(选修1-2)2.1.1合情推理(归纳推理)

八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
三棱柱
四棱柱
三棱锥
且
an1

an 1 an
( n ＝1，2，3，···)，
试归纳这个数列的通项公式.
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
化学中的门捷列夫元素周期表
天文学中开普勒行星运动定律
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
❖ 皇冠明珠：歌德巴赫猜想
猜想----任何大于2的偶数都可以 表示为两个素数的和.
自然科学的皇后是数学, 数学的皇冠是数论,
歌德巴赫猜想则是皇冠上的明珠
练习
2. (直击高考：09浙江文第16题)
发现它们都是素数，于是费马就猜想：形 如 Fn 22n 1 的数都是素数。
否定一个猜想只需举出一个反例即可！ F5 225 1 4294967297 6416700417
并不是所有猜想都是正确的！
其中的故事、、、、、、
费马
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如
的数都是质数
这就是著名的"费马猜想"
陈氏定理
2n p1 p2 p3
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和 (简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”，中国的 王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大 利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。
结论：对于所有的自然数
n，n2-n+11的值
.
例1:观察下图,可以发现
1=12， 1+3=4=22，
1 2 3 4 56
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+…5+…7+9=25=52， 你能否从中归纳出一般性法则?
1+3+…+(2n－1)=n2．
例:2.已知数列｛an｝的第一项a1 =1,
12 9 3 111
123 9 4 1111
1234 9 5 11111
12345 9 6 111111
2、观察下列等式，你能得到什么结论？
2 2 4,
3 3 41,
2
2
4 4 51,
3
3
5 5 61,
4
4
6 6 71,
5
5
3、观察 2 2 1, 2 2 2 , 2 2 3，, 由此我们猜想：
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
3.观察下面图形规律，在其右下角的空格 内画上合适的图形为（ ）
□●▲ ▲■○ ●△
A. ■ B. △ C. □ D. ○
一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满 了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上 爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智， 急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑 到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。 鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛， 沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁 班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪， 叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。 鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F）
6 4 8 5 5 9
顶点数（V）
8 4 6 6 5 9
棱数（E）
12 6 12 9 8 16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数， 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn 22n 1 的前五项：F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 F4 65537
想一想：
第一个芒果是甜的
故事中仆人的做法实际吗？ 第二个芒果是甜的
换作你，你会怎么做？ 第三个芒果是甜的
这个果园 的芒果都 是甜的
归纳推理的几个特点：
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得 的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属 未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、 经验和实验的基础之上.
归纳推理的一般模式:
事物S1具有性质P, 事物S2具有性质P, 事物S3具有性质P,
……，
事物Sn具有性质P, (S1,S2,…,Sn是某类事物的一部分），
从而归纳出这类事物都具有性质P
热身练习
练习1：
练习2：
磨擦双手能产生热， 当n=0时，n2-n+11=11;
敲击石头能产生热 ， 当n=1时，n2-n+11=11;
锤击铁块能产生热 ， 当n=2时，n2-n+11=13;
磨擦双手、敲击
当n=3时，n2-n+11=17;
石头、锤击铁块 都是物质运动； 所以，
当n=4时，n2-n+11=23; 当n=5时，n2-n+11=31; 。 11,11,13,17,23,31都是质数
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
福 尔 摩 柯南 斯
三国演义----“草船借箭”
我们来推测诸葛 “先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾
2.曹操生性多疑
3.北军不善水战
草船借箭必将成功
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
已知 判断
新的 判断
前提
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
半个世纪后,善于 计算的欧拉发现
第5个费马数不是
质数
欧拉
❖ 宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
大胆猜想 小心求证
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
_____,
T16 T12
成等比数列.
T8 T12
T4 T8
3.
1.已知数列
{an}是等差数
列，则
{a1+a2+n…+an}
鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件 边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁 班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班 做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又 快又省力。锯子就这样发明了。
观察下列等式
6＝3+3， 12=5+7,
8＝3+5, 14=3+11，
10＝3+7, 16=5+11 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
归纳推理的过程：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
3 31 3 3 2 3 33
(A) 2 2 1 b b1
(B) 2 2 2 b b2
(C) a a 2 b b2
(D) a a m b bm
例5.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然 后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
实验观察
(1)从特殊到一般；
大胆猜想
(2)具有创造性； (3)具有或然性。
验证猜想
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
1、根据给出的数塔猜测 1234569 7
1 9 2 11
铜能导电
铝能导电
金能导电
银能导部电 分 特殊 个性
一切金属 都能导电.
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的
一般
第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
共性
第n个 数为2n.
第四个数为8
爬行动 物都是 用肺呼 吸的
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8ห้องสมุดไป่ตู้
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
5
5
8
三棱柱 四棱锥
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
5
5
8
9
9
16
三棱柱 四棱锥 尖顶塔