2>
>
-
+
+
-
+
=y
x
y
xy
x
y
x，
令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y
x
，解得唯一驻点（120，80）.
又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得
0105.332>⨯=--B AC .
得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.
五、证明题 1、设)11(y
x e z +-=, 求证z y
z y x z x 222
=∂∂+∂∂.
证明： 因为2)1
1(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1y
e y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)1
1()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-
2. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明
1=∂∂+∂∂y
z x z
证明：设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1,
F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,
313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z , 32
32=--=-=∂∂x x z y F F F F y
z ,
于是
13
231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z .
3、设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明
1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x
z z y y x .
解：因为
x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂,
z
x F F x z
-=∂∂,
所以
1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z
x y z x y F F F F F F x z z y y x .。