图论网络规划

图论练习

汪帆2011306200513 土规1202

1某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，如图所示，问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短。

图5.1.1 城市点线模型图

解：分析：要求建立的消防站离最远区的路径最短，即要求出任意两点间最优路径，而后从最优路径中选取最大值中的最小值。具体方法则要运用

Warshall-Foryd算法求出该图的路由表，从而根据路由表中的最优路线，寻求V1-V7到每一点的最优路径，并比较各路径中最长路径的大小，择取最小值即为题中之所问。

（1），建立权矩阵：

A=[0 3 inf inf inf inf inf ;

3 0 2 inf 1.8 2.5 inf;

Inf 2 0 6 2 inf inf ;

Inf inf 6 0 3 inf inf ;

Inf 1.8 2 3 0 4 inf;

Inf 2.5 inf inf 4 0 1.5;

Inf inf inf inf inf 1.5 0]

（2），运用Warshall-Foryd算法，调用floyd(A)函数，求出该图的路由表（程序详见附录5.1）：

表5.1.1 任意两点间最优路径表（路由表）

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1 0 3 5 7.8 4.8 5.5 7 V2 3 0 2 4.8 1.8 2.5 4 V3 5 2 0 5 2 4.5 6 V4 7.8 4.8 5 0 3 7 8.5 V5 4.8 1.8 2 3 0 4 5.5 V6 5.5 2.5 4.5 7 4 0 1.5 V7 7 4 6 8.5 5.5 1.5 0

（3），结果分析：上述n n ij )V (V ⨯=矩阵为对称阵，主对角线为0，即消防站所建立的位置。其具体涵义为：消防站建立在V i 处时对应各个城市的最短路径，如此可以建立表5.1.2:

表5.1.2 各点建立消防站的最远城市及其两者距离表

消防站点 最远城市 两者距离

V1 V4 7.8 V2 V2 4.8 V3 V7 6 V4 V7 8.5 V5 V7 5.5 V6 V5 7 V7 V4 8.5

从表5.12可以看出，比较最远距离，不难看出，当消防站点选在V2城市时，其离最远城市的最优距离为最优：4.8。故而，应将消防站建立在V2城市。

2某矿区有七个矿点，如图所示，已知各矿点每天的产矿量,现要从这七个矿点选一个来建造矿厂，问应选在哪个矿点，才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力（千吨公里）最小。

图5.2.1 矿区点线模型图

解：分析：总运力与两个因素有关：矿点与矿厂的距离、矿点产矿量，且都是正比的关系，故而应当把矿点与矿厂的距离L 和矿点产矿量X 的成绩当做运力，进而将运力当做权矩阵的元，运用Warshall-Foryd 算法求出该图的路由表，从而根据路由表中的最优路线，寻求V1-V7到每一点的最优路径，再将最优路径加总，进而寻求7个预设厂址中的最优路径总值的最小值的点即为所求矿厂点。

（1），距离矩阵：

L=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0,5.1inf,inf,inf,inf,inf,5.1,0,4inf,inf,,4inf,inf ,4,0,1,2inf,inf,inf inf,,1,0,6inf,inf,inf inf,,2,6,0,2inf,inf ,4inf,inf,,2,0,3inf inf,inf,inf,,inf ,3,0 产量矩阵：

[]4,1,6,1,7,2,3=X

（2），权矩阵（运算程序见附录5.1）：

X i L *:).,(A = i=1:7

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0 1.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 6 0 24 Inf Inf 8 Inf Inf 4 0 1 14 Inf Inf Inf Inf 6 0 42 Inf Inf Inf Inf 12 6 0 4 Inf Inf 4 Inf Inf 14 0 9Inf Inf Inf Inf Inf 6 0A

（3），运用Warshall-Foryd 算法，调用floyd(A)函数，求出该图的路由表

（程序详见附录5.2.2）：

（4），结果分析

由表5.2.1可知，厂址预设与该址到各个矿区的最优路径表清晰而明朗，并在表中最后一栏中的总运力可以观察出：当把V3设为矿厂时，其总运力最小，为57。故而应当选取V3矿区建立矿厂。

附录

5.1

function [D,R]=floyd(A)

D=A;n=length(D);

for i=1:n

for j=1:n

R(i,j)=i;

end

end

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

end

end

end

hl=0;

for i=1:n

if D(i,i)<0

hl=1;

break;

end

end

if(hl==1)

fprintf('有负回路')

break;

end

end

5.2.1

%求权矩阵。

n=7;

for i=n

A=[L(i,:).*X]

end