第五章第3节等比数列及其前n项和

第五章第3节等比数列及其前n 项和

1.各项差不多上正数的等比数列{}a n 中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，那么a 3＋a 4a 4＋a 5

的值为 ( )

A.5－12

B.5＋12

C.1－52

D.5＋12或5－12 解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3，

∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0，

∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52

， a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q

＝5－12. 答案：A

2．(2018·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，那么S 4a 4

＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝18a 1，S 4＝a 1(1－124)1－12

＝158a 1， ∴S 4a 4

＝15. 答案：15

3．(2018·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，那么{a n }的前4项和S 4＝________.

解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)，

∴q 2＋q －6＝0，

∴q ＝－3或q ＝2.

∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12

，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152

.

答案：152

4.(2018·广东高考)n 39a 25，a 2＝1，那么a 1＝( )

A.12

B.22

C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5

＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝

22

. 答案：B

5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6∶S 3＝1∶2，那么S 9∶S 3等于 ( )

A ．1∶2

B ．2∶3

C ．3∶4

D ．1∶3

解析：∵{a n }为等比数列，

∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，

即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，

又∵S 6∶S 3＝1∶2，

∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34

S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4.

答案：C

6．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．假设数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q ＝________.

解析：∵b n ＝a n ＋1，∴a n ＝b n －1，

而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，

∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．

∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1. ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81，

∴q ＝－3624＝－32

，∴6q ＝－9. 答案：－9

7.假设数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n

＝p (p 为正常数，n ∈N *)，那么称{a n }为〝等方比数列〞． 甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，那么 ( )

A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：数列{a n }是等比数列那么a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n

＝q 2，那么{a n }为〝等方比数列〞．当{a n }为〝等方比数列〞时，那么a 2n ＋1a 2n ＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n

＝±p ，因此此数列{a n }并不一定是等比数列．

答案：B

8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．

(1)求a 2，a 3的值；

(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．

解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；

当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.

(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①

∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.

∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2

S n －1＋2＝2，

故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

9.(文){a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14

，那么a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323

(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14

为公比的等比数列，不难得出答案为C.

答案：C

(理)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又

a 3与a 5的等比中项为2，

b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，那么当S 11＋S 22

＋…＋S n n

最大时，n 的值等于

( )

A ．8

B ．9

C ．8或9

D ．17 解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，

∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，

又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，

而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，

∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12

)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2

， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n

＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22

＋…＋S n n 最大． 答案：C

10．(文)数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －

1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)咨询是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请讲明理由．