2017年和2019年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷(小高考)

2017年1月广东省学业水平考试数学试题

满分100分

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分） 1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()M

N P =（ ）

A.{0,1,2,3,4}

B.{0,3}

C.{0,4}

D.{0} 2.函数lg(1)y x =+的定义域是（ ）

A.(,)-∞+∞

B. (0,)+∞

C. (1,)-+∞

D. [1,)-+∞ 3.设i 为虚数单位,则复数

1i

i

-= （ ） A. 1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i

4.命题甲：球的半径为1cm ，命题乙:球的体积为43

πcm 3

，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线1

12y x =

+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 15

22

y x =+

6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）

A.2

8y x = B. 2

8y x =- C. 2

8x y = D. 2

8x y =- 7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),则|

+|=（ ）

8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )

2-,下列等式不正确

的是

A. 2sin 3α=-

B. 2

sin()3

απ+= C. cos α= D. tan α=

9.下列等式恒成立的是（ ）

2

3

x -= (0x ≠) B. 2

2

(3)

3

x x =

C.22

333log (1)log 2log (3)x x ++=+ D. 3

1

log 3x

x =- 10.已知数列{}n a 满足1

1a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ）

A. 2

1n + B. 2

n C. 21n - D. 1

2n -

11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤??

≤??+≥?

,则z =2x +y 的最大值为（ ）

A. 3

B. 5

C. 9

D. 10

12.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）

A.22(2)(5)x y +++=

B. 22

(2)(5)18x y +++=

C. 22(2)(5)x y -+-=22

(2)(5)18x y -+-=

13.下列不等式一定成立的是（ ）

A.12x x +

≥ (0x ≠) B. 22111

x x +≥+ (x R ∈) C. 2

12x x +≤ (x R ∈) D. 2

560x x ++≥ (x R ∈)

14.已知 f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2

()sin f x x x =-,则当

[0,)x ∈+∞时, ()f x =（ ）

A. 2

sin x x + B. 2

sin x x -- C. 2

sin x x - D. 2

sin x x -+

15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）

A. 4和3

B. 4和9

C. 10和3

D. 10和9 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 16.已知x >0, 且5

,,153

x 成等比数列,则x= 17. 函数

()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是

18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为

1

2

，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．） 20.ABC ?的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a b

A B

= (1)证明: ABC ?为等腰三角形; (2)若a =2, c=3,求sin C 的值.

21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60o

ABC ∠=,

PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点.

(1)证明: PA CD ⊥;

(2)求三棱锥P-ABC 的体积; (3) 证明: AE PCD ⊥平面

P

B

C

D A

E

2017年广东省普通高中学业水平考试

数学试卷参考答案

一、选择题

1.B 【解析】M∪N={0,1,2,3,4},

(M∪N)∩P={0,3}.

2.C 【解析】对数函数要求真数大于0,

∴x+1>0即x>-1.

3.D 【解析】==

=-i-1=-1-i,其中i2=-1.

4.C 【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要

性.

5.B 【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.

6.A 【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x轴上,且-=-2,∴p=4.

由y2=2px得y2=8x.

7.A 【解析】=(3,-2),

=(1,-1),+=(4,-3),

∴|+|==5.

8.D 【解析】r===3,

sinα=,cosα=,tanα=

∴A,B,C正确,D错误,

tanα===-.

9.D 【解析】 A.=(x≠0)

B.(3x)2=32x

C.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).

10.B 【解析】{a n}为公差为2的等差数列,

由S n=na1+d

=n+·2=n2.

11.C 【解析】如图,画出可行域

当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,

∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.

12.D 【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心:C(,)=(2,5)

半径r=

==3

所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.

13.B 【解析】A选项:错在x可以小于0;

B选项:x2+≥2

=2=2≥1,

其中≤1;

C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;

D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.

14.A 【解析】x∈[0,+∞)时,

-x∈(-∞,0],

由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.

15.C 【解析】平均数加6,方差不变.

二、填空题

16.5 【解析】,x,15成等比数列,

∴x2=×15=25,

又∵x>0,∴x=5.

17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2x+1) 最小正周期T===π.

18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.

选取十位数: 1 2 3 4

选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.

19.+=1 【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0) 离心率:e==

长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4

∴a=2,c=1,b===

∴椭圆标准方程为+=1.

三、解答题

20.(1)证明:∵=,=

∴=,即tan A=tan B,

又∵A,B∈(0,π),∴A=B

∴△ABC为等腰三角形.

(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2

根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C

9=4+4-8cos C,

∴cos C=

∵C∈(0,π),∴sin C>0

∴sin C==.

21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,AB∩AD=A ∴PA⊥平面ABCD,

又∵CD?平面ABCD

∴AP⊥CD.

(2)解:由(1)AP⊥平面ABC

∴V P-ABC=S△ABC·AP

=×AB·BC·sin∠ABC·AP

=××2×2×sin60°×2=.

(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP?平面APC,AC?平面APC,AP∩AC=A

∴CD⊥平面APC,

又∵AE?平面APC

∴CD⊥AE

由AB=BC=2且∠ABC=60°得

△ABC为等边三角形,且AC=2

又∵AP=2且E为PC的中点,

∴AE⊥PC

又∵AE⊥CD,PC?平面PCD,CD?平面PCD,PC∩CD=C

∴AE⊥平面PCD.

2019年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A ={0,2,4},B ={-2,0,2},则A ∪B =( ) A.{0,2} B.{-2,4} C.[0,2] D.{-2,0,2,4}

1.D 【解析】由并集的定义，可得A ∪B ={-2,0,2,4}.故选D.

2.设i 为虚数单位,则复数i(3+i)=( ) A.1+3i B.-1+3i C.1-3i D.-1-3i 2.B 【解析】i(3+i)=3i+i 2=3i-1.故选B.

3.函数y =log 3(x +2)的定义域为( ) A.(-2,+∞) B.(2,+∞) C.[-2,+∞) D.[2,+∞)

3.A 【解析】要使y =log 3(x +2)有意义，则x +2>0，解得x >-2，即定义域为(-2,+∞).故选A.

4.已知向量a =(2,-2),b =(2,-1),则|a +b |=( )

A.1

B. 5

C.5

D.25

4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=42+(-3)2=

5.故选C.

5.直线3x +2y -6=0的斜率是( ) A.32

B.-32

C.23

D.-23

5.B 【解析】直线3x +2y -6=0，可化为y =-32x +3，故斜率为-3

2.故选B.

6.不等式x 2-9<0的解集为( ) A.{x |x <-3} B.{x |x <3} C.{x |x <-3或x >3} D.{x |-3

6.D 【解析】由x 2-9<0，可得x 2<9，的-3

7.已知a >0，则

a

3

a 2

=( )

A.a 1

2

B.a 3

2

C.a 2

3

D.a 1

3

7.D 【解析】3

a 2

=a 2

3，则

a

3

a 2

=

a

a 23

=a 1-23=a 13.故选

D.

8.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为( ) A.7和53

B.8和83

C.7和1

D.8和23

8.A 【解析】平均数-x =16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-

7)2]=5

3

.故选A.

9.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =1,BD 1=2，则AA 1=( )

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

A.1

B. 2

C.2

D. 3

9.B 【解析】在长方体中，BD 12=AB 2

+AD 2+AA 12，则22=12+12+AA 12，解得AA 1= 2.故选B.

10.命题“?x ∈R ，sin x +1≥0”的否定是( ) A.?x 0∈R ，sin x 0+1<0 B.?x ∈R ，sin x +1<0 C.?x 0∈R ，sin x 0+1≥0 D.?x ∈R ，sin x +1≤0

10.A 【解析】全称命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“?x 0∈R ，sin x 0+1<0”.故选A.

11.设x ,y 满足约束条件?????x -y +3≥0，

x +y -1≤0，y ≥0，

则z =x -2y 的最大值为( )

A.-5

B.-3

C.1

D.4

11.C 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，当直线z =x -2y 过点A (1,0)时，z 取得最大值，z max =1-2×0=1.故选C.

12.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C 的标准方程是( )

A.(x -5)2+(y -5)2=25

B.(x +5)2+(y -5)2=25

C.(x -5)2+(y -5)2=5或(x +5)2+(y -5)2=5

D.(x -5)2+(y -5)2=25或(x +5)2+(y -5)2=25

12.D 【解析】由题意得圆C 的圆心为(5,5)或(-5,5)，故圆C 的标准方程为(x -5)2+(y -5)2=25或(x +5)2+(y -5)2=25.故选D.

13.如图，△ABC 中，→AB

=a ,→AC =b ，→BC =4→BD ，用a ,b 表示→AD ，正确的是(

) B

A.→AD

=14a +34b B.→AD

=54a +14b C.→AD

=34a +14

b

D.→AD

=54a -14

b 13.C 【解析】由→BC

=4→BD ，可得→AC -→AB =4(→AD -→AB )，则→AD =34→AB +14→AC ，即→AD =34a +14b .故选C.

14.若数列{a n }的通项a n =2n -6，设b n =|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A.14 B.24 C.26 D.28

14.C 【解析】当n ≤3时，a n ≤0，b n =|a n |=-a n =6-2n ,即b 1=4,b 2=2，b 3=0.当n >3时，a n >0,b n =|a n |=a n =2n -6，即b 4=2,b 5=4，b 6=6,b 7=8.所以数列{b n }的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C.

15.已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的长轴为A 1A 2，P 为椭圆的下顶点，设直线P A 1,P A 2的斜率分别

为k 1，k 2，且k 1·k 2=-1

2，则该椭圆的离心率为( )

A.32

B.22

C.12

D.14

15.B 【解析】由题意得A 1(-a ,0),A 2(a ,0),P (0,-b )，则k 1=-b a ,k 2=b a ，则k 1·k 2=-b 2a 2=-1

2，即a 2=2b 2，

所以c 2

=a 2

-b 2

=b 2

，离心率e =c

a

=

c 2a 2=b 22b 2=2

2

.故选B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16.已知角α的顶点与坐标原点重合，终边经过点P (4,-3)，则cos α=______.

16.45 【解析】由题意得x =4,y =-3，r =x 2+y 2=42+(-3)2=5,cos α=x r =45.

17.在等比数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，则a 4=______.

17.8 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,由题意得q =a 2

a 1

=2，则a 4=a 1q 3=1×23=8.

18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是______.

18.2

5 【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为p =410=2

5

.

19.已知函数f (x )是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f (x )=x 2-4x ，则当x ∈(-∞，0)时，f (x )=______. 19.-x 2-4x 【解析】当x ∈(-∞，0)时，-x ∈(0,+∞),由奇函数可得f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )]=-x 2-4x .

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos A =3

5，bc =5.

(1)求△ABC 的面积； (2)若b +c =6,求a 的值.

20.【解析】(1)∵A 是△ABC 的内角，即A ∈(0,π)，cos A =35，∴sin A =1-cos 2A =4

5.

又bc =5，∴S △ABC =12bc sin A =12×5×4

5=2.

(2)由cos A =b 2+c 2-a 22bc =3

5,bc =5，可得b 2+c 2-a 2=6.

由bc =5,b +c =6,可得b 2+c 2=(b +c )2-2bc =26.

∴26-a 2=6，解得a =2 5.

21.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥PB ,PB ⊥PC ,PC ⊥P A ,P A =PB =PC =2，E 是AC 的中点，点F 在线段PC 上. (1)求证：PB ⊥AC ;

(2)若P A ∥平面BEF ,求四棱锥B -APFE 的体积.

(参考公式：锥体的体积公式V =1

3

Sh ，其中S 是底面积，h 是高.)

F

E

C

B

A

P

21.【解析】(1)∵P A ⊥PB ,PB ⊥PC ,P A ?平面P AC ,PC ?平面P AC ,P A ∩PC =P ，∴PB ⊥平面P AC . 又AC ?平面P AC ，∴PB ⊥AC .

(2)∵P A ∥平面BEF ,P A ?平面P AC ,平面BEF ∩平面P AC =EF ，∴P A ∥EF . 又E 为AC 的中点，∴F 为PC 的中点. ∴S 四边形APFE =S △P AC -S △FEC =3

4S △P AC .

∵PC ⊥P A ,P A =PC =2，∴S △P AC =1

2×2×2=2.

∴S 四边形APFE =3

2

.

由(1)得PB ⊥平面P AC ,

∴PB =2是四棱锥B -APFE 的高. ∴V 四棱锥B -APFE =13S 四边形APFE ·PB =13×3

2×2=1.