第一章 控制系统的状态空间模型

Fx

m
d2 dt 2
x
l sin

Fy

mg

m
d2 dt 2
l
cos

小车水平方向运动方程
d2x F Fx M dt2
一级倒立摆系统的动力学模型
J ml2 F lm J ml2 sin 2 m2l2g sin cos
x
第一章 控制系统的状态空间模型
1.1 状态空间模型 ·状态空间模型的建模方法
机理建模、高阶微分方程或传递函数简化
1.1.1 状态空间模型表达式
• 状态空间模型的形式
其中：前式称为状态方程，后式称为输出方程。 x是系统的n维状态向量； u是系统的m维控制输入向量； y是系统的p维测量输出。
状态空间模型—系统的内部描述，状态向量 不唯一。
Pu l se Generator
x F
theta
Subsystem
xy.mat To File
x F
theta
Subsystem1
一级摆立摆系统Simulink仿真结构图
考虑在垂直位置附近的线性化模型 可得 求解可得：
选择状态变量：
从 得到
1.2 传递函数和状态空间模型间的转换
• 1.2.1 由传递函数导出状态空间模型 • 单输入单输出、线性、时不变系统：传递
函数系统的外部描述或输入输出描述。
• 状态空间模型：内部描述
• 传递函数和状态空间模型之间的关系？
• 传递函数的一般形式：
其中：A是系统的状态（系统）矩阵，n×n维； B是系统的输入（控制）矩阵n×r维； C是系统的输出矩阵m×n维； D是系统的转移（传递）矩阵m×r维。
线性系统是实际非线性对象的线性化近似
• 1.1.2一个非线性模型实例倒立摆装置 用小车的位移和速度及摆杆偏离垂线的角 度和角速度来描述系统的动态特性 y：小车的水平位移 y+lsinθ：小球中心位置 小车水平方向： 垂直于摆杆方向： g：重力加速度
状态空间
以状态变量 状态空间。
为坐标轴所构成的 维空间，称为
状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。
用图下所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。
图1
根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：
亦即
这就是图1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号 ，表示，
• 化为真分式，求系统的状态空间模型。
其中：d=bn是直接转移项， ci=bi-ai·bn ，(i=0~n-1)。
• 系统化为两个环节的并联
例如
• 先考虑分子多项式为1的一类特殊传递函数 例1
对应的输入输出关系 等价的微分方程是 系统的状态变量图为
定义积分器的输出为状态变量：
• 写成一阶微分方程组的形式 即
•系统建模
2l O1 F
小车质量为 M ，倒立摆的质量为 m ，摆长为 2l ，小车的位置为 x ，摆的角度为 ，作 用在小车水平方向上的力为 F ，O1为摆杆的质心。
附1一级倒立摆系统的控制与仿真
摆杆绕其重心的转动方程 摆杆重心的水平运动方程 摆杆重心的垂直运动方程
J Fyl sin Fxl cos
• 对一般的传递函数 状态空间实现
该形式的状态空间实现称为能控标准型
• 分解法建立复杂系统的状态空间模型 • 串联法：
分解成
系统结构图
状态变量图
状态方程为 于是，串联结构的状态空间实现为
• 并联法 分解成
系统结构图
状态变量图
状态方程为 于是，并联结构的状态空间实现为
• 1.2.2 由状态空间模型确定传递函数 • 已知状态空间模型
• 要求确定系统的传递函数
• 即传递函数矩阵为
可见其由状态空间模型的系数矩阵唯一确定。
例：求下述状态空间模型的传递函数矩阵
利用 于是
可得
1.3 状态空间模型的性质
• 对状态空间模型 • 考虑状态向量的一个线性变换
• 变换后的系数矩阵
• 定理1线性变换前后的系统具有相同的传递函数 证明：
一个传递函数有无穷多个状态空间实现。 • 按极点定义
可见，传递函数分母多项式的根包含在矩阵A的 特征值中。矩阵A的特征值称为是系统的极点。
• 定理2等价的状态空间模型具有相同的极点。 证明：
可见，系统极点、传递函数都是线性变换下 的不变量。
• 线性变换的优点： 转变成具有特殊结构的模型，便于分析系统 特性； 特殊结构的模型便于控制器设计。
附1 一级倒立摆系统的控制与仿真
y = x1
写成矩阵形式
• 推广到一般情形：
• 例2 一般的传递函数
利用前面的结论来导出其状态空间的实现
传递函数
的实现为
而 经拉氏变换，并利用状态变量的定义
状态空间模型：
状态变量图：
一般系统状态空间实现的另一种思路： • 对于微分方程
先考虑
则它的状态空间模型表示是
而对 系统的输出为 同理并利用线性系统的叠加性
即令
并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：
状态方程
或 式中
输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系
统的输出方程。如在图1 系统中，指定
作为输出，输出一般用y表
示，则有：
或 就是系统的输出方程，它的矩阵表示式为：
或 式中
• 线性时变系统的状态空间模型
• 线性定常系统的状态空间模型
系统的简化模型
J ml2 F m2l2g
x
J M m mMl2
Байду номын сангаас



M m ml g mlF J M m mMl2
例 2.1 设一级倒立摆系统小车的质量 M 1kg ，摆的质量 m 1kg ，摆的 长度 2l 0.6m，重力加速度取 g 10 m s2 ，建立系统的仿真模型。
J ml2 M m m2l2 cos2




ml cos
F m2l2 sin cos 2 m2l2 cos2 J ml 2
M m ml g sin M m
J ml2 3
附1一级倒立摆系统的控制与仿真
对系统进行线性化 2 0,sin , cos 1
精确模型
x

0.12F

0.036sin 2 0.9sin 0.24 0.09 cos2

cos



0.3cos
F
0.09sin 0.09 cos2
cos 2
0.24
6sin
附1一级倒立摆系统的控制与仿真
x 6 0.8u 简化的模型 40 2u