广东省2019届高考适应性考试(理数)

广东省2019届高考适应性考试
数 学（理科）
本试卷4页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B
铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1． 已知集合{}
{}2
2|20,|log 2A x x x B x x =-->=≤，则A B =I
A ．(,1)(0,)-∞-+∞U
B ．(2,4]
C ．(0,2)
D ．(1,4]- 2． 复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程260z z b -+=（b R ∈）的根，则b =
A 13
B ．13
C 5
D ．5
3． 曲线4()2x f x e x =--在点(0,
(0))f 处的切线方程是
A ．310x y ++=
B ．310x y +-=
C ．310x y -+=
D ． 310x y --=
4． 已知实数,x y 满足约束条件133x x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-+的最小值为
A ．6-
B ．4-
C ．3-
D ．1-
5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板 拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分 的概率为
A ．
932 B ．516 C ．38 D ． 716
6．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR = A ．2
B 3
C ．23
D ．3
7．直线x y 2=绕原点顺时针旋转45
o 得到直线l ，若l 的倾斜角为
α，则α2cos 的值为 A ．
10
10
8+ B ．
10
10
8- C ． 5
4
-
D ．
5
4 8．函数1
sin 1
x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．平面四边形ABCD 中，2AD AB ==5CD CB ==,且AD AB ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为 A ． 2
B ．
12
C 3
D ．
310．已知函数()2sin()1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3
x π
=
，6x π=-是()y f x =的
图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是 A ． 51[3,3],36k k k Z ππππ-
+-+∈ B ． 71
[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C ． 21[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D ． 11
[2,2],36
k k k Z ππππ-+-+∈
11．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加
工为芒果罐头。

被加工为罐头的新芒果最多为1()f kg ，最少为2()f kg ，则下列坐标图最能准确描述1f 、2f 分别与n 的关系的是
A
新芒果加工量
新芒果购进量
f 1
f 2
D
新芒果购进量
新芒果加工量
f 1
f 2
C
新芒果购进量
新芒果加工量
f 1f 2
B
新芒果购进量
新芒果加工量
f 1
f 2
x O A
B
C
D F
E
12．若向量,,a b c r r r 满足,0a b c ≠≠r r r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r
，则a b a b c
++-r r r r r 的最小值是 A 3 B ．
22 C ． 2 D ．
32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()5
1112⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
x x 的展开式中2x 的系数为 ． 14．已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log 3f x x x =-，则
(1)f -= ．
15．已知点,,,A B C D 在球O 的表面上，且2,22AB AC BC ===，若三棱锥A BCD -的体积
为
42
3
，球心O 恰好在棱AD 上，则这个球的表面积为 ． 16．如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，
3OA =，5AB =，π
6
COD ∠=．点E 在弧CD 上，F 在AB
上，π
3
EOF ∠=．设AOF x ∠=，则当平面区域OECBF （阴
影部份）的面积取到最大值时，cos x =__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -=
*n N ∈，且
2n ≥）
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）证明：当2n ≥时，12311113
232
n a a a na ++++<L 18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的正方
形,E ，G 分别是CD ，AF 的中点，4AF =，FAE BAE ∠=∠， 且二面角F AE B --的大小为90︒．
（1）求证：AE BG ⊥；
（2）求二面角B AF E --的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数1()ln (0)x f x x a R a ax -=+∈≠且，1
()(1)()x g x b x xe b R x
=---∈ （Ⅰ）讨论函数
()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1=a 时,若关于x 的不等式()()2f x g x +≤-恒成立,求实数b 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为，且离心率为1
2
，圆
2222:D x y a b +=+．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点P 在圆D 上，F 为椭圆右焦点，线段PF 与椭圆C 相交于Q ，若PF QF λ=u u u r u u u r
，求λ的
取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修4—4：极坐标与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数）．P 是曲线1C 上的动
点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90o
得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；
（2）在（1）的条件下，若射线3
π
θ=（0ρ≥）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点（除极点外），
且有定点(4,0)M ，求MAB ∆的面积．
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知函数()23f x x m x m =--+()0m >．
（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；
（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
B
D
A
C
A
D
B
D
A
A
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 40- 14. 3 15. 16π 16. 3
5
三、解答题
17.解：（1）由1n n n a S S -=
11n n n n S S S S ---=11n n S S -=（2n ≥）
， 所以数列{}n S 111S a =
=为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n S n n =+-⨯=，即2
n S n =， 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； ……………6分 （2）当2n ≥时，
11111111
()(21)(22)2(1)21n na n n n n n n n n
=<==-----， 所以
12311111111113131(1)2322231222
n a a a na n n n ++++<+-+-++-=-<-L L ……………12分
18.解：18.解：（1）证明：作GO AE ⊥于点O 连接BO ， ∵2AG AB ==，GAO BAO ∠=∠，AO AO =， ∴AOG AOB ∆=∆，∴90AOB AOG ∠=∠=︒，
即GO AE ⊥，BO AE ⊥，又GO AO O =I
，
∴AE ⊥平面OGB ，又GB ⊂平面OGB ，
∴AE BG ⊥. ………………5分 （2）∵平面AEF ⊥平面AEB ，平面AEF I 平面AEB AE =，
GO AE ⊥，∴GO ⊥平面AEB .
以点O 为原点，OA ,OB ,OG 所在直线为,,x y z 轴，建立 如图所示空间直角坐标系O xyz -，
∵11
22
ABE S AB BC AE BO ∆=
⨯⨯=⋅,
∴
11
2222
BO ⨯⨯=.
∴BO =
，即GO AO =⇒=
∴(F
，A
，B
，G .
∴FA =u u u r
,BA =u u u r ，
设平面ABF 的法向量(,,)m x y z =u r
，
由00
m FA m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r
，得0,55
0.x z x y ⎧-=⎪⎪=令1y =，得(2,1,1)m =u r 由BO ⊥平面AEF
，易知(0,1,0)n ==r u u u
r 为平面AEF 的一个法向量.
设二面角B AF E --为θ，θ
为锐角，则cos m n m n
θ⋅==
⋅u r r u r r ………………12分 19.解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有
225(1)9p p +-=
．解得2
3
p =或13p =（舍）．………………5分
20.解：（Ⅰ）11()ln f x x ax a =+
-Q 22111
()(0)ax f x x x ax ax
-'∴=-=> …………1分 当0a <时，()0f x '∴>，()f x ∴在(0,)+∞单调递增； …………2分 当0a >时，由()0f x '>得：1x a >
；由()0f x '<得：1
0x a
<<， ()f x ∴在1(0,)a 单调递减，在1
(,)a
+∞单调递增 ……………………4分
综上：当0a <时，()f x 在(0,)+∞单调递增；
当0a >时，()f x 在1
(0,)a 单调递减，在1(,)a
+∞单调递增. ……………5分 （Ⅱ）由题意：当1a =时，不等式()()2f x g x +≤-，
即11
ln 1(1)2x x b x xe x x
+
-+---≤- 即ln 1
1x
x b e x x
-≤-
-在(0,)+∞恒成立， ……………6分
令ln 1()x
x h x e x x =--，则22221ln 1ln ()x x
x x e x h x e x x x
-+'=-+=，………7分 令2()ln x u x x e x =+，则21
()(2)0x
u x x x e x
'=++
>， ()u x ∴在(0,)+∞单调递增
又1u(1)e 0,u()ln 202
=>=
<，所以，()u x 有唯一零点0x （0112x <<）
所以，0()0u x =，即0
00
ln x x x e x =-
--------（※） ………………9分 当0(0,)x x ∈时，()0u x <即h ()0x '<，()h x 单调递减；
0(,)x x ∈+∞时，()0u x >即h ()0x '>，()h x 单调递增，
所以0()h x 为()h x 在定义域内的最小值. ……10分 令1()(1)2
x
k x xe x =<<则方程（※）等价于()(ln )k x k x =-
又易知()k x 单调递增，所以ln x x =-，1
x
e x
=
………………11分 所以，()h x 的最小值0
00000000
ln 111
()1x
x x h x e x x x x x -=-
-=--= 所以11b -≤，即2b ≤
所以实数b 的取值范围是(],2-∞ ………………12分
21.解（1
）由题可知222212
b c a a b c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩
，解得2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=； （2）圆D ：2
27x
y +=，焦点(1,0)F ，设1100(,),(,)P x y Q x y ，
由PF QF λ=u u u r u u u r
得1100(1,)(1,)x y x y λ--=--，（0λ>），
所以1010
1x x y y λλλ=+-⎧⎨
=⎩，由22
117x y +=，得2200(1)()7x y λλλ+-+=，
又2
200334y x =-
，代入整理得222001
2(1)42604
x x λλλλλ+-+--=， 此方程在[2,2]-上有解.
令22
21()2(1)4264
f x x x λλλλλ=
+-+--， 则2(2)966f λλ-=--，2(2)26f λλ=+-，2(106)λλ∆=-，
若(2)0f -=
，则13λ+=
或13
λ-=（舍）， 若(2)0f =
，则1λ=-+
1λ=--，
若()0f x =在(2,2)-上有且仅有一个根，则(2)(2)0f f -⋅<
，故
113
λ+<<-+ 若()0f x =在(2,2)-上有两个根，则2(2)0(2)004(1)22
f f λλλ->⎧⎪>⎪∆≥⎨⎪
-⎪-<-<⎩
，解得5
13λ-+<≤，
综上可得：λ
的取值范围是15
[
]33
+. 22.解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为2
2
(1)1x y +-=，即2
220x y y +-=，
因为cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 设点(,)Q ρθ（0ρ≠），则(,)2P πρθ+
，代入1C 的极坐标方程得2sin()2
π
ρθ=+， 即2cos ρθ=（0ρ≠）； ………………………………………5分
（2）将3
π
θ=
代入1C ，2C
的极坐标方程得),(1,)33A B ππ，
又(4,0)M ，所以1sin 323MOA S OA OM π∆=⋅=
，1sin 23
MOB S OB OM π
∆=⋅=
所以3MAB
MOA MOB S S S ∆∆∆=-= ………………………………………10分
23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧
+ <-⎪⎪
⎪
=--+=-- -≤≤⎨⎪
-- >⎪⎪⎩
……………1分
因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者3
1
2
321
x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩…………………3分 解得：332x -≤<-
或者3
12
x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}
31x x -≤≤-. …………………………………5分 （2）对于任意实数x ，
t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于
()()max min 21f x t t <++-……………………………………………………………6分
因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()
min
21
3t t ++-=……………………………………………………………7分
因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧
+ <-⎪⎪
⎪
-- -≤≤⎨⎪
-- >⎪⎪⎩
函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，
所以当32m x =-
时，()max 3522m m
f x f ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
……………………………………9分 所以
532
m
<， 所以实数m 的取值范围6
05
m <<
.……………………………………………………10分。