最新多元函数微分学复习题及答案
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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题
1.
（ B ）
(A)
等于0； (B)不存在； (C)等于
(D)存在且不等于0（提示：令2
2
y k x =）
2
（ C ）
(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
3
(,)f x y （ A ）
(A) 处处连续；
(B)
处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；
(D) 除（0,0）点外处处连续
（提示：①在2
2
0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，
200
0(0,0)x x y f →→→=== ，故在2
20x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在
整个定义域内处处连续。）
4 （ A ）
(A)
必要而非充分条件；
(B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件；
(D)既非充分又非必要条件 5
（ B ）
(A)
；
(D)
6
（ A ）
（A
（B
（C
（
D 7、若)ln(y x z -
=，则=∂∂+∂∂y
z y x z x
（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2
1
-．
8、设y x
z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
（A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）2
2v u u
v +-．
9
（
D ）
(A)
(B)
(C)
10
（ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ；
(C) 0 ； (D) 1 11
（ B ）
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。 12
（ C ）
2)()(,0)()(,0)(,0)(000000=
=====P f P f P f P f P
f P f yx xy yy xx y x ，则
（A
（B
（C
（D ）条件不够，无法判定。 二、填空题 1
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
2
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
3
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
4 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
5⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
6⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：22
2x y x
-
（22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-Q ）
7 。答：3cos5
822
z
x ∂∂= 0 9、、设
9_________。答：（1，－1） 三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z = (2)
ln()z x y =+(3)1
ln()
z x y =
+ (4)ln(1)z xy =-
解：(1)要使函数z =有意义，必须有2
2
10x y --≥，即有2
2
1x y +≤.
故所求函数的定义域为22
{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1
(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为
{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2
(3)要使函数1
ln()
z x y =
+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.
故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3
(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为
{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4
图3.1 图3.2
图3.3 图3.4 2
= -8
3
4
四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)
3
3(
01
.0
3
2
4002
2y
xy
x
y
x+
+
+
+
+元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：)
,
(y
x
L表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数)]
3
3(
01
.0
3
2
400
[
)
9
10
(
)
,
(2
2y
xy
x
y
x
y
x
y
x
L+
+
+
+
+
-
+
=
)0
,0
(,
400
)
3
3(
01
.0
6
82
2>
>
-
+
+
-
+
=y
x
y
xy
x
y
x，