非线性振动 第二章2

实线和虚线分别表示稳定或不稳定的亚谐波响应
2.6平均法
2.6.1弱非线性系统的受迫振动 非线性受迫振动系统：
2 && + ω0 x = ε f ( x, x ) + F0 cos ωt & x
2 令 ω 2 = ω0 (1 + εσ 1 )
&& + ω 2 x = ε f1 ( x, x, ωt ) & x
x ( t , ε ) = ∑ ε n xn (T0 , T2 , T3 ,L , Tm )
2
消除久期项
A1/ 3 = 0
或
4 2 A1/ 3 + AA1/ 3 + 2 A2 − σ 1 = 0 3
A1/ 3 = −
A 4 7 ± σ 1 − A3 2 3 4
9 F0 567 F02 4 ω2 2 A1/ 3 = − ± − ω0 − 2 16ω 3ε 9 256ω 4
由平均法
P (a, θ ) = Ψ (a, ω ) + k cos θ Q (a, θ ) = Φ (a, ω ) - k sin θ
Φ ( a, ω ) = =
1
π
∫
2π
0
f (a cosψ , aω sinψ ) sinψ dψ
π∫
1
1
2π
0 2π
[−2ξ1ω0 (−aω sinψ ) + ωω 02 (σ a cosψ − a3 cos3ψ ) + k cos(ψ + θ )]sinψ dψ
2.5.2亚谐波共振
2 && + ω0 x + ε x 3 = F0 cos ωt x
ω
2
2 = ω0 + εσ 1 3
将解的幂级数展开， 令两边
2
的同次幂数相等： ε
Байду номын сангаасω &&0 + x0 = F0 cos ωt x 3
3 &&1 + x1 = σ 1 x0 − x0 x 3 M
由于线性系统在共振情况下的响应中可出现振幅随时间无限增 加的项，从而与解的周期性产生矛盾，也违背保守系统机械能 守恒的物理定律。这种随时间不断增长的项称为久期项。久期 项的出现反映出正则摄动法的缺陷。为消除久期项，提出了各 种改进方法，统称为奇异摄动法。下节中叙述的林滋泰德—庞 加莱方法就是奇异摄动法中的一种。
其中：
2 & & f1 ( x, x, ωt ) = f ( x, x ) + ω0 σ 1 x + F0 cos ωt
&& + ω 2 x = ε f1 ( x, x, ωt ) & x
当
ε = 0 时，导出派生系统的解及其导数
x = a cos (ωt − θ )
& x = −aω sin (ωt − θ )
Φs θ s = tan () Ψs
- 1
3 [ω0 2 as (σ − as 2 )]2 + [2asξ1ωω0 ]2 − k 2 = 0 4 3 2 2 2 k2 (ω0 2σ − ω0 as ) + (2ξ1ω ) 2 ω0 2 = 2 4 as
整理得：
2ξ1ω 2 3 2 2 k2 (σ - as ) + ( ) = 2 2 4 ω0 a s ω0
幅频特性
平均法不仅能计算幅频和相频特性，而且还能利用平均化方程分析受 迫振动的稳定性和全局运动性态。
ε Φ ( a, ω ) − F0 sin θ 2ω ε θ& = Ψ ( a, ω ) + F0 cos θ 2ω a
& a=−
& = −ε ∂Φ ξ − F cos θ η 2ωξ 0 s ∂a s
3 3 1 + cos 2ψ ω0 2 3 1 {aξ1ωω0 sin 2ψ + ω0 (σ a − a ) − a (cos 4k + cos 2ψ ) 1 2π 4 2 4 2 = ∫ π 0 3 + k cos(ψ + θ ) cosψ }dψ = ω0 2 a (σ − a 2 ) 4
2
& a=
ω ω02 ≤ 3 ω ω ≥ 3
2 0
2
15309ε F02 1 − 1024ω 6 15309 | ε | F02 1 − 1024ω 6
2
(ε > 0) (ε < 0 )
2 9 F0 4ω0 4ω 2 567 F02 + = − A1/ 3 − 2 16ω 3ε 27ε 256ω 4 2
1 & 2ωη = ε as
∂Ψ 1 − 2 (Ψ s + F0 cos θ s ) ξ − F0 sin θ sη ∂a s as
此线性扰动方程的本征方程为
∂Φ 2ωλ + ε ∂a s ε ∂Ψ − as ∂a s
π
1
∫
2π
0 2π
2 f ( a cosψ , −a sinψ ) cosψ dψ + ω0 σ 1a
π∫
0
f ( a cosψ , − a sinψ ) sinψ dψ
ε Φ ( a, ω ) − F0 sin θ 2ω ε & θ= Ψ ( a, ω ) + F0 cos θ 2ω a
& a=−
两边分别相除
a Φ ( a, ω ) − F0 sin θ da =− dθ Ψ ( a, ω ) + F0 cos θ
奇点 ( as , θ s )
W ( as , ω ) =Ψ + Φ − F = 0
2 s 2 s 2 0
Φs θ s = arctan(− ) Ψs
相频特性
消除久期项
2ζ 1 A − B1 cos θ = 0
σ 1 A − A3 + B1 cos θ = 0
B12 2 3 2 A − σ 1 + ( 2ζ 1 ) = 2 A 4
2
3 4
2 ω 2 3 2 B 1 − + ε A2 + ( 2ζ ) = A ω0 4
2
2 ω 3 2 ω B 1 − + ε A + 2ζ = ω0 4 ω0 A
2
2
展开得到幅频关系式
2 3ε 3ε 2 B 2 2 2 2 ω = ω 1 + A − 2ζ ± − 4ζ 1 + A − ζ 4 4 A 2 2 0
(a) (b)
ω
2
x0 = A1/ 3 cos
ωt
3
+ A cos ωt
A=−
9F 9F0 8ω 2
将零次近似解代入一次近似方程，整理后得到
3 2 3 3 ωt ω &&1 + x1 = σ 1 − A1/ 3 − AA1/ 3 − A2 A1/ 3 cos + x 4 4 2 3 3 3 3 1 3 2 σ 1 A − A3 − AA1/ 3 − A1/ 3 cos ωt + L 4 2 4
2
a3 = ∫ {2aξ1ω0ω sinψ + ω 0 [σ a cosψ − (3cosψ + cos 3ψ )] + k cos(ψ + θ )}sinψ dx π 0 4 2π 1 − cos 2 2π ψ 1 = {2aξ1ωω0 ∫ dψ + [ ∫ f1 (cosψ , cos 3ψ ,ψ + θ ) sinψ dψ ]} 0 0 2 π = 2aξ1ωω0 1 2π Ψ ( a, ω ) = ∫ f (a cosψ , aω sinψ ) cosψ dψ π 0 3 3 a3 2 2 2 1 2π {2aξ1ωω0 sinψ cosψ + ω0 [σ a cos ψ − a cos ψ − cos 3ψ cosψ ] + = ∫ 4 4 π 0 k cos(ψ + θ ) cosψ }dx
幅频和相频特性关系
3 B (1 − λ 2 + ε as 2 ) 2 + (2ξλ ) 2 = ( ) 2 4 as
θ s = tan −1
2ξλ 3 2 1 − λ + ξ as 2 4
ω λ= ω0
2.8多尺度法 引入表示不同尺度的时间变量
Tn = ε nt
m n= n =0
( n = 0,1, 2,K)
−ε Q (a, θ ) 2ω
θ& =
ε P (a, θ ) 2ω a
相轨线方程：
da aQ a[Φ (a, ω ) − k sin θ ] =− =− dθ P Ψ (a, ω ) + k cos θ
P ( as , θ s ) = 0 Q ( as , θ s ) = 0
W ( as , θ s ) = Ψ s 2 + Φ s 2 - k 2 = 0
& a=−
得到方程的平均化方程：
ε & = ε P ( a, θ ) & a=− Q ( a, θ ) θ 2ω a 2ω
定义
Q ( a, θ ) = Φ ( a, ω ) − F0 sin θ
P ( a, θ ) = Ψ ( a, ω ) + F0 cos θ