反距离加权插值方法研究
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倒数距离加权插值,又称“反距离加权平均”或“Shepard 方法”。
设有n 个点,平面坐标为),(i i y x ,垂直高度为i z ,n i ,,2,1 =,倒数距离加权插值的插值函数为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===≠=∑∑==时
当时
当n i y x y x z
n i y x y x d d z y x f i i i
i i n
j p j n j p j j
,,2,1,),(),(,,2,1,),(),(1
),(11 。
其中,22)()(j j j y y x x d -+-=
是),(y x 点到),(j j y x 点的水平距离,n j ,,2,1 =。
p 是一个大于0的常数,称为加权幂指数。
容易看出,z ∑∑===
n
j p j
n
j p j
j
d
d
z 1
11
是 n z z z ,,,21 的加权平均。
),(y x f 是用分段表达式表达的,看起来不连续,实际上,它是处处连续的。
),(lim y x f i i y y x x →→∑∑==→→=n j p
j
n
j p j j
y y x x d d
z i i 111lim p n p i p i p i p p n
n p i i p i i p i i p d d d d d d d z d z d z d z d z i 11111lim
111111111
0++++++++++++=+-++--→ p n p i
p i p i p i p i p p i p
n p
i n p
i p i i i p i p i i p p i d d d d d d d d d d d z d d z z d d z d d z i ++++++++++++=+-++--→ 1
111
1111101lim ),(i i i y x f z == ,
所以,),(y x f 在),(i i y x 连续。
加权幂指数p 可以调节插值函数曲面的形状。p 越大,在节点处函数曲面越平坦;p 越小,在节点处函数曲面越尖锐。
倒数距离加权插值的优点是:公式比较简单,特别适用于结点散乱,不是网格点的问题。它的缺点是:只能在节点上取到函数的最大最小值(因为这种插值是各节点上值的加权平均)。
当节点比较多时,倒数距离加权插值的计算工作量比较大,可将插值公式作下列简化:
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧===≠=∑∑==时
当时
当n i y x y x z n i y x y x d w z d w y x f i i i
i i n
j j n
j j j ,,2,1,),(),(,,2,1,),(),()()(),(11 ,
其中
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤
<=R
d R d R
R
d R R
d d d w j j j
j j j 0314273
01)(2 。
当 3
R
d j ≤
时,)(j d w 的图像是一段双曲线(就是原来1=p 时的倒数距离加权插值
公式);当
R d R
j ≤<3
时,)(j d w 的图像是一段抛物线;当 R d j > 时,0)(=j d w ,这样,对于距离大于R 的节点,就可以不必计算,计算工作量也就大大减少了。.