武汉工程大学工程电磁场第三章恒定电场

(1)边界条件
设有媒质电导率分别为 1,的2交界面，可得
1n 2n (3-14 )
E1t E2t (3-15)
上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的
法线分量连续。
在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的E切线分量连
续。
n 1
1
1
不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：
tan 1 1 tan 2 2
单位长度上的绝缘电阻
R0
U0 I
ln R2
2
R1
（3-10）
8
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程
在任意恒定电场中，作任意闭合曲 面S，由电荷守恒定律得
dS
I
q
（3-11）
S
t
在恒定电流场中，
S dS 0
q t 0
（3-12）
图3-3 穿过闭合曲面 的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式
图3-5 电流由导体 流入土壤
16
1.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件
(1)非理想介质
几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们
在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。E
在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要 考虑其特有的介质性能。
在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在， 因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即
(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？ 12
3 恒定电场的拉普拉斯方程
E
2
0
当媒质均匀时 0 则得 2 0
通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯 方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。
13
§3-4 媒质分界面上的边界条件
1.不同导电媒质交界面上的边界条件
场力搬到A极板。这种提供非静电力
将其它形式的能量转为电能装置称为
电源。
2.恒定电流场
Eq
恒定电流的形成
恒定电流场是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷流
动的物理过程。
3
3.电源电动势与局外场强
设局外场强为
lim
E0
q0
F q
dF dq
电源电动势为
B A
E0
dlV
电源电动势与有无外电路无关，它是 表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的 数量无关，即与电源的电流大小无关。
R2 dR
R1 2 R
2
ln R2 R1
E
Uo
R lnR2
R1
E
U o R0
R lnR2 R1
I
dS
U 0
2R 2U0
S
R ln R2
ln R2
R1
R1
7
单位长度上所消耗的功率
2
P
V P0dV
E2dV
V
R2
R1
R
ln
U0 R2
R1
2RdR
2
U
2 0
lnR2 R1
（R2<R<R1）
R=R2 1n 2n , E
E1
I0
2R 1
（R1＜R＜R2)
内外导体间电压为
E2
I0
2R
（R2＜R＜R3)
2
U0
R2 R1
E1dR
R3 R2
E1dR
R2 I0 dR
R1 2 1R
R3 I0 dR
R2 2 2 R
I0
2
ln
R2 R1
1 ln
R3 R2
2
1 2
导电媒质是分区均匀的，且有
同一相应的分布区域，此时若
两场中的导体边界条件亦相同，
欲使两场的场强相等，由场的
连接条件得
1 2 3 1 2 3
（3-48）
图3-11 静电场图（a）与 恒定电场（b）类比示意
若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布虽 然彼此不完全相同，但仍然是相似的。运用它们彼此间的相似关 系，将一种场的求解方法过渡到另一种场中来，这种方法称之为 场的比拟法。
d
U 0 E dl Ed
E U d
D E U d
d
E dl
U d x
x
d
q
s
dS
q
SDUdSS
DS
d
图3-9 平板电容器 电介质中的电场
26
若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介质， 换以电导率γ很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与板面垂
直 场，量在、两、极板E与间I。仍然施以电场U，则可求得极板间恒定电场的
2 2
2
14
(2)分析
在实际问题中，经常存在两 种媒质的电导率数值相差极大的 情形，这时当电流由电导率大的 媒质区域流向交界面时，不管其 与界面的交角如何，离开交界面 进入电导率小的媒质区域的电流 密度线几乎与界面垂直，这是因
为当 1 2 ,之1故。2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小
(3-50)
L
L
由于两场相似，则有 G C 0
(3-51)
故两平行输电线间的漏电导为 G C L (3-52)
0
ln d R0
31
小结：电阻（导）的计算
1.直接用电流场计算
1设I
E
U
E dl
B l E
A
dl
A
B
q sD dS
E dl 0
B A
l E
dl
A
B
I S dS
rotE
0E
grad
微分
形式
divD 0
D E
rotE
0E
grad
div 0
E
2 0
2 0
边界 条件
DE11nt
E2t D2n
E1t E2t
1n 2n
1n 2n 0
(3-24) 图3-6 架空输电线的电场
E1t E2t
(3-25)
D2n E2n (3-26)
19
例3-2 同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两层非理想电介质， 介质分界面的半径为R2，它们的电容率分别为ε1及ε2，电导率分 别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。设内外导体间加电压U0， 试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷面密度。
28
表3-2 静电场与恒定电场主要物理量的对应关系
静电场的主要 物理量
E
D
q
恒定电场的主 要物理量
E
I
及 场边与D因界而场赋在则值均是）匀彼完媒此全质相相情似同况的时下。，，它当们两的种E场场的与边场界是条完件全（相边同界的形，状而
29
2.静电场与恒定电场的类比
在非同一媒质情况下，若静
电场中的电介质与恒定电场中
9
• 电流的连续性方程说明了恒定电流场具有
什么性质？
dS
0
高斯公式
dV 0
S
V
0 ——电流连续性方程的微分形式
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
10
2 环路定理
在恒定电场中，电场的分布恒定，它的能量状态亦是恒定 的。
E dl 0 ——恒定电场的环路定理的积分形式
l
l
R2 R2
22
例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置和 电位如图所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2 ＝60mm，求电极之间的电阻。
图3-8 例3-3图
解 用拉普拉斯方程来求解。选用
圆柱坐标系， 仅与坐标 有关，
而与r、z坐标无关，拉普拉斯方
程简化为
2
1 r
21
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
I0
2
2 1 2U0
ln
R2 R1
1
ln
R3 R2
E1
2
ln
2U0
R2 R1
1
ln
R3 R2
R
E2
2
ln
1U 0
R2 R1
1
ln
R3 R2
R
（R1＜R＜R2) （R2＜R＜R3)
2 2
1 1
1n
U0 12 21 2 lnR2 R1 1 lnR3
E
dl
0
斯托克斯公式
( E) dS 0
s
E 0 ——环路定理的微分形式
• 环路定理说明了恒定电流场具有什么性质？
恒定电场能否引入电位函数？
• 上式中的电场强度能否包括局外电场？ 11
小结：恒定电场（电源外）的基本方程
s dS 00来自Ec E dl 0E 0
p E
• 恒定电场是无源无旋场。 (1)恒定电场中是否存在泊松方程？
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须依
靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
6
例 Rγ，23，若-1其于间圆内电柱导介形体质电至并容外非器导理内体想导间的体施绝的以缘外恒介半定质径电，为压其RU1电0，，容外求率导单为体位ε的，长内电度半导上径率流为为过 介质的电流及功率消耗。 解 设内导体单位长度上电荷为τ，则其所激发的电场强度为
E
2 R
Uo
R2 EdR
R1
S
R1 r
R1
24
因此电极之间的电阻
R
U0 I
2h ln
R2
R1
最后，代入已知数据
R
2 5106
4103
ln
60103 30103
1.13104
25
§3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质
中静电场的比拟
1.静电场与恒定电场的相似关系
够求实得例其：中一的面电积场为强S的度平，板E电电位容函器数，如，果电两位板移间矢电量压为以U及D，极就板能电 荷q的表达式。
解 设同轴电缆单位长度由内导体流到外导 体的漏电流为I0，由电流的连续性可知流 过单位长度上任一半径为R（R1＜R＜R3） 的圆柱面上电流均为I0，又由同轴电缆的 对称性，知同一圆柱面上各点电流密度矢 量应为径向，且大小相等。
图3-7 例3-2图
20
因此 1 2I0R（R1<R<R2）
2
I0
2R
2 欧姆定律的微分形式
E
(3-4)
：媒质的电导率，单位为西门子每米（S/m）
5
3 焦尔定律的微分形式
导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗，其功率的体密度为
p E （W/m3）——焦耳定律的微分形式
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P UI I 2 R （W）——焦耳定律的积分形式
D2n D1n
17
(2)边界条件的推导
E1t
1n
D2n
E2t
2n
D1n
1E1n
2E2n
2E2n 1E1n
2 2
1 1
1n
（3-22）
可见只有在下式成立的情况下
2 1 2 1
交界面处才不存在自由面电荷。
（3-23）
18
3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件
在通常情况下，导体表面电场 强度的法线分量En比切线分量Et 大得多，因而在绝缘媒质中，电 场强度线仍然近似垂直于导体表 面。因而，导电媒质与理想电介 质交界面的边界条件为：
第三章 恒定电场
第3章 恒定电场
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 §3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔-楞次定律的微分形式 §3-3 恒定电场的积分形式定理 §3-4 媒质分界面上的边界条件 §3-5 恒定电场中基本定理的微分形式与拉普拉斯方程 §3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟 §3-7 接地电阻的计算
图3-10 平行电极间导 电媒质中的电场
d
U E dl Ed E U d
0
E U d
d
E dl
U d x
x
d
I s dS S
I US
d
27
表3-1 静电场与恒定电场的主要对应关系
无自由电荷分布区域的静电场 无局外场区域恒定电场
积分 形式
E dl 0
30
3.运用比拟法求两导体间的漏电导（或电阻）
求两平行输电线间的漏电导，设线间电压为U，线间单位长
度的漏电流为I，其漏电导为
G I
dS
S
E dS
s
(3-49)
U LE dl LE dl
C
两平行输电线间电容
q
D dS S
s
U E dl
0E dS E dl
图3-12 两平行输电 线间的漏电导
的媒质
15
(3)边界条件的应用
在电力工程中，为了保证设备及人身 安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m， 当钢中电流密度δ与交界面法线的交角 α1＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 认为接地体表面为等位面。
电源电动势与局 外场强
局外场只存在于电源之中
B
l Ee dl A Ee dl
因此局外场 E0 是非保守场。
4
§3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔－楞次
1 电流密度矢量
定 律的微分形式
lim
I dI
s0 S dS
(3-3)
I S dS
量 E其的方方向向为。该点正自由电荷运动的方向，即该点电场强度矢
r
r
r
1 r2
d 2 d 2
d 2
dz2
1 d 2 r 2 d 2 0
23
直接积分得 C1 C2
边界条件
0，
U0
2
，
0
C1
2U 0
C2 U 0
2U 0
U0
E
grad
1 r
e
2U0
r
e
电流密度为
E
2U 0 r
e
通过薄钢片截面的电流
I
dS
R2 2U0 hdr 2U0h ln R2