实践基础上的理性反思

实践基础上的理性反思

景宁中学季玲

人们常用“功夫在诗外”来强调做好一件事情其实取决于一个人的经历、阅历、学识、见解，以及他的才智、精神乃至道德境界，我想我们的教学就更是如此了．听完柳院长的课和他在课堂中根据学生学习实际而对教学设计的及时调整，让我充分感受到他的“课外功夫”．我认为，成功的课堂教学是以教师对数学、学生、教学等的深刻理解为前提的．下面从教学内容的理解、教学目标的确定、概括过程的设计、思维教学的落实等几个方面，谈谈我对柳院长的课的认识．一、教学内容的把握和教学目标的确定

初中以“变量说”定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验．本单元在一般意义上，以“对应说”定义函数，引进数字以外的符号（y＝f(x)中，f不代表数，与x，y的含义非常不同）表达函数，柳院长在“函数的概念”中确定的教学目标，包含了“认识函数的背景”、“理解函数的定义（以‘对应关系’为核心）”和“抽象概括能力的培养”等三方面，显得很大气，而且也符合心理学的“先行组织者”策略．

思考自己平时所观察到的课堂发现，许多教师在这里都会强调概念的细节．如：函数是两个数集之间的对应；“任意性”；“唯一性”（一一对应或多一对应）；y＝f(x)是一个整体，不是f与x的乘积，

它是一种符号，可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格；y﹦f(x)如同一个加工厂，输入x，经过f而加工为另一个数值y；定义域、值域都是一个集合且值域是集合B的子集；等．这样针对着定义的抽象讲解，似乎是一种围绕“关键词”的概念“精致”活动，但由于学生刚接触抽象定义，头脑中理解这些细节的背景例证（包括正例、反例）还不够，因此这时强调“细节”，其效果只能是“越讲越糊涂”．在给出概念的文字表述后，柳老师让学生自己举例，并通过“你凭什么说自己举的例子就是函数？”引导学生开展用概念解释事例的活动，这是概念教学中特别值得效仿的，这是推动学生思维参与、加速概念领悟过程的重要措施．而这也恰恰是他准确把握教学目的的体现．

二、如何设计“概念的形成过程”

从教的角度看，概念教学的核心是引导学生开展概括活动：将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念．数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程．其基本环节：①背景引入；②具体例证的属性分析、比较、综合；③概括共同本质特征得到概念的本质属性；④下定义（准确的数学语言描述）；⑤概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；⑥用概念作判断——形成用概念作判断的“基本规范”；⑦概念的“精致”——建立与相关概念的联系．

从学的角度看，概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式．概念形成的实质是抽象出一类对象的共同本质属性的过程，其思维活动的核心是概括；概念同化就是学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念，理解的过程是新旧知识的相互作用过程，是将新知识纳入已有认知结构的过程，思维活动的核心仍是概括．对于概念学习的心理过程，我们借助当下比较流行的美国数学教育家杜宾斯基（Dubinsky）的“过程——对象”理论加以说明．我认为，这一理论实质上是对人们认识客观事物过程中的“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”的具体化、细化．

在函数概念的学习中，不同阶段有不同的智力操作．首先，学生利用自己熟悉的运算、变换等作用于函数的具体例证，并进行操作．例如，以“正方形的边长与面积间的关系”为载体，通过具体图形，建立边长与面积间的对应关系：1→1，2→4，3→9，4→16……；通过数的四则运算，体会R×R→R的对应；通过求代数式的值体会由一个量的变化引起另一个量的变化的过程；通过解二元一次方程的操作体会变量之间的依赖关系；另外，学生还在学习中接触了通过图形、表格表示变量之间依赖关系的大量实例．在这个过程中，学生逐渐地把作用于函数的操作（输入——输出）、各种表示法（箭头、表格、语言描述、符号表示、图形等）以及作为对象的函数一起，内化到头脑中．一个操作必须得到内化，而一个内化了的操作是一个过程．操作只有得到内化，学生才会有自觉地反映它并把它和其他操作组合起来的可能．内化的过程需要经历适当的训练．例如，学生在操作大量具

体函数的基础上获得“对于数集A中的任意一个元素x，在数集B中都存在唯一的一个元素y与之对应”这一思想，它不依赖于任何特定的函数，对集合A，B以及对应关系f没有具体限制，但有“两个集合元素之间的依赖关系”的内涵，并能进行“输入——输出”的运算．这是一个由内化操作所得结果的过程，它是建构过程的一条途径．另一条途径是用已有的过程去建构新的过程，它包含两种方式：一种是通过逆，例如，“已知函数值求自变量”作为一个操作，然后内化变成一个过程；另一种是组织或协调两个或更多个过程，例如，函数单调性的认识，通过协调“函数图象”和“由函数解析式，通过运算或代数变换比较大小”（数与形的结合），能够帮助学生更好地领悟单调性的本质．

在内化过程中，始终伴随着“一般化”活动．例如，学生将正方形的边长与面积间的对应关系1→1，2→4，3→9，4→16…“一般化”为x→x2，实质是概括出“对应关系”这一核心；对“x→x2”进一步“一般化”，可以表示其他问题（如匀加速运动）的变化规律；将各种具体事例的“对应关系”（再概括）浓缩为一般性符号“x→f(x)”，得到一个具有“一般性”的“对应关系”，再用严谨的数学符号语言表述，得到形式化的函数概念，这是更高层次的“一般化”活动．总之，通过大量的、从具体事例中概括“对应关系”的操作，学生积累了用集合与对应的语言刻画函数的活动经验，掌握了越来越多的函数具体例证，对“对应关系”描述变量之间依赖关系的作用的体会也越来越深刻，对函数的本质理解得越来越透彻，进而逐步明确函

数研究的问题和方法，形成用函数思想研究问题的“基本套路”，养成用函数观点看待和处理现实问题和数学问题的意识．理想的学习结果是形成一个包含大量具体函数实例、清晰的函数下位概念（如变量、对应关系、定义域、值域、图象、函数性质等）、用函数观点处理问题的思想方法及“基本套路”、与其它相关知识（方程、不等式、曲线等）建立紧密联系的“函数认知结构”．

三、如何落实“思维的教学”

1．让学生真正“动起来”

从学习方式看，柳老师特别强调让学生主动实践的重要性．众所周知，要使学生真正理解书本知识，必须要有他们自己身体力行的实践，从自己亲历亲为的探索思考中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学概念本质的深刻领悟，获得诗外真功夫．现在的关键是要把这些理念落实到课堂中．柳老师的做法是：以数学概念的发生发展过程为线索，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做、动眼看、动耳听、动口说、动笔写、动脑思、用心想，全身心地投入学习，在理解概念的过程中，实现数学能力的发展，培育理性精神．值得指出的是，柳老师并没有在“任意性”“唯一性”上做太多文章，而是把这些问题延后了．我认为这样处理是明智的．因为一方面“对应关系”实在重要，一节课不能有太多的重点；另一方面，对“任意性”“唯一性”的理解困难也很大，待学生接触更多的函数实例，形成较多的体验后再逐步解决是有效的．