中考数学专题三角形综合测试题含答案
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE△AB，AF△BC，（1）求证：CF=EF；（2）求△EFB的度数.2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=8，BC=10，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒．（1）当t=3时，BQ=，当t=7时，BQ=．（2）如图，当点P运动到AB的中点时，猜想PQ与AB的位置关系，并证明你的结论．（3）在点P、Q运动过程中，若△BPQ是等边三角形时，求t的值．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）用含t的代数式表示PC的长；（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以△C为顶角的等腰三角形时，求t的值；（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．4．如图，在ΔABC中，∠C=90°，将ΔACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B=28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC=6，AB=10时，求线段DE的长．5．如图，△ABC由两个全等的含45°的直角板拼成，其中，∠ACB=90°，AC=BC，AB= 8，点D是AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．（1）当点E在点D的左侧运动时，（图）．求证：△ACE≌△CBG；（2）当点E在点D的右侧运动时（图）（1）中的结论是否成立？请说明理由：（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．6．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD= AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；（2）探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由．7．如图，△ABC 中，AB=AC，△BAC ＜60°，将线段AB 绕点A逆时针旋转60°得到点D，点 E 与点D 关于直线BC 对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE 的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．8．如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．（1）如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；（2）如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．9．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，△B+△D=180°，CB=CD，△BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明.10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，点C在x轴的正半轴上，连接BC，tan∠BAO=3tan∠BCO．（1）求点A，C的坐标；（2）如图1，点P在第一象限内，横坐标为t．PD⊥y轴于点D，PA⊥BC于点E，AP= BC，求m与t之间的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）（3）如图2，在（2）的条件下，设BC交DP于点F，当BF=PE时，求m的值．11．综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠BAC=30°，求BC的长．（1）探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；（2）探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．12．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，△ADB＝△EFC＝90°，△B＝45°，AB＝6．（1）将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为．（2）操作探究若将△EFC绕点C顺时针旋转45°，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2．①FG：GA＝▲ ；②PF与DC的位置关系为▲ ；③求PQ的长；（3）开放拓展若△EFC绕点C旋转一周，当AC△CF时，△AEC为．13．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB 上，连接BD，过点D作DF△AC于点F．（1）如图1，当点F与点A重合时，求△ABC的度数；（2）若△DAF＝△DBA，①如图2，当点F在线段CA上时，求△ABC的度数；②当点F在线段CA的延长线上，且BC＝7时，请直接写出△ABD的面积．14．在△ABC中，AB=AC，△BAC=90，BD平分△ABC交AC于点D.（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF，求证：BD垂直平分AF.（2）如图2，CE△BD，垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.（3）如图3，点F为BC上一点，△EFC= 12△ABC，CE△EF，垂足为E，EF与AC交于点M.直接写出线段CE与线段FM的数量关系.15．如图，在菱形ABCD中，△ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE△BC，△EAF＝△ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD=25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当△EAF＝12△BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．16．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD=60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵CE△AB，∴△ACE是等腰直角三角形，△BEC=90°，∵AB=AC，AF△BC，∴BF=CF，即F是BC的中点，∴Rt△BCE中，EF= 12BC=CF；（2）解：由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，∴△BAC=△ACE=45°，又∵AB=AC，∴△ABC=△ACB= 12(180°−45°)=67.5°，∴△BCE=△ACB-△ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF，∴△CEF=△BCE=22.5°，∵△EFB是△CEF的外角，∴△EFB=△CEF+△BCE=22.5°+22.5°=45°. 2．【答案】（1）6；2（2）解：PQ⊥AB，理由如下：在BQ上截取BE=BP，∵点P运动到AB的中点，∴AP=PB=4，∴t=41=4s，∴BQ=4×2=8，∵PB=BE=4，∠B=60°，∴△PEB是等边三角形，∴PE=BE=4，∠EPB=∠PEB=60°，∴QE=PE=4，∴∠EPQ=∠EQP，∵∠EPQ+∠EQP=∠PEB=60°，∴∠QPE=30°，∴∠QPE+∠EPB=90°=∠QPB，∴PQ⊥AB；（3）解：当0≤t≤5，BQ=2t，当5<t≤152，BQ=10−4(t−5)=30−4t，∵△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ，∴8−t=2t或8−t=30−4t，∴t=83或t=223．3．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10−2t；（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，则PC=CQ，PC=10−2t，CQ=t，即10−2t=t，解得：t=10 3，∴当t=103s时，△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形；（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，此时△BPD≅△CQP，根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6，PC=10−2t，∴2t=at，6=10−2t，解得：a =2，t =2， ②当BP ≠CQ 时，∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，∴BP =CP =12BC =5，BD =CQ =6，∴t =52s ，∴a =CQ t =125cm/s ， 综上可得：当Q 的速度为2cm/s 或125cm/s 时，△BPD 与△CQP 在某一时刻全等．4．【答案】（1）∵∠C =90° ， ∠B =28°∴∠CAB =90−∠B =90°−28°=62°由折叠的性质可知 ∠CAE =∠EAB∴∠CAE =12∠CAB =31° （2）∵∠C =90° ， AC =6 ， AB =10 ∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8由折叠的性质可知 AC =AD,CE =DE,∠EDA =∠C =90°∴∠EDB =180°−∠EDA =180°−90°=90°设 DE =x ，则 BE =8−x,DB =10−6=4 在 Rt △EDB 中, ED 2+DB 2=EB 2 ∴x 2+42=(8−x)2 解得 x =3 ∴DE =35．【答案】（1）证明：在 Rt △ABC 中，∵AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45° ．∵点 D 是 AB 的中点，∴∠BCG =12∠ACB =45° ，∴∠A =∠BCG ．∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90° ． ∵∠ACE +∠BCF =90° ， ∴∠CBG =∠ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （2）解：结论仍然成立，即△ACE△△CBG ． 理由如下：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，∴△A=△ABC=45°．∵点D 是AB 的中点，∴△BCG= 12 △ACB=45°，∴△A=△BCG ．∵BF△CE ，∴△CBG+△BCF=90°． ∵△ACE+△BCF=90°， ∴△CBG=△ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （3）解：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，点D 是AB 的中点， ∴CD△AB ，CD=AD=BD= 12AB=4，在Rt△BDG 中， DG =√BG 2−BD 2=√52−42=3 ， 点E 在运动的过程中，分两种情况讨论： ①当点E 在点D 的左侧运动时，CG=CD-DG=1， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=1；②当点E 在点D 的右侧运动时，CG=CD+DG=7， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=7． 故答案为：1或7．6．【答案】（1）NM ＝NP ；60°（2）解：△MNP 是等边三角形．理由如下：由旋转可得，△BAD ＝△CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD△△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，△ABD ＝△ACE ，∵点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．∴MN ＝12BD ，PN ＝12CE ，MN△BD ，PN△CE ，∴MN ＝PN ，△ENM ＝△EBD ，△BPN ＝△BCE，∴△ENP＝△NBP＋△NPB＝△NBP＋△ECB，∵△EBD＝△ABD＋△ABE＝△ACE＋△ABE，∴△MNP＝△MNE＋△ENP＝△ACE＋△ABE＋△EBC＋△EBC＋△ECB＝180°−△BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形．7．【答案】（1）解：如图即为所求，（2）解：△CDE是等边三角形.如图，连接BD、CE，由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，∴CD=CE,BD=BE由旋转可知AB=AD,∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=AD,∠BAD=∠ABD=60°∴∠CAD=60°−∠BAC∵AB=AC∴∠ABC=180°−∠BAC2=90°−∠BAC2,BE=BD=AB=AC∴∠FBD=∠ABC−∠ABD=90°−∠BAC2−60°=30°−∠BAC2∴∠EBD=2∠FBD=60°−∠BAC∴∠CAD=∠FBD在△ACD和△BED中，{AD=BD ∠CAD=∠EBD AC=BE∴△ACD≅△BED(SAS)∴CD=ED∴CD=ED=CE∴△CDE是等边三角形；（3）解：存在，如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABC′，延长AC′交直线CE于点P，连接BP，由（2）得△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°∴∠DCF=∠ECF=30°∴∠BCD=150°由旋转可得CD=C′A,∠C′BC=60°,∠BC′A=∠BCD=150°，∴∠BC′P=30°∵PA−PB=CD,PA−PC′=C′A=CD∴PB=PC′∴∠C′BP=∠BC′P=30°∴∠PBC=30°∵∠BCP=∠ECF=30°∴∠PBC=∠BCP∴BP=CP所以直线CE上存在点P，使得PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置. 8．【答案】（1）证明：证法一：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∴∠ADM=∠BEM=90°（或∠DAM=∠EBM）∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴AD=BE∴四边形ADBE是平行四边形证法二：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴∠ADM=∠BEM=90°∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴DM=EM∴四边形ADBE是平行四边形（2）证明：延长DO交BE于F，∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∠BEM=90°∴∠DAO=∠EBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°∵点O在DE的垂直平分线上，∴DO=EO∴∠ODE=∠DEO∴∠OFE=∠FEO∴FO=EO∴DO=FO∵∠AOD=∠BOF∴△ADO≌△BFO∴AO=BO．9．【答案】（1）2＜AD＜6（2）解：如图2，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴DE是MF的垂直平分线∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）解：BE+DF=EF；证明如下：如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中，{BN=DF ∠NBC=∠D CB=CD∴△NBC≅△FDC(SAS)∴CN=CF，∠NCB=∠FCD ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠BCE+∠NCB=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中，{CN=CF ∠ECN=∠ECF CE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∵BE+BN=EN∴BE+DF=EF.10．【答案】（1）解：∵直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，当x=0时，y=m,∴B（0，m）当y=0时，mx+m=0，解得x=-1∴A（-1,0）∴OA=1,OB=m∵tan∠BAO=OBOA=m1=m,tan∠BCO=OBOC=mOC又tan∠BAO=3tan∠BCO∴3mOC=m∴OC=3∴C（3，0）（2）解：过点P作PH△x轴于点H，则△PHA=90°=△BOC∴△PAH+△APH=90°∵AP△BC∴△AEC=90°∴△PAH+△BCO=90°∴△APH =△BCO∵AP=BC∴△APH△△BCO，∴PH=OC=3,AH=BO，∴t-(-1)=m，则m=t+1；（3）解：过点E作EM△x轴于点M，延长ME交BD于N，则△NMO=90°∵△APH△△BCO，PH=3=OC，BD=m-3∴△DBF =△PAH,∵PD△y轴∴△PDO =△PHO=△DOH =△NMO=90°∴△NPE =△PAH=△DBF∵BF=PE∴△BDF△△PNE，∴BD=NP= m-3=MH，∵OH=t∴OM=OH-MH=OH-MH=t-（m-3）=t-m+3又OC=3∴CM=OC-OM=3-（t-m+3）=m-t∵m=t+1∴CM=m-t=1∴AM=AH-MH=（1+t）- （m-3）=1+t-m+3=3∵△CEM =△EAM∴1EM=EM3故EM= √3∴tan△EAM= tan△CBO∴EM AM=√33=3m，∴m=3 √3．11．【答案】（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE∴△ABC≌△ADE，∠CAE=∠BAD=90°，△H=90°，∴AB=AD=6，AC=AE=6，∠DAE=∠BAC，DE=BC ∵AB=AC=6，∠BAC=30°∴△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠CAE−∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠BAC2=75°，∵AE=AB=6∴△AEB是等边三角形∴BE=AB=6，∠ABE=60°∴∠EBH=180°−∠ABE−∠ABC=45°∴△EBH是等腰直角三角形∴HE=HB．∵AD=AB，∠DAB=90°．∴△ABD是等腰直角三角形，∠BDA=45°．在Rt△EBH中，由勾股定理，得HE2+HB2=BE2．∴HE2+HB2=62=36．∴HE2=HB2=18∴HE=HB=√18=3√2．在△BDH中，∠H=90°，∠BDH=∠EDA−∠BDA=∠ABC−∠BDA=30°．在Rt△BDH中，BH=12BD=3√2．∴BD=6√2．在Rt△BDH中，tan∠BDH=BH DH，∴3√2 DH=√3 3，∴DH=3√6．∴DE=DH−EH=3√6−3√2．∵DE=BC，∴BC的长是3√6−3√2．（2）解：四边形ADFC是菱形．理由如下：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB=AC，∠BAC=30°，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=∠CAE=120°．∴AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=30°．∴AC=AE=AB=AD．∴△ACE是等腰三角形∴∠ACE=∠AEC=180°−∠CAE2=30°．同理可得：∠ABD=∠ADB=30°．∵∠ACB=180°−∠BAC2=75°．∴∠BCG=∠ACB−∠ACE=45°，∠FBC=∠ABC+∠ABF=105°．∴在△BFC中，∠BFG=180°−∠FBC−∠BCG=30°．∴∠BFG=∠ACF，∠BFG=∠ADB．∴DB∥AC，FC∥AD．∴四边形ADFC是平行四边形．∵AD=AC，∴四边形ADFC是菱形．（3）解：如图5，作AH△BD于点H，则∠AHB=90°∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=120°∴AB=AD=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=12BD∴∠ABD=∠ADB=180°−∠BAD2=30°．在Rt△ABH中，△AHB=90°，△ABH=30°，AB=6∵BHAB=cos∠ABH=cos30°∴BH=3√3∴BD=2 BH=6√3由（2）知四边形ADFC是菱形∴DF=AD=6∴BF=BD-DF=6√3－6当△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，△BGF≌△BG″F″，∴BF=BF″此时AF有最小值，此时AF=AF″=AB-BF″=AB-BF=6-（6√3－6）=12－6√3当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，△BGF≌△BG′F′，∴BF=BF′此时AF有最大值，此时AF=AB+BF′=AB+BF=6+6√3－6=6√3故AF的最大值是6√3，AF的最小值是12−6√3 12．【答案】（1）等腰直角三角形（2）①∵AB=6，△B=45°，△ADB=90°，∴√AD2+BD2=AB，∴AD=BD= 3√2，∴EF= 3√2，∵△BFC=△BAC=90°，∴△GFE=△BAG，∵△AGP=△EGF，∴△ABQ=△GBF，∴△EGF△△BGA，∴FGAG=EFAB，∴FGAG=EFAB=3√26=√22=1√2故答案为：1:√2；②如图，过P作PM//BC交CE与点M，∴EMCM=EPBP=11，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF△CD，故答案为：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP为△BCE的中位线，∴PD//CE，∵CE△BC，∴PD△BC，又∵AD△BC，∴P在AD上，△APF=△ADC=90°，∵Q 为AF 的中点， ∴PQ= 12AF ，又∵△B=45°，△ADB=90°，∴EF =√22AB =3√2 ，∴FC=EF= 3√2 ， ∴AF=AC-CF=6- 3√2 ，∴PQ= 12AF = 3−3√22；（3）22.5°或67.5°13．【答案】（1）解：由旋转的性质可得△ABC△△ADE∴△BAC=△DAE∵DF△AC ，点F 与点A 重合， ∴△CAD=90° ∴△BAC=△DAE=45° ∵△ACB=90°∴△ABC=90°-△CAB=45°；（2）①∵△ABC△△ADE ，则△BAC=△DAE=12△DAF∵△DAF=△DBA ， ∴△DAE=12△DAF=12△DBA∵△ABC△△ADE ∴AB=AD∴△DBA=△BDA ，设△BAC=△BAD-x ，则△DBA=△BDA-2x ∵△BAD+△ABD+△ADB=180° ∴x+2x+2x=180°解得：x=36° ∴△BAC=36°∴△ABC=90°-△BAC=54°； ②493√3 14．【答案】（1）证明：∵BD 平分△ABC ，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE△△FBE（SAS），∴AE=FE，△AEB=△FEB= 12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF.（2）解：BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE△BD，△ABE=△FBE，∴GE=2CE=2GE，∵△CED=90°=△BAD，△ADB=△EDC，∴△ABD=△GCA，又AB=AC，△BAD=△CAG，∴△BAD△△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）解：FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH= 12FM，∴△NMH=△NBH，∵△EFC= 12△ABC=22.5°，∴△MNC=2△NFH=2× 12△ABC=△ABC，∵AB=AC，△BAC=90，∴△ABC=△ACB=△MNC=45°，∵△EMC=△MFC+△MCF=22.5°+45°=67.5°，∴△ECM=90°-△EMC=22.5°，∴△NFH=△MCE，又∵△FHN=△E=90°，∴△FNH△△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE.15．【答案】（1）解：①∵菱形ABCD，∴AB=AD，△ABC=△ADC，AD△BC，∵AE△BC，∴AE△AD，∴△EAF+△DAF=△BAE+△ABE=90°，∵△EAF＝△ABC，∴△DAF=△BAE，在△ABE和△ADF中{∠ABC=∠ADC AB=AD ∠DAF=∠BAE∴△ABE△△ADF（ASA）∴AE=AF.②连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD，AC△BD，∵△ABE△△ADF，∴BE=CF ， ∴CE=CF ∵AE=AF ∴AC△EF ∴BD△FE ， ∴△CEF△△CBD ， ∴EC BC =EF BD =25设EC=2a ，则AB=BC=5x ，BE=3a ， ∴AE =√25a 2−9a 2=4a ， ∵AE AB =AF BC ，△EAF=△ABC ， ∴△AEF△△BAC ，S △AEF S △ABC =(AEAB)2=(4a 5a)2=1625S △AEFS 菱形ABCD=S △AEF 2S △ABC=12×1625=825.（2）解：∵菱形ABCD ， ∴△BAC=12△BAD ，∵△EAF=12△BAD ，∴△BAC=△EAF ， ∴△BAE=△CAM ， ∵AB△CD ， ∴△BAE=△ANC ，同理可知：△AMC=△NAC ， ∴△MAC△△ANC ， ∴AC CN =AM NA； 当△AMN 时等腰三角形， 当AM=AN 时，在△ANC和△MAC中{∠ANC=∠CAM AM=AN ∠AMC=∠NAC∴△ANC△△MAC（ASA）∴CN=AC=2，∵AB△CN，∴△CEN△△BEA，∴CEBE=CNAB=24=12∵AB=BC=4∴CE4−CE=12解之：CE=43；当NA=MN时△NMA=△NAM，∵AB=BC，∴△BAC=△BCA，∵△BAC=△EAF，∴△NMA=△NAM=△BAC=△BCA，∴△ANM△△ABC，∴AMAN=ACAB=12∴AC CN =AM NA =12 ∴CN=2AC=4=AB 解之：AC=2∵△CEN△△BEA （AAS ） ∴CE=BE=2； 当MA=MN 时，易证△MNA=△MAN=△BAC=△BCA ， ∴△AMN△△ABC ∴AM AN =AB AC =42=2 ∴CN=12AC=1∵△CEN△△BEA ， ∴CE BE =CN AB =14 ∴CE 4−CE =14 解之：CE =45;∴当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形.16．【答案】（1）OC =OD（2）解：数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O 作直线 EF//CD ，交BD 于点F ，延长AC 交EF 于点E ．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD．证明（方法二）：延长CO交BD于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠A=∠B，∵点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(ASA)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．（3）解：①数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD.10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠ACO=∠E，∴点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(AAS)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．②AC+BD=√3OC。
2023年中考数学----三角形的综合知识回顾与专项练习题(含答案解析)
知识回顾2023年中考数学----三角形的综合知识回顾与专项练习题（含答案解析）1. 角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
2. 角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
3. 角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O 为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M 、N 。
如图①。
②分别以点M 与点N 为圆心，大于MN 长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P 。
如图②。
③连接OP ，OP 即为角的平分线。
4. 垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
5. 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
6. 垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M 、N 。
如图①②连接MN ，过MN 的直线即为线段的垂直平分线。
如图②7.中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
8. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）9. 等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
10. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。
②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。
④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。
11. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。
③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。
中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)
中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( )第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是．(只填一个即可) 7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．11．(2023·大连)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.第11题图12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积．参考答案1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C)A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( D)第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C)第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B)第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( C)第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是(示例)3．(只填一个即可)7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是(2，5)．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有①②④．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线由作图知，AE ＝AF. 在△ADE 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF(SAS)；(2)∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD ＝12∠BAC ＝40°由作图知，AE ＝AD. ∴∠AED ＝∠ADE∴∠ADE ＝12×(180°－40°)＝70°∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC.∴∠BDE ＝90°－∠ADE ＝20°.11．(2023·大连)如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于点F ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF ＋∠AED＝180°.求证：AB ＝AD.第11题图证明：∵∠ACB ＋∠ACF ＝∠ACF ＋∠AED ＝180°在△ABC 和△ADE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS) ∴AB ＝AD.12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE ＝4，求△AED 的面积．解：(1)证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠CED ∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CED ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ECD(AAS) ∴AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ∴△AED 为等边三角形 ∴AE ＝AD ＝ED ＝4 过A 点作AF ⊥ED 于点F.第12题图∴EF ＝12ED ＝2∴AF ＝AE 2－EF 2＝42－22＝2 3 ∴S △AED ＝12ED ·AF ＝12×4×23＝4 3.。
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。
中考数学综合题专练：直角三角形(含答案)
中考综合题（二季-直角三角形）（共七季）1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：m mx mx y 322--=（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．(1)解：令y =0，则 0322=--m mx mx ∵m ＜0，∴0322=--x x 解得：11-=x ， 32=x∴A （1-，0）、B （3，0） ……………………………2分（2）存在． ∵设抛物线C 1的表达式为)3(1-+=x x a y ）（（0≠a ），把C （0，23－）代入可得21=a ∴Ｃ1：23212--=x x y …………………………………………………………4分 设P （n ，23212--n n ）∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =162723432+--）（n (6)分 ∵43-=a <0, ∴当23=n 时,S△PBC最大值为1627． ……………………………………7分 （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，m 3-），M （1，m 4-） BD 2=992+m ， BM 2=4162+m ，DM 2=12+m ， ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况． 当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2 ，4162+m ＋12+m =992+m第28题图(图10)(备用图)解得：221-=m ,222=m (舍去) ………………………………………………………9分 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，992+m ＋12+m =4162+m 解得：11-=m ，12=m (舍去) ……………………………………………………11分 综上1-=m ，22-=m 时，△BDM 为直角三角形． …………………………………12分2.如图10，在平面直角坐标系xoy 中，一动直线l 从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，直线l 与直线x y =相交于点P ,以OP 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .设直线l 的运动时间为t 秒．（1）填空：当1=t 时，⊙P 的半径为 ，=OA ，=OB ； （2）若点C 是坐标平面内一点，且以点O 、P 、C 、B 为顶点的四边形为平行四边形.①请你直接写出所有符合条件的点C 的坐标；（用含t 的代数式表示）②当点C 在直线x y =上方．．时,过A 、B 、C 三点的⊙Q 与y 轴的另一个交点为点D ，连接DC 、DA ，试判断DAC ∆的形状，并说明理由.解:(1)2，2=OA ，2=OB ； ………………3分 (2)符合条件的点C 有3个，如图10-1，分别为1(,3)C t t 、),(2t t C -、),(3t t C -；…………………………………7分 (3) DAC ∆是等腰直角三角形.理由如下:当点C 在第一象限时,如图10-2,连接DA 、DC 、PA 、AC . 由(2)可知,点C 的坐标为(,3)t t ,由点P 坐标为),(t t ,点A 坐 标为)0,2(t ,点B 坐标为)2,0(t ，可知t OB OA 2==，OAB ∆ 是等腰直角三角形，又PB PO =，进而可得OPB ∆也是等腰直角三角形，则︒=∠=∠45PBO POB . ︒=∠90AOB ，∴AB 为⊙P 的直径， ∴A 、P 、B 三点共线， 又 OP BC //，∴︒=∠=∠45POB CBE ,∴︒=∠-∠-︒=∠90180PBO CBE ABC ,∴AC 为⊙Q 的直径,∴DC DA ⊥ …………………………9分 ∴︒=∠+∠90ADO CDE过点C 作y CE ⊥轴于点E ，则有=∠+∠90CDE DCE ∴DCE ADO ∠=∠ ∴DCE Rt ∆∽ADO Rt ∆AO DE OD EC =∴即t OD t OD t 23-=解得t OD =或2OD t = 依题意，点D 与点B 不重合，∴舍去2OD t =，只取t OD = 1=∴ODEC 即相似比为1，此时两个三角形全等， 则AD DC =∴DAC ∆是等腰直角三角形.当点C 在第二象限时,如图10-3,同上可证DAC ∆也是等腰直角三角形. …………………12分综上所述, 当点C 在直线x y =上方时, DAC ∆必等腰直角三角形. ………………13分3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是梯形，其中A （6，0），B （3，3），C （1，3），动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点A 运动，动点Q 也同时从点B 沿B → C → O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点P 到达A 点时，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间为t （秒）. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当点Q 在CO 边上运动时，求△OPQ 的面积与时间t 的函数关系式；（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为 2 秒时，△PAD的周长最小？当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．，，动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4），k= （k＞0）；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．y=x+4（时，x，﹣×，即点（，﹣时，抛物线BC=2，则+4+t （6．如图1，已知二次函数2y ax bx c =++（其中0,0,0a b c <>> ）的图象与y 轴的交于点C ，其顶点为A ；直线∥CD x 轴、且与抛物线的对称轴AE 交于点B ，交抛物线于另一点D ．(1)试用含b 的代数式表示ABCD的值；(2)如图2，连接AC 与AD ，我们把ACD ∆称为抛物线的伴随三角形． ①当ACD ∆为直角三角形时，求出此时b 值；②若ACD ∆的面积记为S ，当抛物线的对称轴为直线2x =时，请写出伴随三角形面积S 与b 的函数关系式．解：(1)解法一：2y ax bx c =++ 的顶点纵坐标为244ac b a-，又直线∥CD x 轴与抛物线的对称轴AE 交第23题图图1图2于点B ，且0,0a c <>，22444ac b b AB c a a-∴=-=-； ……………………………………………1分在2y ax bx c =++中，设y c =，可得：2c ax bx c =++，解得120,b x x a ==-，0,0a b <> ，0b bCD a a∴=--=-，…………2分2()()44AB b b bCD a a ∴=-÷-=； ………………………………………………3分解法二：2y ax bx c =++ 的顶点纵坐标为244ac b a-，又直线∥CD x 轴与抛物线的对称轴AE 交于点B ，且0,0a c <>，22444ac b b AB c a a-∴=-=-； ………………………………………………1分又2y ax bx c =++ 的对称轴为2bx a=-，且0,0a b <>， 22b bCD a a∴=-⨯=-， ………………………………………………………2分2()()44AB b b bCD a a ∴=-÷-=； ……………………………………………3分 （2） 直线AE 是抛物线的对称轴，直线∥CD x 轴，∴点C 与点D 关于直线AE 对称，AC AD ∴=，ACD ∴∆是等腰三角形，又ACD ∆ 是直角三角形，ACD ∴∆是等腰直角三角形， 12AB CD =∴，又由（1）可知4AB b CD =，142b ∴=，…………………………5分∴当2b =时，ACD ∆是直角三角形；………………………………………6分（3）由（1）2,4b b AB CD a a =-=-，∴伴随ACD ∆的面积12S AB CD =⨯⨯，2321()()248b b b S a a a=⨯-⨯-=∴， (8)分又抛物线的对称轴为直线2x =，2,2b a -=∴4ba =-∴，…………………9分33222(0).8()42b b S b b b b ===>⨯-∴ …………………………………………10分7.如图，抛物线y ＝－ x 2+x －4与x 轴相交于点Ａ、Ｂ，与y 轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点Ｍ。
2023年中考数学专题测试卷：三角形相关综合附答案解析
第1页共7页2023年中考数学专题测试卷：三角形相关综合
一、选择题
1.如图，直线a ∥b ，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（
）A ．85°B ．60°C ．50°D ．35°
2.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）
A.6
B.7
C.8
D.9
3．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，则BB ′（）
A ．小于1m
B ．大于1m
C ．等于1m
D ．小于或等于1m
4．如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，︒=∠50A ，则BDC ∠=（）
A.︒50
B.︒100
C.︒120
D.︒
1305.如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）
A ．BC=EC ，∠B=∠E
B ．BC=E
C ，AC=DC
C ．BC=DC ，∠A=∠
D D ．∠B=∠
E ，∠A=∠
D。
中考数学专项练习三角形(含解析)
中考数学专项练习三角形（含解析）一、单选题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△AB C绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，现在点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结D E，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（）A.7B.8C.9D.104.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A.B.2C.3D.5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，D F处加三根木条，使其不变形，这种做法的依照是（）A.长方形的四个角差不多上直角B.长方形的对称性C.三角形的稳固性D.两点之间线段最短6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将()A.变大B.变小 C.不变 D.变大变小要看点C 向左依旧向右移动7.如图，、分别是、的中点，则（）2B.1∶3C.1∶4D.2∶38.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.49.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为A.9B.12C.15D.1810.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）个B.6个C.8个D.10个二、填空题11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△A PB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________．12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________13.已知是关于x的方程的一个根，同时等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是那个方程的两个根，则△ABC的周长为_____ ___．14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有_____ ___①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么那个直角三角形斜边上的高为________cm．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________三、运算题19.依照问题进行运算：（1）运算：×﹣4××（1﹣）0；（2）已知三角形两边长为3，5，要使那个三角形是直角三角形，求出第三边的长．20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．四、解答题22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东7 5°方向上，在海岛上的观看所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC ⊥EG．五、综合题24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：（1）画出△ABC并求出它的面积；（2）求出最长边上高．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判定直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，专门角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=3 0°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD= AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD= AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，∴S阴影= DF×CF= ×= ．故答案为：C．【分析】先依照已知条件求出AC的长及∠B的度数，再依照图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判定出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判定出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。
2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合(含答案)
2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的△O交BC于点E，过点C作CG△AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP△AB交AB 于点P，△EAD＝△DEB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）求证：CE＝EP；（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．2．已知：AB是△O的直径，BD是△O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE△AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为△O的切线．3．如图，AB是△O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB.E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交△O于点H，连接BH.（1）求证：BD是△O的切线；（2）△O 的直径为2，求BH 的长.4．如图，在 O 中，半径 OA ⊥ 弦 BC 于点 H ，点 D 在优弧 BC 上.（1）若 50AOB ∠=︒ ，求 ADC ∠ 的度数；（2）8BC = ， 2AH = ，求 O 的半径.5．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°.（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求 BC 的长.6．如图，在△ABC 中，△C = 90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD ，点E 在BC 上， B E=DE ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若BC =6，求线段DE 的长；（3）若△B =30°，AB =8，求阴影部分的面积（结果保留 π ）．7．如图在Rt△ABC 中，△C=90°，BD 平分△ABC ，过D 作DE△BD 交AB 于点E ，经过B ，D ，E 三点作△O ．（1）求证：AC与△O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求△O的半径．8．如图，△I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）若△B＝50°，△C＝70°，求△DFE的度数．（2）若△DFE＝50°，求△A的度数．（3）连接DE，直接判断△DFE的形状为．9．如图，△O是△ABC的外接圆，BC为△O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交△O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为△O的切线．10．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB△CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：△ACO＝△BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．11．如图，直线PA 与O 相切于点A ，弦AB OP ⊥于点C ，OP 与O 相交于点D ．30APO ∠=︒，4OP =．（1）求弦AB 的长；（2）求阴影部分的周长．12．如图，AB 是△O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交于点E ，连接AC 、AD ，AC ＝AD ．（1）求证：AB△CD ．（2）若AB ＝12，BE ＝2，求CD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长.14．如图，在半径为5的扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD△BC ，OE△AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=6时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．15．已知AB 是△O 的直径，BD 为△O 的切线，切点为B ．过△O 上的点C 作CD AB ，交BD 点D ．连接AC ，BC ．（1）如图①，若DC 为△O 的切线，切点为C ．求△BCD 和△DBC 的大小； （2）如图②，当CD 与△O 交于点E 时，连接BE ．若△EBD ＝30°，求△BCD 和△DBC 的大小．16．如图，AB 是△O 的直径，AC 与△O 交于点C ，△BAC 的平分线交△O 于点D ，DE△AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．17．如图,在 Rt ABC ∆ 中, 90C ∠= , 在 AC ，上取一点 D ,以 AD 为直径作 O ,与 AB 相交于点 E ,作线段 BE 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N ,连接 EN .（1）求证: EN 是 O 的切线;（2）若 3,4AC BC == ， O 的半径为 1 .求线段 EN 与线段 AE 的长.18．如图， ,,A B C 是 O 上的三个点， AB AC = ，点D 在 O 上运动（不与点 ,,A B C 重合），连接 DA ， DB ， DC ．（1）如图1，当点D 在 BC 上时，求证： ADB ADC ∠=∠ ；（2）如图2，当点D 在 AB 上时，求证： 180ADB ADC ∠+∠=︒ ； （3）如图2，已知 O 的半径为 254 ， 12BC = ，求 AB 的长． 19．如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 切O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC OP 交O 于点C ，点E 是AB 的中点，且106AB BC ＝，＝.（1）PC 与O 有怎样的位置关系？为什么？（2）求CE 的长.20．如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上的四个点，C 是劣弧 BD 的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作△O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH 的面积．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE，∵OE＝OD，∴△OED＝△ADE，∵AD是直径，∴△AED＝90°，∴△EAD+△ADE＝90°，又∵△DEB＝△EAD，∴△DEB+△OED＝90°，∴△BEO＝90°，∴OE△BC，∴BC是△O的切线．（2）证明：∵△BEO＝△ACB＝90°，∴AC△OE，∴△CAE＝△OEA，∵OA＝OE，∴△EAO＝△AEO，∴△CAE＝△EAO，∴AE为△CAB的角平分线，又∵EP△AB，△ACB＝90°，∴CE＝EP；（3）解：连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵△CAE＝△EAP，∴△AEC＝△AFG＝△CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG△AB，EP△AB，∴CF△EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝PE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵△CAE＝△EAP，△EPA＝△ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE△△APE（AAS），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝152，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝152×6＝45．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出直径定理得出△AED＝90°，△DEB＝△EAD，由余角的性质得出△DEB+△OED＝90°，进而得出△BEO＝90°，即可得出结论；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为△CAB的角平分线，由角平分线的性质得出CE＝EP；（3）连接PF，先证出四边形CFPE是菱形，可得出CF＝EP＝CE＝PF，由AAS可证△ACE△△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理求出CF的长，即可求解。
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论、存在性问题》测试卷(带答案)
中考数学专题复习《三角形中的分类讨论 存在性问题》测试卷(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 EF 是ABC 的中位线 BD 平分ABC ∠交EF 于点D 若31AE DF ==， 则边BC 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．如图 三个村庄A B C 构成ABC 供奶站须到三个村庄的距离都相等 则供奶站应建在（ ）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三个角的角平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点3．若等腰三角形一个外角等于100︒ 则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40,40︒︒ B ．80,20︒︒ C ．50,50︒︒ D ．80,20︒︒或50,50︒︒ 4．一根30 m 长的绳子 折成三段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长7m 比较长边短1m 则它是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法判断 5．如图 在ABCD 中 点M N 分别是,AB AD 上的点 且BN DM = 其交点为P 设,CPB CPD αβ∠=∠= 则（ ）．A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定 6．如图 ACB A CB ''△≌△ 30BCB '∠=︒ 则ACA ∠'的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒二 填空题7．如图 长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上 固定两端A 和B 然后把中点C 向上拉升3cm 到D 则橡皮筋被拉长了 cm ．8．如图 已知AD 为ABC 的中线 10cm 7cm AB AC ==, ACD 的周长为20cm 则ABD △的周长为 cm ．9．在ABC 中 9068C AC BC ∠=︒==，， 则AB 边上的中线CD = ．10．如图 ABC 是一张直角三角形的纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC = 现将ABC 折叠 使点B 与点A 重合 折痕为DE 则DE 的长为 ．11．如图 在三角形ABC 中 ,AB AC AD BC ⊥⊥ 垂足为D 3,4,5AB AC BC === 则AD = ．12．如图 已知ABC 是等边三角形 6AB = BD AC ⊥ 延长BC 到点E 使CE CD = 则BE 的长为 ．三 解答题13．如图 DE AB ⊥于E DF AC ⊥于F 若BD CD = BE CF =(1)求证：AD 平分BAC ∠(2)已知20AC = 4BE = 求AB 的长．14．如图 已知△ABD CAE ≌ A E D 在同一直线上 试探究当BD CE ∥时 AD 与EC 的位置关系 并证明．15．将ABC 沿BC 方向平移 得到DEF ．(1)若74,26B F ∠=︒∠=︒ 求A ∠的度数(2)若 4.5cm, 3.5cm BC EC == 求ABC 平移的距离． 16．如图 AB 交CD 于点O 在AOC 与BOD 中 有下列三个条件：△OC OD = △AC BD = △A B ∠=∠．请你在上述三个条件中选择两个为条件 另一个能作为这两个条件推出来的结论 并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）(1)你选的条件为________ ________ 结论为________(2)试说明你的结论．17．如图 在四边形ABCD 中 已知90B 30ACB ∠=︒ 3AB = 10AD = 8CD =．(1)求证：ACD 是直角三角形(2)求四边形ABCD 的面积．18．如图 在四边形ABCD 中 90B 2AB BC == 1AD = 3CD =．(1)求DAB∠的度数(2)求四边形ABCD的面积．参考答案：1．B2．A3．D4．B5．B6．B7．28．239．510．15 411．12 512．9 13．(2)12AD EC⊥15．(1)80°(2)1cm 16．(1)△ △ △17．(2)932418．(1)135︒(2)2+。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。
2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用
2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用一、综合题1．如图，等边△ABC 内接于△O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM△BP 交PA 的延长线于点M ．（1）求△APC 和△BPC 的度数． （2）求证：△ACM△△BCP ．（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM 的面积2．如图， AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，G 是 AC 上一点， AG ， DC 的延长线交于点F.（1）求证： FGC AGD ∠=∠ .（2）当 DG 平分 AGC ∠ ， 45ADG ∠=︒ ， 6AF =，求弦 DC 的长.3．如图，△ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且△DBC=△A ，连接OE延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 O 的半径为6，BC=8，求弦BD 的长．4．如图，四边形 ABCD 内接于△O ， AC 是△O 的直径， E 是 AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒ ，连接 BD .（1）求证： OAE CDB ≌ ；（2）连接 DE ，若 DE AB ⊥ ， 2OA = ，求 BC 的长.5．如图，在ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使得 FBC DCE ∠=∠ .（1）求证： D F ∠=∠ ；（2）请用无刻度直尺与圆规在AD 上求作一点P ，使 BPC D ∠=∠ .（保留作图痕迹，不写作法）6．如图：△ABC 是△O 的内接三角形，△ACB=45°，△AOC=150°，过点C 作△O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1）求证：CD=CB；（2）如果△O的半径为2，求AB的长．7．如图，AB是△O的直径，弦EF△AB于点C，点D是AB延长线上一点，△A＝30°，△D＝30°．（1）求证：FD是△O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若△O的半径为2，求MF的长．8．如图，△ABC内接于△O，△B＝60°，CD是△O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB＝4+ 3，BC＝2 3，求△O的半径．OC BD，交AD于点E，9．如图，已知AB是O的直径，,C D是O上的点，//连结BC.（1）求证： AE ED = ；（2）若 10,36AB CBD =∠=︒ ，求扇形 OAC 的面积.10．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°．（1）求证：BD=CD ； （2）若圆O 的半径为3，求的长．11．如图，ABC 的外角 BAM ∠ 的平分线与它的外接圆相交于点E ，连接 BE ， CE ，过点E 作 //EF BC ，交 CM 于点D求证：（1）BE CE = ； （2）EF 为△O 的切线．12．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA ，BE△DC 交DC 的延长线于点E ．（1）求证：△1=△BAD ； （2）求证：BE 是△O 的切线．13．如图， AB 、 AC 是O 的两条弦，且 AB AC = ，点 D 是弧BC 的中点，连接并延长 BD 、 CD ，分别交 AC 、 AB 的延长线于点 E 、 F .（1）求证： DF DE = ； （2）若 BD 6= ， CE 8= ，求O 的半径.14．如图，AB 为△O 的直径，点C 在△O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与△O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．（1）求证：△B=△D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．15．如图，AB 是△O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与△O 的位置关系并说明理由； （2）若24FH BF ==，，求弧CD 的长．16．已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作△O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC=60°，求AD的长．17．如图，AB为△O的直径，点E在△O上，C为BE的中点，过点C作直线CD△AE于D，连接AC、BC.（1）试判断直线CD与△O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC 6，求AB的长.18．如图，点O是矩形ABCD中AB边上的一点，以O为圆心，OB为半径作圆，△O交CD边于点E，且恰好过点D，连接BD，过点E作EF△BD.（1）若△BOD＝120°，①求△CEF的度数.②求证：EF是△O的切线.（2）若CF＝2，FB＝3，求OD的长.19．已知△O中，弦AB=AC，点P是△BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：△ACP+△ACQ=180°；（2）如图②，若△BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若△BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．⊥于点F，连接20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF ABOF，且1AF=．（1）求证：DF是O的切线；（2）求线段OF的长度．答案解析部分1．【答案】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴△BAC=△ABC=60°， 由同弧所对的圆周角相等可得：△APC=△ABC=60°，△BPC=△BAC=60°。
中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)
中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)一单选题1．下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性四边形五边形六边形都具有不稳定性故选D．【点睛】本题考查三角形的特性牢记三角形具有稳定性是解题的关键．2．请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【解析】作出三角形的高然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示过点A作AO⊥BC用刻度尺直接量得AO更接近2cm故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度作出三角形的高是解题关键．3．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm 则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5 而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时⊥3＋3＞5⊥3 3 5能组成三角形此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）当5是腰时⊥3＋5＞55 5 3能够组成三角形此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类进行讨论还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答这点非常重要也是解题的关键．4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm2cm3cm B．3cm4cm5cmC．4cm5cm10cm D．6cm9cm2cm【答案】B【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边” 进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系知A1+2＝3 不能组成三角形故选项错误不符合题意B3+4＞5 能够组成三角形故选项正确符合题意C5+4＜10 不能组成三角形故选项错误不符合题意D2+6＜9 不能组成三角形故选项错误不符合题意故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3 4 8B．5 6 11C．5 6 10D．5 5 10【答案】C【解析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】+=<不能组成三角形此项不符题意解：A3478B5611+=不能组成三角形此项不符题意+=>能组成三角形此项符合题意C561110D5510+=不能组成三角形此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．6．如图在Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56° 则⊥A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【解析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得出⊥A的度数．【详解】解：⊥Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56°⊥⊥A=90°-⊥B=90°-56°=34°故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余熟练掌握直角三角形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．7．若长度分别是a 3 5的三条线段能组成一个三角形则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 求出a 的取值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+ 即28a << 则选项中4符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系 熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．8．（2021·山东泰安）如图 直线//m n 三角尺的直角顶点在直线m 上 且三角尺的直角被直线m 平分 若160∠=︒ 则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D 【解析】根据角平分线的定义求出⊥6和⊥7的度数 再利用平行线的性质以及三角形内角和求出⊥3 ⊥8 ⊥2的度数 最后利用邻补角互补求出⊥4和⊥5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分⊥⊥6=⊥7=45°A ⊥⊥1=60° ⊥6=45° ⊥⊥8=180°-⊥1-⊥6=180-60°-45°=75° m∥n ⊥⊥2=⊥8=75°结论正确 选项不合题意B ⊥⊥7=45° m ⊥n ⊥⊥3=⊥7=45° 结论正确 选项不合题意C ⊥⊥8=75° ⊥⊥4=180-⊥8=180-75°=105° 结论正确 选项不合题意D ⊥⊥7=45° ⊥⊥5=180-⊥7=180-45°=135° 结论错误 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义平行线的性质三角形内角和邻补角互补解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补．9．（2020·山东淄博）如图若⊥ABC⊥⊥ADE则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．⊥BAD＝⊥CAE C．AB＝AE D．⊥ABC＝⊥AED【答案】B【解析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：⊥⊥ABC⊥⊥ADE⊥AC＝AE AB＝AD⊥ABC＝⊥ADE⊥BAC＝⊥DAE⊥⊥BAC﹣⊥DAC＝⊥DAE﹣⊥DAC即⊥BAD＝⊥CAE．故A C D选项错误B选项正确故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（2020·广东深圳）如图已知AB=AC BC=6 尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为⊥BAC的角平分线而AB=AC由等腰三角形的三线合一知D为BC重点BD =3故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.11．（2020·福建）如图 面积为1的等边三角形ABC 中 ,,D E F 分别是AB BC CA 的中点 则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】⊥,,D E F 分别是AB BC CA 的中点,且⊥ABC 是等边三角形⊥⊥ADF ⊥⊥DBE ⊥⊥FEC ⊥⊥DFE ⊥⊥DEF 的面积是14． 故选D ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．12．（2020·四川巴中）如图 在ABC 中 120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ //DE AB 3AD = 5CE = 则AC 的长为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．7【答案】B 【解析】根据角平分线的性质可得到1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ 然后由DE AB ∥可知60BAD ADE ∠=∠=︒ 从而得到60ADE EAD ∠=∠=︒ 所以ADE 是等边三角形 由AC AE CE =+ 即可得出答案．【详解】解：⊥120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ ⊥1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ ⊥//DE AB⊥60BAD ADE ∠=∠=︒⊥60ADE EAD ∠=∠=︒⊥ADE 是等边三角形⊥3AE AD ==⊥5CE =⊥358AC AE CE =+=+=故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质 平行线的性质 等边三角形的判定和性质 熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键 属于基础综合题．13．（2020·广西贺州）如图 将两个完全相同的Rt ⊥ACB 和Rt ⊥A'C ′B ′拼在一起 其中点A ′与点B 重合 点C '在边AB 上 连接B ′C 若⊥ABC ＝⊥A ′B ′C ′＝30° AC ＝A ′C ′＝2 则B ′C 的长为（ ）A ．7B ．7C ．3D ．3【答案】A 【解析】先根据直角三角形的性质可得4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ 再根据勾股定理和角的和差可得3,90BC B BC '=∠=︒ 最后在Rt B BC '中 利用勾股定理即可得．【详解】解：⊥90,30,2ACB A C B ABC A B C AC A C ''''∠=∠''=︒∠=∠=︒=''=⊥4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ ⊥2223BC AB AC -= 90B BC ABC B A C ''''∠=∠+∠=︒则在Rt B BC '中 2222(23)427B C BC B B ''=+=+故选：A ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质勾股定理等知识点熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．14．（2020·四川广安）如图在五边形ABCDE中若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN则⊥l+⊥2的度数为（）A．210°B．110°C．150°D．100°【答案】A【解析】根据三角形的内角和定理可得⊥AMN＋⊥ANM=150° 根据平角的定义可得⊥1＋⊥AMN=180°⊥2＋⊥ANM=180° 从而求出结论．【详解】解：⊥⊥A=30°⊥⊥AMN＋⊥ANM=180°－⊥A=150°⊥⊥1＋⊥AMN=180° ⊥2＋⊥ANM=180°⊥⊥1＋⊥2=180°＋180°－（⊥AMN＋⊥ANM）=210°故选A．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用掌握三角形的内角和定理是解题关键．15．（2020·山东济南）如图在ABC中AB＝AC分别以点A B为圆心以适当的长为半径作弧两弧分别交于E F作直线EF D为BC的中点M为直线EF上任意一点．若BC＝4 ABC面积为10 则BM+MD长度的最小值为（）A．52B．3C．4D．5【答案】D【解析】由基本作图得到得EF垂直平分AB则MB＝MA所以BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC 然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB⊥MB＝MA⊥BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图⊥MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）⊥MA+MD的最小值为AD⊥AB＝AC D点为BC的中点⊥AD⊥BC⊥110,2ABCS BC AD==⊥1025,4AD⨯==⊥BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质利用轴对称求线段和的最小值三角形的面积两点之间线段最短掌握以上知识是解题的关键．16．（2020·山东烟台）如图点G为ABC的重心连接CG AG并延长分别交AB BC于点E F 连接EF若AB＝4.4 AC＝3.4 BC＝3.6 则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【答案】A【解析】由已知条件得EF是三角形的中位线进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【详解】解：⊥点G为△ABC的重心⊥AE＝BE BF＝CF⊥EF＝12AC＝1.7故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心三角形的中位线定理关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．17．（2020·山东淄博）如图在⊥AB C中AD BE分别是BC AC边上的中线且AD⊥BE垂足为点F设BC＝a AC＝b AB＝c则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【解析】【详解】设EF＝x DF＝y根据三角形重心的性质得AF＝2y BF＝2EF＝2x利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2 4x2+y2＝b2x2+4y2＝a2然后利用加减消元法消去x y得到a b c的关系．【解答】解：设EF＝x DF＝y⊥AD BE分别是BC AC边上的中线⊥点F为⊥ABC的重心AF＝AC＝b BD＝a⊥AF＝2DF＝2y BF＝2EF＝2x⊥AD⊥BE⊥⊥AFB＝⊥AFE＝⊥BFD＝90°在Rt⊥AF B中4x2+4y2＝c2⊥在Rt⊥AEF中4x2+y2＝b2⊥在Rt ⊥BF D 中 x 2+4y 2＝a 2 ⊥⊥+⊥得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2） ⊥4x 2+4y 2＝（a 2+b 2） ⊥⊥﹣⊥得c 2﹣（a 2+b 2）＝0 即a 2+b 2＝5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．18．（2020·湖南益阳）如图 在ABC ∆中 AC 的垂直平分线交AB 于点D DC 平分ACB ∠ 若50A ∠= 则B 的度数为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40【答案】B 【解析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得⊥ACB 的度数 再根据三角形内角和求出⊥B 的度数．【详解】解：⊥DE 是AC 的垂直平分线⊥AD =CD ⊥ACD =⊥A =50°⊥DC 平分ACB ∠⊥⊥ACB =2⊥ACD =100°⊥⊥B =180°-100°-50°=30°故选：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质 角平分线的定义和三角形内角和定理 熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．19．（2021·广西河池）如图 40A ∠︒＝ CBD ∠是ABC 的外角 120CBD ∠︒＝ 则C ∠的大小是（ ）A ．90︒B ．80︒C ．60︒D ．40︒【答案】B 【解析】根据三角形的外角性质直接求解即可．【详解】CBD ∠是ABC 的外角 40A ∠︒＝ 120CBD ∠︒＝∴CBD A C ∠=∠+∠．1204080C CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质 掌握三角形外角性质是解题的关键．20．（2021·黑龙江哈尔滨）如图 ABC DEC ≌△△ 点A 和点D 是对应顶点 点B 和点E 是对应顶点 过点A 作AF CD ⊥ 垂足为点F 若65BCE ∠=︒ 则CAF ∠的度数为（ ）A ．30B ．25︒C ．35︒D ．65︒【答案】B 【解析】由题意易得65ACF BCE ∠=∠=︒ 90AFC ∠=︒ 然后问题可求解．【详解】解：⊥ABC DEC ≌△△⊥ACB DCE ∠=∠⊥ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠ 即ACF BCE ∠=∠⊥65BCE ∠=︒⊥65ACF BCE ∠=∠=︒⊥AF CD ⊥⊥90AFC ∠=︒⊥9025CAF ACF ∠=︒-∠=︒故选B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质 熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．21．（2021·广西贵港）如图 在AB C 中 ⊥ABC ＝90° AB ＝8 BC ＝12 D 为AC 边上的一个动点 连接BD E 为BD 上的一个动点 连接AE CE 当⊥ABD ＝⊥BCE 时 线段AE 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】如图 取BC 的中点T 连接AT ET ．首先证明90CEB ∠=︒ 求出AT ET 根据AE AT ET ≥- 可得结论．【详解】解：如图 取BC 的中点T 连接AT ET ．90ABC ∠=︒90ABD CBD ∴∠+∠=︒ABD BCE ∠=∠90CBD BCE ∴∠+∠=︒90CEB ∴∠=︒6CT TB ==162ET BC ∴== 22228610AT AB BT =++ AE AT ET ≥-4AE ∴≥AE ∴的最小值为4故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质 勾股定理等知识 解题的关键是求出AT ET 的长 属于中考常考题型．22．（2021·辽宁本溪）如图 在ABC 中 AB BC = 由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E 点F 为BC 的中点 连接EF 若2BE AC == 则CEF △的周长为（ ）A 31B 53C 51D ．4【答案】C 【解析】根据作图可知BD 平分ABC ∠ AB BC = 由三线合一 解Rt BEC △ 即可求得．【详解】BD 平分ABC ∠,AB BC =,2BE AC ==BE AC ∴⊥,112AE EC AC === ∴2222215BC BE EC ++点F 为BC 的中点 ∴152EF BC FC === ∴CEF △的周长为:55151CE EF FC ++=+=+ 故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的概念 等腰三角形性质 勾股定理 直角三角形性质 求出BC 边是解题的关键．23．（2022·青海）如图 在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ D 是AB 的中点 延长CB 至点E 使BE BC = 连接DE F 为DE 中点 连接BF .若16AC = 12BC = 则BF 的长为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】利用勾股定理求得20AB = 然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度结合题意知线段BF 是CDE △的中位线 则12BF CD =． 【详解】 解：在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 16AC = 12BC =2222161220AB AC BC ∴+=+=．又CD 为中线1102CD AB ∴==． F 为DE 中点 BE BC =即点B 是EC 的中点BF ∴是CDE △的中位线 则152BF CD ==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 三角形中位线定理 直角三角形斜边上的中线 利用直角三角形的中线性质求出线段CD 的长度是解题的关键．24．（2022·辽宁大连）如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 分别以点A 和点C 为圆心 大于12AC 的长为半径作弧 两弧相交于M N 两点 作直线MN 直线MN 与AB 相交于点D 连接CD 若3AB = 则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【答案】C 【解析】由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线 记MN 与AC 的交点为G 证明,MN BC ∥ 再证明,AD BD = 可得AD BD CD == 从而可得答案．【详解】解：由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线 记MN 与AC 的交点为G⊥,,,AG CG MNAC AD CD⊥90ACB ∠=︒,MN BC ∥ ⊥,AGAD CG BD⊥,AD BD =3,AB = 13 1.5.22CD AB 故选C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质 平行线分线段成比例 证明AD BD CD ==是解本题的关键． 25．（2022·湖南）如图 点O 是等边三角形ABC 内一点 2OA = 1OB = 3OC = 则AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（ ）A 3B 3C 33D 3【答案】C【解析】将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接OD 得到BOD 是等边三角形 再利用勾股定理的逆定理可得90COD ∠=︒ 从而求解．【详解】解：将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接ODOB OD ∴= 60BOD ∠=︒ 2CD OA ==BOD ∴∆是等边三角形1OD OB ∴== ∵2222134OD OC +=+= 2224CD ==222OD OC CD ∴+=90DOC ∴∠=︒ AOB ∴∆与BOC ∆的面积之和为2313311342BOC BCD BOD COD S S S S +=+=+⨯= 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理的逆定理 旋转的性质等知识 利用旋转将AOB ∆与BOC ∆的面积之和转化为BOC BCD SS + 是解题的关键． 26．（2022·黑龙江）如图 ABC 中 AB AC = AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D 点E 是AB 的中点 点F 是DC 的中点 连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24 1.5PD = 则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【答案】A 【解析】连接DE 取AD 的中点G 连接EG 先由等腰三角形“三线合一“性质 证得AD ⊥BC BD =CD 再由E 是AB 的中点 G 是AD 的中点 求出S △EGD =3 然后证△EGP ⊥△FDP （AAS ） 得GP =CP =1.5 从而得DG =3 即可由三角形面积公式求出EG 长 由勾股定理即可求出PE 长．【详解】解：如图 连接DE 取AD 的中点G 连接EG⊥AB =AC AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D⊥AD⊥BC BD=CD⊥S△ABD=112422ABCS=⨯=12⊥E是AB的中点⊥S△AED=1112 22ABDS=⨯=6⊥G是AD的中点⊥S△EGD=116 22AEDS=⨯=3⊥E是AB的中点G是AD的中点⊥EG∥BC EG=12BD=12CD⊥⊥EGP=⊥FDP=90°⊥F是CD的中点⊥DF=12CD⊥EG=DF⊥⊥EPG=⊥FPD⊥⊥EGP⊥⊥FDP（AAS）⊥GP=PD=1.5⊥GD=3⊥S△EGD=12GD EG⋅=3 即1332EG⨯=⊥EG=2在Rt⊥EGP中由勾股定理得PE22222 1.5EG GP+=+故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 三角形面积 全等三角形判定与性质 勾股定理 熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．27．（2022·四川乐山）如图 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = 点D 是AC 上一点 连接B D ．若1tan 2A ∠= 1tan 3ABD ∠= 则CD 的长为（ ）A ．5B ．3C 5D ．2【答案】C 【解析】先根据锐角三角函数值求出25AC = 再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E 依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE = 再由5AE BE +=得AE =2 DE =1 由勾股定理得AD 5 从而可求出C D ．【详解】解：在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = ⊥1tan 2BC A AC ∠== ⊥225,AC BC ==由勾股定理得,2222(25)(5)5AB AC BC =++=过点D 作DE AB ⊥于点E 如图⊥1tan 2A ∠=1tan 3ABD ∠= ⊥11,,23DE DE AE BE == ⊥11,,23DE AE DE BE == ⊥1123AE BE = ⊥32BE AE =⊥5,AE BE += ⊥352AE AE += ⊥2,AE =⊥1DE =在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ⊥2222215AD AE DE ++⊥25,AD CD AC +== ⊥2555,CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理 由锐角正切值求边长 正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 28．（2022·内蒙古包头）如图 在Rt ABC 中 90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '' 其中点A '与点A 是对应点 点B '与点B 是对应点．若点B '恰好落在AB 边上 则点A 到直线A C '的距离等于（ ）A ．33B ．23C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图 过A 作AQ A C 于,Q 求解4,23,AB AC 结合旋转：证明60,,90,B A B C BC B C A CB 可得BB C '△为等边三角形 求解60,A CA 再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图 过A 作AQ A C 于,Q由90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 224,23,AB ACAB BC结合旋转： 60,,90,B A B C BC B C A CBBB C 为等边三角形60,30,BCB ACB60,A CA 3sin 6023 3.2AQ AC⊥A 到A C '的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质 含30的直角三角形的性质 勾股定理的应用 等边三角形的判定与性质 锐角三角函数的应用 作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．29．（2021·内蒙古鄂尔多斯）如图 在Rt ABC 中 90,8,6ACB AC BC ∠=︒== 将边BC 沿CN 折叠 使点B 落在AB 上的点B ′处 再将边AC 沿CM 折叠 使点A 落在CB '的延长线上的点A '处 两条折痕与斜边AB 分别交于点N M 则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．65【答案】B【解析】利用勾股定理求出AB =10 利用等积法求出CN ＝245 从而得AN ＝325 再证明⊥NMC ＝⊥NCM ＝45° 进而即可得到答案．【详解】解：⊥90,8,6ACB AC BC ∠=︒==⊥AB 22226810AC BC ++⊥S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC⊥CN ＝245⊥AN 22222432855AC CN ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⊥折叠⊥AM ＝A'M ⊥BCN ＝⊥B'CN ⊥ACM ＝⊥A'CM⊥⊥BCN +⊥B'CN +⊥ACM +⊥A'CM =90°⊥⊥B'CN +⊥A'CM ＝45°⊥⊥MCN ＝45° 且CN ⊥AB⊥⊥NMC ＝⊥NCM ＝45°⊥MN ＝CN ＝245⊥A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85． 故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换 勾股定理 等腰直角三角形的性质 熟练运用折叠的性质是本题的关键．二 填空题30．（2022·云南）已知△ABC是等腰三角形．若⊥A=40° 则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】分⊥A为三角形顶角或底角两种情况讨论即可求解．【详解】解：当⊥A为三角形顶角时则△ABC的顶角度数是40°当⊥A为三角形底角时则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质此类题目难点在于要分情况讨论．31．（2022·青海西宁）如图在△AB C中⊥C=90° ⊥B=30° AB=6 将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′ B′C′交AB于点E则B′E=________．【答案】333【解析】根据已知可以得出⊥BAC=60° 而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15° 可知⊥C′AE=45° 可以求出AC=AC′=EC′=3 据此即可求解．【详解】解：在Rt△AB C中⊥ACB=90° ⊥B=30° AB=6则⊥BAC=60° AC=3 BC22-363将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后则⊥C′AC=15° AC= AC′=3 B′C′=BC3⊥⊥C′AE=45°而⊥AC′E=90° 故△AC′E是等腰直角三角形⊥AC=AC′=EC′=3⊥B′E= B′C′-EC33．故答案为：33．【点睛】本题考查旋转变换直角三角形30度角的性质等腰直角三角形的判定和性质勾股定理等知识解题的关键是熟练掌握基本知识．32．（2021·吉林长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放点D在边AC上//BC EF则ADE∠的大小为_______度．【答案】75︒∠利用平角为180︒即可求解．【解析】根据两直线平行得同位角相等根据三角形外角性质求得CDG【详解】、交于点G设DF BCBC EF//∴∠=∠F DGB=∠+∠=︒C CDG45∠=︒C30CDG∴∠=︒15∴∠=︒-︒-︒=︒180901575ADE故答案为75︒．【点睛】本题考查了平行线的性质三角形的外角性质平角的概念解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．△的周长为13 则33．（2020·湖北）如图在ABC中DE是AC的垂直平分线．若3AE=ABDABC的周长为______．【答案】19.【解析】由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC == 从而可得答案．【详解】 解： DE 是AC 的垂直平分线．3AE =26,,AC AE AD DC ∴===13,AB BD AD ++=ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++13619.=+=故答案为：19.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质 掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．34．（2020·山东日照）如图 有一个含有30°角的直角三角板 一顶点放在直尺的一条边上若⊥2＝65°则⊥1的度数是_____．【答案】25°##25度【解析】延长EF 交BC 于点G 根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图 延长EF 交BC 于点G⊥直尺⊥AD ⊥BC⊥⊥2＝⊥3＝65°又⊥30°角的直角三角板⊥⊥1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质熟练掌握知识点是解题的关键．35．（2020·江苏常州）如图在ABC中BC的垂直平分线分别交BC AB于点E F．若AFC△是等边三角形则B∠=_________°．【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF再利用等边三角形的性质得到⊥AFC=60° 从而可得⊥B.【详解】解：⊥EF垂直平分BC⊥BF=CF⊥⊥B=⊥BCF⊥⊥ACF为等边三角形⊥⊥AFC=60°⊥⊥B=⊥BCF=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质等边三角形的性质外角的性质解题的关键是利用垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF.36．（2020·辽宁辽宁）如图在ABC∆中M N分别是AB和AC的中点连接MN点E是CN的BC=则CD的长为_________．中点连接ME并延长交BC的延长线于点D若4【答案】2【解析】依据三角形中位线定理 即可得到MN =12BC =2 MN //BC 依据⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ） 即可得到CD =MN =2．【详解】解：⊥M N 分别是AB 和AC 的中点⊥MN 是⊥ABC 的中位线⊥MN =12BC =2 MN ⊥BC⊥⊥NME =⊥D ⊥MNE =⊥DCE⊥点E 是CN 的中点⊥NE =CE⊥⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ）⊥CD =MN =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时 关键是选择恰当的判定条件．37．（2021·新疆）如图 在ABC 中 AB AC = 70C ∠=︒ 分别以点A B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于M N 两点 作直线MN 交AC 于点D 连接BD 则BDC ∠=__________︒．【答案】80︒【解析】由等腰三角形 “等边对等角”求出ABC ∠ 再由垂直平分线的性质得到AD DB = 最后由三角形外角求解即可．【详解】 解：AB AC =,70C ∠=︒70ABC ∴∠=︒,40A ∠=︒ MN 垂直平分ABAD DB ∴=40ABD A ∴∠=∠=︒404080BDC A ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．故答案为：80︒．【点睛】本题考查了等腰三角形性质 垂直平分线性质 三角形外角概念 能正确理解题意 找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．38．（2021·山东聊城）如图 在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O 连接BO 并延长交AC 于点F 若AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 则CE ：AD ：BF 值为____________．【答案】12:15:10【解析】由题意得：BF ⊥AC 再根据三角形的面积公式 可得5432ABC SAD CE BF === 进而即可得到答案．【详解】解：⊥在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O⊥BF ⊥AC⊥AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 ⊥111222ABC SBC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅ ⊥5432ABC S AD CE BF === ⊥CE ：AD ：BF =12:15:10故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高 掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．56．（2022·北京）如图 在ABC ∆中 AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【解析】作DF AC ⊥于点F 由角平分线的性质推出1DF DE == 再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图 作DF AC ⊥于点F⊥AD 平分BAC ∠ DE AB ⊥ DF AC ⊥⊥1DF DE == ⊥1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质 通过作辅助线求出三角形AC D 中AC 边的高是解题的关键． 39．（2022·山东青岛）如图 已知,,16,,ABC AB AC BC AD BC ABC ==⊥∠△的平分线交AD 于点E 且4DE =．将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号） ⊥8BD =⊥点E 到AC 的距离为3 ⊥103=EM⊥EM AC ∥【答案】①④##⊥⊥【解析】根据等腰三角形的性质即可判断⊥ 根据角平分线的性质即可判断⊥ 设DM x = 则8EM x =- Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =．继而求得EM 设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= 根据AE AB ED BD = 进而求得a 的值 根据20443tan 83AD C DC +===4tan 3EDEMD DM ∠== 可得C EMD ∠=∠ 即可判断⊥【详解】解：⊥,,16,,ABC AB AC BC AD BC ==⊥△ ⊥182BD DC BC === 故⊥正确 如图 过点E 作EF AB ⊥于F EH AC ⊥于H,AD BC AB AC ⊥=AE ∴平分BAC ∠EH EF ∴=BE 是ABD ∠的角平分线,ED BC EF AB ⊥⊥EF ED ∴=4EH ED ∴== 故⊥不正确 .将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合 ,8EM MC DM MC DM EM CD ∴=+=+== 设DM x = 则8EM x =-Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =． ()22284x x -=+解得3x =5EM MC ∴==故⊥不正确设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= ()22248AB a =++11221122ABE BDE AB EF AE BD SS BD ED ED BD ⨯⨯==⨯⨯ AE AB ED BD∴= 48a AB = 2AB a =∴()2248a ++()22a = 解得203a =或4a =-（舍去） 20443tan 83AD C DC +∴=== 4tan 3ED EMD DM ∠== C EMD ∴∠=∠EM AC ∴∥ 故⊥正确故答案为：①⊥【点睛】本题考查了解直角三角形 三线合一 角平分线的性质 掌握以上知识是解题的关键．40．（2022·河南）如图 在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC == 点D 为AB 的中点 点P 在AC 上 且CP ＝1 将CP 绕点C 在平面内旋转 点P 的对应点为点Q 连接AQ DQ ．当⊥ADQ ＝90°时 AQ 的长为______．513135【解析】连接CD 根据题意可得当⊥ADQ ＝90°时 分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上 且1CQ CP == 勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图 连接CD在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC ==4AB ∴= CD AD ⊥122CD AB ∴== 根据题意可得 当⊥ADQ ＝90°时 Q 点在CD 上 且1CQ CP ==211DQ CD CQ ∴=-=-=如图 在Rt ADQ △中 2222215AQ AD DQ ++在Rt ADQ △中 2,3AD CD QD CD CQ ===+=22222313AQ AD DQ ∴=+=+513【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 直角三角形斜边上中线的性质 确定点Q 的位置是解题的关键． 41．（2022·青海西宁）矩形ABC D 中 8AB = 7AD = 点E 在AB 边上 5AE =．若点P 是矩形ABCD边上一点 且与点A E 构成以AE 为腰的等腰三角形 则等腰三角形AEP 的底边长是________． 【答案】245【解析】分情况讨论：⊥当AP =AE =5 点P 在边AD 上时 由勾股定理可求得底边PE 的长 ⊥当PE =AE =5 点P 在边BC 上时 求出BE 由勾股定理求出PB 再由勾股定理求出底边AP 即可．【详解】解：⊥矩形ABCD⊥⊥A =⊥B =90°分两种情况：当AP =AE =5 点P 在边AD 上时 如图所示：⊥⊥BAD =90°⊥PE 222255AP AE ++2当PE =AE =5 点P 在边BC 上时 如图所示：⊥BE =AB -AE =8-5=3 ⊥B =90°⊥PB 222253PE BE --⊥底边AP 22228445AB PB ++=综上 等腰三角形AEP 的底边长是5245【点睛】本题考查了矩形的性质 勾股定理 熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定 进行分类讨论是解决问题的关键．42．（2022·辽宁锦州）如图 在ABC 中 ,30AB AC ABC =∠=︒ 点D 为BC 的中点 将ABC 绕点D 逆时针旋转得到A B C ''' 当点A 的对应点A '落在边AB 上时 点C '在BA 的延长线上 连接BB ' 若1AA '= 则BB D '△的面积是____________．33【解析】先证明A AD ' 是等边三角形 再证明AO BC '⊥ 再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O ' 再利用勾股定理求出OD 从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示 设A B ''与BD 交于点O 连接A D '和AD⊥点D 为BC 的中点 ,30AB AC ABC =∠=︒⊥AD BC ⊥,A D B C '''⊥ A D '是B A C '''∠的角平分线 AD 是BAC ∠⊥120B A C ︒'''∠= 120BAC ︒∠=⊥60BAD B A D ︒'∠'=∠=⊥A D AD '=⊥A AD ' 是等边三角形⊥1A A AD A D ''===⊥18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=⊥BA B A AD '''∠=∠⊥//A B AD ''⊥AO BC '⊥ ⊥1122A O A D ''==⊥1314OD =-=⊥22A B A D '''==⊥30A BD A DO ︒''∠=∠=⊥BO OD = ⊥13222OB '=-= 23BD OD ==⊥113333222BB DS BD B O ''=⨯⨯==． 【点睛】本题考查等腰三角形 等边三角形和直角三角形的性质 证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键． 43．（2022·广西贵港）如图 将ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到ADE 点B 的对应点D 恰好落在BC 边上 若,25DE AC CAD ⊥∠=︒ 则旋转角α的度数是______．【答案】50︒【解析】先求出65ADE ∠=︒ 由旋转的性质 得到65∠=∠=︒B ADE AB AD = 则65ADB ∠=︒ 即可求出旋转角α的度数．【详解】解：根据题意⊥,25DE AC CAD ⊥∠=︒⊥902565ADE ∠=︒-︒=︒由旋转的性质 则65∠=∠=︒B ADE AB AD =⊥65ADB B ∠=∠=︒⊥180665550BAD ︒-∠=︒=︒-︒⊥旋转角α的度数是50°故答案为：50°．【点睛】本题考查了旋转的性质 三角形的内角和定理 解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．44．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图⊥ 四边形ABCD 中 AB AD = 180B D ∠+∠=︒ 点E F 分别在BC CD 上 若2BAD EAF ∠∠= 则EF BE DF =+．【解决问题】如图⊥ 在某公园的同一水平面上 四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB == 60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒ 道路AD AB 上分别有景点M N 且100m DM = )5031m BN = 若在M N 之间修一条直路 则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数 3 1.7≈）．【答案】370【解析】延长,AB DC 交于点E 根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质 求得,EC EB ,AE AD 从而求得AN AM +的长 根据材料可得MN DM BN =+ 即可求解．【详解】解：如图 延长,AB DC 交于点E 连接,CM CN60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒30A ∴∠=︒ 90E ∠=︒100DC DM ==DCM ∴是等边三角形60DCM ∴∠=︒90BCM ∴∠=︒。
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中考数学专题三角形综合测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.一直角三角形的两条直角边分别为3和4，下列说法中不正确的是 （ ） A.斜边长为5 B.三角形周长为12 C.第三边长为25 D.三角形面积为6 2．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D 的度数为 （ ）A.17°B.34°C.56°D.124°3.计算sin 245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ） A.2 B.1 C.25 D.45 4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A.sin A =B.1tan 2A =C.cos B =D.tan B =5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么CE 等于 （ ） A.cm B.2cm C.3cm D.8cm6．如图，点F 在正方形ABCD 内，满足∠AFB=90°，AF=6，BF=8，则图中阴影部分面积为 （ ）A.48B.60C.76D.807.等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，那么它的底角的余弦是（ ） A.135 B.1312 C.1310 D.125 8．如果一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形是“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的是( ) A.1，2，3 B.1，1，2 C.1，2，3 D.1，1，39．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）A.4kmB.（4﹣）kmC.2kmD.（2+）kmBCA10．小明去爬山，在山脚看山顶仰为30°，小明在坡比为5︰12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为（ ） A.（600﹣250) 米 B.（600﹣250）米 C.（350+350）米 D.500米二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α=_______． 12.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 中点，则CD=______．13．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对的边分别为a ，b ，c ，其中22=a ，62=b ，小明得到下面4个结论：①24=c ；②33tan =A ；③1cos sin =+B A ；④∠B =30°，正确的结论是_______（填序号）.14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，斜边AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，若BD=2，则AC 的长为______.15．如图，△ABC 中，∠A=30°，23tan =B ，AC=32，则AB 的长为______. 16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8︒和10︒，大灯A 离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 米.（不考虑其他因素））（参考数据：sin 8°≈254，tan8°≈71，sin10°≈509tan10°≈285）第16题图17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，BC ＝6米，AC=12米. 当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝______米时，有DC 2＝A E 2＋BC 2.18.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为_______米．三、解答题（共58分）19．（10分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，CD=3，BD=32，求AB 及∠B.20．（10分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．21．（12分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居DCBA民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)22．（12分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE 的长最多为_____米； （2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？23．（14分）如图，我南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60 º方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53 º方向上．(1)求CD 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值 (参考数据：5453sin ≈︒，5353cos ≈︒，3453tan ≈︒).第23题图三角形（二）综合测试题参考答案一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B9．解析：过点B 作BE ⊥AD 交AC 于点E ，则BE =AB =2，AE根据题意可知，∠CBD=67.5°，所以∠BCE=22.5°，所以CE=BE=2，，在Rt△ACD 中，sin∠CAD=22=AC CD ,所以CD =(2km.E第9题图 第10题图10．解析：如图，根据题意可得，BE=500米，AE=1200米，设EC=x 米，则DF=x 3, 所以CD=500+x 3，AC=1200+x ，在Rt△ACD 中，AC=3CD ，即1200+x=()x 35003+，解得3250600-=x .∴DF=x 3=7503600-， CD= DF+CF=2503600-，故应选B.二、11．70 12．5 13．①② 14．38 15．5 16．57 17．31418．2600 三、19．解：过D 点作DE⊥AB 于E 点，因为AD 平分∠CAB，所以DE=DC=3.在Rt△BED 中，sinB=21，∴∠B=30°，在Rt△ABC 中，23AB BC cosB ==，所以AB=6．第19题图20．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1． 在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=+， ∴DE=CE ﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．21．解：（1）如图，连接PA ．由题意知，AP=39m ．在直角△APH 中，PH=22221539-=-AH AP =36（米）.（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt△ADH 中，DH=31530tan =︒AH（米）．在Rt△CDQ 中，DQ=7830sin =︒CQ（米）． 则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-153≈114-15×1.7=88.5≈89（米）． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．第21题图22．解：（1）11.0；（2）过点D 作DP⊥AC，垂足为P ．在Rt△DPA 中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH 中， HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6． 答：建筑物GH 高为45.6米．第22题图23．解：(1)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，DF ⊥CG 于点F . 则在R t△CBG 中，由题意知∠CBG =30°，∴CG=12BC=13015222⨯==7.5.∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形.∴GF= AD=1.5 ，∴CF= CG-GF=7.5－1.5=6. 在R t△CDF中，∠CFD=90º，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=CF CD，∴6103cos535CFCD===︒(海里)．答：CD两点距离为10海里．（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90º，∴sin∠EDH=EH ED，∴EH=ED sin53°=4123=55t t ⨯，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=12253025tEHCE t==．答：sin∠ECD=225．第23题图。