3货币的时间价值

新增利息
期末余额
1
10000
1000
11000
2
11000
1100
12100
3
12100
1210
13310
4
13310
1331
14641
金 融
5
14641
1464.1
16105.1
学
原
理
利息变动情况：
年 本金 第一年所 第二年新 第三年新 第四年新 单利 复利 单 利
新增 得单利的 增单利的 增单利的 增单利的 累积 总计 复 利
计算现值的一般公式：
从上面的计算中可以看出，将终值除以终值系数就可以得到现值了，即现值是终值的逆运算。 一般地，设利率为r ，现值为PV ，终值为FV ，年限为n ，每年的复利次数m为 ，则有：
FV PV
(1 r)nm m
将 1 称为现值系数，它表示在未来若干年后，终值为1元，每年复m利 次，利率为r
1% 1.0100 1.0201 1.0303 1.0406 1.0510 1.0615 1.0721 1.0829 1.0937 1.1046 1.1157 1.1268
2% 1.0200 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682
物价水平的变化会影响货币的购买力，因而货 币的价值会因物价水平的变化而变化。当物价 总水平上涨时，货币购买力会下降；反之，当 物价总水平下跌时，货币的购买力会上升。
金 一般来说，未来的预期收入具有不确定性。
融 学 原 理
货币时间价值的计量
单利 复利
金 融 学 原 理
第一年结束时，现值10000元的存款的终值为：
P V 2 (1 6 % ) 2 2 0 0 0
P V 3 (1 6 % ) 3 2 0 0 0
P V 4 (1 6 % ) 4 2 0 0 0
P V 5 (1 6 % ) 5 2 0 0 0
你 现 在 所 要 存 入 的 金 额 就 是 未 来 五 年 中 每 年 支 取 的 2000 元 的 现 值 的 和 ， 即 ：
72法则
该法则表明，在每年复利一次时，现值 翻一倍的年限大致为72除以年利率的商 再系数以100 。
什么是年金？
一系列均等的现金流或付款称为年金。最 现实的例子包括：
零存整取 均等偿付的住宅抵押贷款 养老保险金 金 住房公积金
融 学 原 理
年金分为：
即时年金。所谓即时年金，就是从即刻开始就 发生一系列等额现金流，零存整取、购买养老 保险等都是即时年金。
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尽信书，则不如无书
3.1货币的时间价值及其计量
金 融 学 原 理
什么是货币的时间价值
货币的时间价值就是指当前所持有的 一定量货币比未来持有的等量的货币 具有更高的价值。
货币的价值会随着时间的推移而增长。
金 融 学 原 理
货币的间价值源于
现在持有的货币可以用于投资，获取相应的投 资收益
理
一年多次复利时的终值计算公式：
一般地，设：
每年计息m次， r为年利率
在第n年结束时的终值计算公式为：
FVPV(1r)mn m
金
融
将(1r)mn称作终值系数。
学
m
原
理
金 融 学 原 理
1元现值在不同利率及不同年限下的终值变化表（终值表） ：
年限 n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
FV PV 。因此，月供为：
1(1r)n r
金 融
月供额 400000 2398.20 1(10.005)360
学
0.005
原
理
抵押贷款月还款额
设抵押贷款的年利率为r ，抵押贷款期限为n 年，抵押贷款额为PV ，则月供额的计算公式 如下：
月供额
PV
r (1 r )12n PV 12 12
1 (1 r )12n
第五年：10000 (1 6%)1
金
将各年存入金额的终值相加，就得到第五年结束时你的账户上的余额：
融
10000[(1 6%)1 (1 6%) 2 (1 6%) 2 (1 6%) 4 (1 6%) 5 ]
学
1.06 (11.065 )
10000
59753.97
原
1 1.06
理
即时年金的终值计算：
(1r)n1
金 FVPV
融
r
学
原
理
3.3现值与年金现值
金 融 学 原 理
现值与贴现
先看一个例子：
假定你打算在三年后通过抵押贷款购买一
套总价值为50万元的住宅，银行要求的
首付率为20%，即你必须支付10万元的
现款，只能从银行得到40万元的贷款。
那么，为了满足三年后你购房时的首付
金金 融融
要求，设三年期存款利率为6%，你现在
金 融 学 原 理
永续年金现值的一般公式：
对年金现值公式求n无穷大的极限，就得到了永续年金的现值，即：
永续年金的现值PVFV r
金 融 学 原 理
你的住宅抵押贷款月供应该是多少？
如果知道年金现值，未来年期限和利率，就可 以通过现值公式计算出未来的年金来。均付固 定利率抵押贷款就是在已知现值、利率和借款 期限时计算每月的还款额的。
假定在这三年中，你存够了购房的首付款10万
元，成功地从银行申请到了40万元的抵押贷款，
金 融
假定贷款年利率为6%，期限为30年。那么， 你的月供是多少呢？
学
原
理
由于是每月还款，因此，要将年利率换算成月利率，月利率为0.5%(6%120.5%)。由于 偿还期有30 年，所以共有360 个月的还款期。即r0.005,n360 ，根据现值公
2
2
第一年结束时的本利总额为：
1 0 0 0 0 (1 1 0% ) (1 1 0% ) 1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 2 1 1 0 2 5
2
2
2
在第二年年中时的本利总额为：
1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 2 (1 1 0% ) 1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 3 1 1 5 7 6.3
一般地，设:
即时年金现值为PV
利率为r
年限为n
每年计息一次，则普通年金终值公式如下：
金
(1r)[(1r)n1]
融 学
FVPV r
原
理
普通年金的终值计算：
在前面的即时年金与普通年金的时间轴上看到，即时年金的每笔现金流比普通年金都要多获 得1年的利息，故，即时年金的终值为普通年金终值的(1r)倍。因此，将即时年金的终值 除以(1r)就得到普通年金的终值计算公式：
1.4185 1.5869
1.5036 1.7138
1.5938 1.8509
1.6895 1.9990
1.7908 2.1589
1.8983 2.3316
2.0122 2.5182
9% 1.0900 1.1881 1.2950 1.4116 1.5386 1.6771 1.8280 1.9926 2.1719 2.3674 2.5804 2.8127
PV FV[( 1 )( 1 )2 ( 1 )3 ( 1 )n]
1r 1r 1r
1r
按照等比数列求和公式得：
1 [1( 1 )n]
PV FV 1r 1r
1 1
金
1r
融
1(1r)n
学
化简后得到：PV FV r
原
理
永续年金现值
永续年金就是永远持续下去没有最终日 期的年金。我们无法计算永续年金的终 值，但是，却可以计算它的现值。
(1 r )12n 1
12
12
r
12
r (1 r )12n
金 融
将 12
(1
r
12 )12n
1
称作月供系数，它表示在对应的抵押贷款利率和期限中，1 元抵押贷款的月
6105.1
学
原
理
终值计算的一般公式：
设：
PV：现值
FV：终值
r：利率
n：年数
在每年计息一次时，就可以按照下列公司计算终值：
金
融
FVPV(1r)n
学
原
理
每年多次计息时的终值：
假定你存入 10000 元钱，每半年复利计息一次，年利率为 10%。终值计算为： 在第一年年中时，本利总额为：
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0% 1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 1 0 5 0 0
2
2
2
第二年年末的本利总额为：
金
1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 3 (1 1 0% ) 1 0 0 0 0 (1 1 0% ) 4 1 2 1 5 5.1
2
2
2
融
依次类推，到第五年结束时的本利总额为：
学
1 0 0 0 0 (1 1 0% )1 0 1 6 2 8 8.9 2
原
金
(1 r )nm
融
m
学 时的现在的价值。
原
理
在金融学中，我们通常将现值的计算称 为贴现，用于计算现值的利率称为贴现 率。
金 融 学 原 理
年金现值
先看看这个例子：
如果你有这样一个支出计划：在未来五
年里，某一项支出每年为固定的2000元，
你打算现在就为未来五年中每年的这
2000元支出存够足够的金额，假定利率
单利 复利 复利 复利 复利
总计
1 1000
1000 0
2 1000 100
2000 100
3 1000 110 100
3000 310
4 1000 121 110 100
4000 641
金
5 1000 133.1 121
110
100
5000 1105.1
融
累计 5000 464.1 331
210
100
12% 1.1200 1.2544 1.4049 1.5735 1.7623 1.9738 2.2107 2.4760 2.7730 3.1058 3.4785 3.8960
18% 1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2878 2.6996 3.1855 3.7589 4.4355 5.2338 6.1759 7.2876
4% 1.0400 1.0816 1.1249 1.1699 1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5395 1.6010
利率：r
6%
8%
1.0600 1.0800
1.1236 1.1664
1.1910 1.2597
1.2625 1.3605
1.3382 1.4693
即时年金
500 500 500 500 普通年金
金 融 学 原 理
年金终值的计算
年金终值就是一系列均等的现金流在未来一段 时期的本息总额。
以你在银行的零存整取为例，假定你现在在招
商银行开了一个零存整取的账户，存期5年，
每年存入10000元，每年计息一次，年利率为
6%，那么，到第五年结束时，你的这个账户
为6%，且你是在存入这笔资金满1年后在
金 融
每年的年末才支取的，那么，你现在应
学
该存入多少呢？
原
理
根据题意知，这是一种普通年金。 设 第i 年 末 支 取 的 2 0 0 0 元 年 金 的 现 值 为P V i ， 根 据 终 值 公 式 ， 分 别 得 到 如 下 关 系 式 ：
P V 1 (1 6 % ) 2 0 0 0
普通年金两种。如果是在现期的期末才开始一
系列均等的现金流，就是普通年金。例如，假
金
定今天是3月1日，你与某家银行签订了一份住
融
宅抵押贷款合同，银行要求你在以后每个月的
学
25日偿还2000元的贷款，这就是普通年金。
原
理
在时间轴上分分即时年金与普通年金
1234 5
●●●●●
500 500 500 500
学学 需要存入多少钱呢？
原原
理理
计算过程如下：
设你现在应该存的金额为PV，10万元的首付款实际上就是你现在存入的这笔钱在三年后的 终值，因此，根据终值计算公式有：
PV(16%)3100000
金 从而解得：PV83961.93
融 学
即你现在只需存入83961.93元就可以满足购房时的首付要求了。
原
理
5
1
1
1
1
1
PV
PVI
I 1
2000 ( 1.0 6 1.0 6 2
1.0 6 3
1.0 6 4
)
1.0 6 5
金
1 [1 ( 1 ) 5 ]
融 学
2 0 0 0 1.0 6
1.0 6
1 1
1.0 6
8 4 2 4.7 3
原
理
计算年金现值的一般公式：
一般地，设普通年金为FV ，利率为r ，年限为n ，这一系列未来年金的现值为：
10000(110%)11000
在第二年结束时，本息余额，即第二年结束时的终值为：
10000(110%)(110%)10000(110%)2 12100
依次类推，到第五年结束时的终值为：
金
融
10000(110%)5 16105.1
学
原
理
存入10000元，年利率为10%时的终值变化情况：
年 期初余额
金
上有多少钱呢？
融
这实际上就是求你的零存整取的年金终值，它
学
等于你各年存入的10000元的终值的和。
原
理
根据前面的终值公式，可以得到各年存入账户的终值如下： 第一年：10000 (1 6%) 5
第二年：10000 (1 6%) 4
第三年：10000 (1 6%) 3
第四年：10000 (1 6%) 2