第四章 运输问题

第四章运输问题I、基本要求教学目标了解运输问题的基本原理，掌握运输问题表上作业法的计算方法。

能够进行产销平衡与产销不平衡的运输问题的优化安排。

重点问题运输问题表上作业法的计算方法。

II、基本内容第一节运输问题的基本原理和表上作业法一、运输问题的基本原理二、运输问题表上作业法第二节运输问题优化实例一、产销平衡的运输问题二、产销不平衡的运输问题III、学时分配表IV本章主要采取讲授课外练习相结合的方法教学。

第一节运输问题的概念和模型一、运输问题的概念一般运输问题，就是为解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的情况下，确定使总运输费用最小的方案的数学问题。

二、运输问题数学模型例4.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？三个销地的总销量为150+150+200=500；总产量 = 总销量，故称产销平衡问题。

设x ij为从产地A i运往销地B j的运输量，得到下列运输量表：Min f = 6x 11+4x 12+6x 13+6x 21+5x 22+5x 23s.t. x 11+ x 12 + x 13 = 200 (满足产地产量约束条件) x 21 + x 22+ x 23 = 300 (满足产地产量约束条件) x 11 + x 21 = 150 (满足销地销量约束条件) x 12 + x 22 = 150 (满足销地销量约束条件) x 13 + x 23 = 200 (满足销地销量约束条件) x ij ≥0(i =1,2；j =1,2,3)。

若设 A 1, A 2,…,A m 表示某物资的m 个产地； B 1,B 2,…,B n 表示某物资的n 个销地； s i 表示产地 A i 的产量； d j 表示销地 B j 的销量；c ij 表示把物资从产地 A i 运往销地 B j 的单位运价则可得如下运价表（表4-3）。

12m 12n 则称该运输问题为产销平衡问题，其一般线性规划模型如下：设 x ij 为从产地 A i 运往销地 B j 的运输量，根据这个运输问题的要求，可以建立一般运输变量表（表 4.4）。

Min ∑∑===mi nj ij ij x c f 11s.t),,2,1(1m i s xi nj ij=≤∑=),,2,1(1n j d xi mi ij=≤∑=),,2,1;,,2,1(0n j m i x ij ==≥第二节 运输问题的表上作业法一、确定基本初始可行解例：某食品公司下属的A 1、A 2、A 3 3个厂生产方便食品，要运送到B 1、B 2、B 3、B 4 4个销售点，数据如下：解：确定初始可行解主要有西北解法、最小元素法和伏格尔（Vogl ）近似法等方法。

下面，我们根据教材的介绍，简述西北解法和最小元素法。

（一）西北角法从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。

然后按行（列）标下一格的数。

若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。

如此进行下去，直至得到一个基本可行解。

如上例：在变量格的左上角填入运输费用，右下角准备填入基变量值，划去的格用括号“［］”标注（准备将来填写检验数）。

其求解过程如下表所示：首先，从表的西北角（左上角）开始，给该单元格的变量11x 尽可能大的数值。

因为11x 表示从产地A 1运往销地B 1的产品的数量，已知A 1产量是7,B 1的需求量是3,可以满足B1的全部需求，所以令3}3,7min{11==x。

其次，修改第1行的“产量”数据和第1列的“销量”数据：因为产地A1运往销地B13个单位，因此应从当前产量中减去3,将其改写为4(7-3=4)；销地B 1从产地A1运来了3个单位，因此应从当前的需求量中减去3，将其改写为0，即该地需求量已饱和。

第三,由于销地B1需求量已满足,不需再供应,因此,B1列的剩余变量21x和31x应取值0, 即这两个单元格不再赋值,在其右下角加注“［］”，表示该两格已被划去。

第二步：从第二个左上角12x开始。

首先，由于第1行的产量（供应量）还剩4 个单位，销地B2的需求量是6个单位，故应令4}6,4min{12==x。

其次，修改第1行的“产量”数据和第２列的“销量”数据：第1行产地A 1当前的产量是4, 再供应销地B2４个单位以后没有剩余了，故应修改为0；销地B2原需求量是６个单位，从A1调来4个单位后，尚需２个单位，故应修改为2。

第三，由于第1行产地A1的产量已供应完毕，第1行剩余的两个变量13x和14x应取值0，即这两个单元格不再斌值,对其右下角加注“［］”，表示该两格已被划去。

第三步：从第三个左上角22x开始。

首先，由于第２行的产量（供应量）是4 个单位，销地B2的当前需求量是２个单位，故应令2}2,4min{22==x。

其次，修改第2行的“产量(供应量)”数据和第２列的“销量（需求量）”数据：第2行产地A2的产量是4, 供应销地B22个单位以后还剩余2个单位，故应修改为２；销地B2当前需求量是２个单位，从A２调来２个单位后，需求量已满足，故应修改为０。

第三，由于销地B2需求量已满足,不需再供应,因此,B2列的剩余变量32x应取值0, 即这个单元格不再赋值,对其右下角加注“［］”，表示该单元格已被划去。

第四步：从第四个左上角23x开始。

首先，由于第２行的当前产量（供应量）是２个单位，销地B３的需求量是5个单位，故应令2}2,5min{23==x。

其次，修改第2行的“产量(供应量)”数据和第3列的“销量（需求量）”数据：第2行产地A2的当前产量是２, 再供应销地B３2个单位以后无剩余，故应修改为０；销地B３当前需求量是５个单位，从A２调来２个单位后，尚需3 个单位，故应修改为３。

第三，由于第2行产地A2的产量(供应量)已供应完毕，第２行剩余的－个变量24x 应取值0，即这个单元格不再赋值,对其右下角加注“［］”，表示该单元格已被划去。

第五步：从第五个左上角33x 开始。

首先，由于第3行的产量（供应量）是9个单位，销地B ３的当前需求量是3个单位，故应令3}3,9min{33==x 。

其次，修改第3行的“产量(供应量)”数据和第3列的“销量（需求量）”数据：第3行产地A 3的产量是9, 供应销地B ３3个单位以后剩余6个单位，故应修改为６；销地B ３当前需求量是３个单位，从A ３调来３个单位后，需求已饱和，故应修改为０。

第六步：从第六个左上角34x 开始。

首先，由于第３行产地A 3的产量（供应量）还剩６个单位，销地B ４的需求量是6个单位，故应令6}6,6min{34==x 。

其次，修改第3行的“产量(供应量)”数据和第４列的“销量（需求量）”数据：第3行产地A 3的当前产量是６, 再供应销地B ３６个单位以后无剩余，故应修改为０；销地B ４需求量是６个单位，从A ３调来６个单位后，需求已饱和，故应修改为０。

由于这时表中已没有未被划掉的元素了，故求解已经完成。

填入的数据为6个，等于行数加列数减１,即3+4-1=6。

该问题的一个基本可行解为：311=x ，412=x ，222=x ，223=x ，333=x ，634=x ，其余的元素0=ij x 。

最小元素法的所谓元素，是指单位运输价格。

最小元素法的基本思路是：运输价格最便宜的优先调运。

即从运输问题数据表（或单位运输价格表）中寻找最小数值，并以这个数值所对应的变量ij x 作为第一个基变量，在该变量格内的右下角填入允许取得的最大数。

然后一直按此方法继续下去，若某行（列）的产量（销量）已满足，则该行（列）的其他变量ij x 只能取0值［或说“把该行（列）的其他格划去］，直到取得一个基本可行解为止。

下面，我们仍以前例资料说明最小元素法的求解过程。

解：把变量格的左上角填入运输价格，右下角准备填写基变量的值，划去的格用中括号“［］”来标注（准备将来填写检验数）。

第一步：首先，从运价最小（C 21=1）的变量21x 开始分配运输量，并使21x 取尽可能大的数值。

因为21x 表示从产地A 2往销地B 1运送产品的数量，已知B 1的需求量是3个单位，而A 2的产量是4个单位，可以满足B 1的全部需求，所以令3)3,4min(21==x 。

其次，修改第2行的“产量(供应量)”数据和第１列的“销量（需求量）”数据：因为产地A 2的产量是4个单位，供应B 13个单位后尚剩余1个单位，故应将4修改为1；销地B 1的需求量是3个单位，已从产地A 2得到满足，不再需要供应，因此应将3修改为0。

第三，由于销地B 1的需求量已得到满足，第1列的其余两个变量11x 和31x 均应取0值，分别加注“［］”表示划去。

第二步：首先，给运价最小（C 23=2）的变量23x 分配运输量，并使23x 取尽可能大的数值。

因为23x 表示从产地A 2往销地B 3运送产品的数量，已知B 3的需求量是5个单位，而A 2的当前产量只有1个单位，所以令1)3,1min(23==x 。

其次，修改第2行的“产量(供应量)”数据和第3列的“销量（需求量）”数据：因为产地A 2的当前产量是１个单位，供应B 3后已无剩余，故应将１修改为０；销地B 3的需求量是5个单位，已从产地A 2得到1个单位，因此应将5修改为４。

第三，由于产地A 2的产量已分配完毕，第2行尚未分配的两个变量22x 和24x 均应取0值，分别加注“［］”表示划去。

第三步：首先，给运价最小（C 13=3）的变量13x 分配运输量，并使13x 取尽可能大的数值。

因为13x 表示从产地A 1往销地B 3运送产品的数量，已知B 3当前的需求量是4个单位，而A 1的产量是7个单位，所以令4)4,7min(13==x 。

其次，修改第1行的“产量(供应量)”数据和第3列的“销量（需求量）”数据：因为产地A 1的产量是7个单位，供应B 34个单位后剩余3，故应将7修改为3；销地B 3的当前需求量4个单位，已从产地A 1得到满足，因此应将4修改为0。

第三，由于销地B 3的需求量已得到满足，不再需要分配，所以第3列尚未分配的变量33x 应取0值，加注“［］”表示划去。

第四步：首先，给运价最小（C 32=4）的变量32x 分配运输量，并使32x 取尽可能大的数值。

因为32x 表示从产地A 3往销地B 2运送产品的数量，已知B 2的需求量是6个单位，A 3的产量是9个单位，所以令6)6,9min(32==x 。

其次，修改第3行的“产量(供应量)”数据和第2列的“销量（需求量）”数据：因为产地A 3的产量是9个单位，供应B 26个单位后剩余３个单位，故应将9修改为3；销地B 2的需求量是6个单位，从产地A 3得到6个单位后已满足，因此应将6修改为0。