求多边形边数的方法

求多边形边数的方法

求多边形的边数是“多边形及其内角和”一节的常见题型，本文将举例介绍几种求多边形边数的方法，以供读者学习参考.

一. 利用多边形的内角和公式计算

例1.已知一个多边形的内角和是1440o ，则这个多边形的边数是_______. 解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得

(2)1801440n -⋅=o o ， 化简得28n -=

解得10n =，即该多边形的边数为10 .

例2.已知一个多边形的每一个内角都是160o ，则这个多边形是______边形. 解: 设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得

(2)180160n n -⋅=o o 解得18n =

即该多边形是18边形.

二.利用多边形的内角和的特性计算

例3.在一个多边形中，除去一个内角外的其它内角之和为1205o ，则这个多边形的边数是_______.

解：因为“n 边形的内角和等于(2)180n -⋅o ”

所以，n 边形的内角和必为180o 的整倍数，

而12051806125=⨯+o o o ，（注：可知除去的这个内角度数为18012555-=o o o ） 所以该多边形的内角和应为180o 的7倍.

即27n -=，解得9n =. 即该多边形的边数为9 .

例4.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角的和是2400o ，求这个多边形小边数.

解：因为24001801360=⨯+o o o ，又n 边形的内角和必为180o 的整倍数 ， 所以该多边形的内角和应为180o 的13倍 （注：可知增加的这个外角为60o ） 即213n -=，解得15n =， 即该多边形的边数为15.

三.利用多边形的外角和性质计算

例5.已知一个多边形的每一个外角都等于30o ，则这个多边形的边数是____. 解：设这个多边形的边数为n ，由“多边形的外角和等于360o ”得

30360n =o o ，解得12n =

即该多边形的边数为12.

四.综合利用多边形的内、外角和性质计算

例6.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是____.

解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和与外角和性质，得 (2)1803603n -⋅=⨯o o ，化简得26n -=

解得8n =，即该多边形的边数为8.

五.利用多边形内角的范围计算

例7.已知一个n 边形的(1)n -个内角的和为1160o ，求该多边形的边数n . 解：易知多边形的任意一个内角α是：0180α<

而这里第n 个内角的度数应为：(2)180n -⋅-o 1160o ，

因此0(2)1801160180n <-⋅-

n <<，而边数n 为整数，所以9n =. 六.利用多边形外角和的不变性计算

例8.已知一个n 边形的各个内角都相等，另一个2n 边形的内角也都相等，且n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o ，求这两个多边形的边数.

解：因为两个多边形的内角分别相等，

所以它们的各个外角也分别相等

由“多边形的外角和等于360o ”得：

n 边形的每个外角为360n o ，2n 边形的每一个外角是3602n

o ，即180n o . 因为n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o ，

所以n边形的一个外角比2n边形的一个外角大18o.

即360

n

o

－

180

n

o

=18o，化简得

180

18

n

=

o

o

解得10

n=，所以220

n=

即两个多边形的边数分别是10、20.