弧长曲线公式

n
记作
∫ = f (x, y, z)ds
Γ
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
Γ上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . Γ 曲线形构件的质量 M = ∫ ρ(x, y, z)ds
Γ
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Mk ∆sk Mk−1
Γ
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α
− α
L α o Rx
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2dθ
θ sin2 θ 3 3 α 2 =R sin θ dθ = 2R − − α 4 2
∫
=R3(α−sinαcosα )
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0
α
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例3. 计算
• 对光滑曲线弧
f (x, y)ds = ∫ f (x,ψ(x)) 1+ψ′2(x) dx ∫L a
• 对光滑曲线弧
b
∫L f (x, y)ds
= ∫ f (r(θ)cosθ , r(θ)sinθ ) r2(θ) +r′2(θ) d θ α
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0) 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL: y = x2 (0 ≤ x ≤1)
=∫ x
= ∫ x 1+4x2 dx
0
1
y
0 1
B(1,1 )
y = x2 L
= 12 1 = (5 5−1) 12
1 2
(3)
∫Γds =l ( l 曲线弧 Γ 的长度)
(Γ由 1,Γ 组 ) Γ 2 成
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3. 计算 • 对光滑曲线弧
β
β),
f (x, y)ds = ∫ f [φ (t ),ψ (t )] φ′2(t ) +ψ′2(t ) dt ∫L α
推广: 推广 设空间曲线弧的参数方程为 则
β
∫Γ
Γ: x =φ(t), y =ψ(t), z =ω(t) (α ≤t ≤ β ) f (x, y, z)ds
β
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= ∫ f (ϕ(t) ,ψ(t),ω(t) ) ϕ′2(t) +ψ′2(t) +ω′2(t) dt α
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
∫L
f Байду номын сангаасx, y)ds = ∫ f [ϕ(t ),ψ(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) dt
α
β
证: 根据定义
= lim∑f (ξk ,ηk )∆sk
λ→ k= 0 1
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例5. 计算 被平面
其中Γ为球面 所截的圆周.
解: 由对称性可知
2
∫Γ x
2
ds = ∫ y ds = ∫ z ds
2 2 Γ Γ
1 2 2 2 ∴ ∫ x ds = ∫ (x + y + z )ds Γ 3Γ 1 2 1 2 π = ∫ a ds = a ⋅2 a 3 3Γ 2 3 = πa 3
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备用题
θ =π 4所围区域的边界, 求
提示: 分段积分 提示
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 r = a, θ = 0 及
y
y = x r =a
ds = (− 2sinθ)2
+( 2sinθ)
2 dθ = 2 θ d
∴
9 2π I = ∫ 2dθ =18 π 2 0
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力 引力. 引力 y µds 解: d F = k cosθ x (x, y) R2 µds θ dFy = k sinθ −R o Rx 2 R π 2k 2k π F = ∫ θ cosθ d = [ θ sinθ +cosθ ] θ x R R 0 0 π 2k 2k π Fy = ∫ θ sinθ d = [ −θ cosθ +sinθ ] θ R 0 R 0 故所求引力为 F = ( − 4k , 2kπ ) R R
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
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曲面域
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第十章
第一节 对弧长的曲线积分
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思考: 思考 例5中Γ 改为 计算
, 如何
X = x −1 X2 +Y2 + Z2 = a2 解: 令 Y = y +1, 则 Γ: X +Y + Z = 0 Z = z
= ∫ (X +1 2 ds )
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ≥ 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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3. 性质
(1 )
∫Γ[ f (x, y, z) ± g(x, y, z) ]ds = ∫ f (x, y, z)ds ± ∫ g(x, y, z)ds Γ Γ
2 2
2π
= 2 a ρ a +k π
2 2
2
(2) L的质量 m= ∫ 而
L
= 2 ρ a2 +k2 ρds π
2 2
= aρ a +k
∫0
2π
cost dt = 0
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=aρ a +k
2
2
∫0
∫0
2π
sint dt = 0
= kρ a +k
β
思考与练习
x y 周长为a , 求 1. 已知椭圆 L: + =1 4 3 (2xy +3x2 +4y2)ds ∫
L
2 2
y
3
提示: 提示 利用对称性
∫L2xyds =0
−2 o
2x
x2 y2 原式 = 12∫ ( + )ds =12∫ ds =12a L 4 L 3
分析: 分析
∫L
2xyds = ∫ 2xyds + ∫ 2xyds L
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例 1.引例: 曲线形构件的质量 引例 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk (ξk ,ηk ,ζk ) ∆s 为计算此构件的质量, 采用 k Mk−1 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
= lim∑f [ϕ(τk ),ψ(τk )]
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λ→ k= 0 1
因此
说明: 说明
(1 Q∆sk > 0, ∴∆ k > 0,因此积分限必须满足 α< β ! ) t
(2) 注意到
ds = (dx) +(d y)
2
2
y
= ϕ (t ) +ψ (t ) dt ′2 ′2
n
设各分点对应参数为 点 (ξk ,ηk )对应参数为
tk
∆sk = ∫
则
tk−1
′2(t ) +ψ′2(t ) dt ϕ
′ ′ t = ϕ′2(τk ) +ψ′2(τk ) ∆ k ,
= lim∑ [ϕ(τk ),ψ(τk )] f
λ→ k= 0 1
n
n
注 ϕ′2(t) +ψ′2(t )连 意 续
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例4. 计算曲线积分 线 解:
其中Γ为螺旋 的一段弧 段弧. 段弧
∫Γ(x
2
+ y + z ) ds
2 2
= a
2
2 2π 2 +k [a +k2t 2]dt 0
∫
2 π 2 2 2 = a +k (3a +4 2k2) π 3
其中L为双纽线
(x2 + y2) 2 = a2(x2 − y2) (a > 0)
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
L : r =a cos 2 (0 ≤θ ≤π ) θ 1 4 利用对称性 , 得
= 4∫
π
0
o
x
π
0
4 r cosθ
′2(θ ) dθ r (θ ) +r
2
= 4∫ 4 a2 cosθ dθ
L上
下
= ∫ 2x L
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+ ∫ 2x(− L )
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2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 Iz ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) Iz = (x + y )ρds = ∫ a2ρ a2 +k2 dt ∫L 0
Γ
+2∫ Xds
Γ
2 3 = π a +2⋅ X ⋅ 2 a π 3
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圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例6. 计算
x2 + y2 其中Γ为球面
平 x 交 . +z2 = 9 与 面 +z =1的 线 2
1(x −1)2 + 1 y2 =1 解: Γ: 2 2 4 , 化为参数方程 x + z =1 x = 2cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) Γ: y = 2sinθ z = 1 − 2cosθ 2 则
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长 的曲线积分为
lim ∫L f (x, y)ds =λ→0∑f (ξk ,ηk )∆sk k= 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 ∫ f (x, y)ds. L 思考: 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 ds表 什 ? 示 么 ∫
2
2
2 π
π t dt = 2 kρ a +k
2 2
2
故重心坐标为 (0, 0, kπ )
作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5
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作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) , 5
可得
M=
∑
k= 1
n
A
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2.定义 . 设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线, 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
λ→ k= 0 1
z)是
(ξk ,ηk ,ζk )
义在 Γ上的一个有界函数, 若通过对 Γ 的任意分割 和对
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζk )∆sk
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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o
ds dy dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
= ∫ f (x,ψ(x)) 1+ψ′2(x) dx a
如果方程为极坐标形式: L: r =r( ) (α ≤θ ≤ β ),则 θ
= ∫ f (r(θ)cosθ , r(θ)sinθ ) r2(θ) +r′2(θ) d θ α
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3 1 1 2 2 (1+4x )
0
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对 于它的对称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ (−α ≤θ ≤α ) L: =R y = Rsinθ
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内容小结
1. 定义
∫L f (x, y)ds
∫Γ f (x, y, z)ds
2. 性质
(1 )
∫Γ[ α f (x, y, z) + β g(x, y, z) ] ds 常 ) + β ∫ g(x, y, z)ds (α, β为 数 L (2) ∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x, y, z)ds+ ∫ f (x, y, z)ds Γ Γ Γ
（k 为常数)
(3)
∫Γ
f (x, y, z)ds =∫ f (x, y, z)ds + ∫ f (x, y, z)ds
Γ 1 Γ 2
(Γ由
组成)
( l 为曲线弧 Γ 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 基本思路 求曲线积分 定理: 定理