高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法

例 1 ：求证：a2b2 1 a b ab

分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。

证明： a2b2 1 (a b ab)

1

[( a b) 2(a 1)2(b 1)2 ] 0

2

评注： 1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0 的关系——结论

2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。

例 2 ：设a b c ，求证：bc2ca 2ab 2b2 c c2 a a2 b

分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。

证明：bc2ca 2ab 2(b2 c c 2 a a 2 b)

= bc(c b)ca(a c) ab(b a)

= bc(c b)ca[( a b)(b c)]ab(b a)

= (a b)(b c)(c a)

a b c ，则a b 0, b c 0, c a 0,

∴ ( a b)(b c)(c a)0

故原不等式成立

评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：

2

ca 2

ab

2(2

c c

2

a

2 )2

(b a)c(a b)(a b) ab(b a) ，这样容易发现规律。

bc b a b c

例 3 ：已知a,b R , 求证： (a b)(a n b n )2(a n 1b n 1)证明： ( a b)( a n b n )2( a n1b n 1 )

a n

b ab n a n 1b n 1

a n (

b a) b n (a b)

(a b)(b n a n )

ⅰ）当 a b0 时，a b0, b n a n，则 (a b)(b n a n ) 0ⅱ）当 a b0 时，a b0, ，则 (a b)(b n a n )0

ⅲ）当 b

a 0 时， a

b 0, b n a n ，则 (a b)(b n a n ) 0

评注： 两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进

一步简化变形等，是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有

时需对字母进行分类讨论。

例 4 ：已知 a, b

R , 且 a b, 求证： a a b b

a b b a

分析一： 作差后可以判定符号，可用作差法。 证法一： a a b b a b b a

a a

b b (1 a b a b a b )

a a

b b

[1 ( a

)b a ]

b

ⅰ）当

ⅱ）当

a b 时，

a

1,b

a 0, 则 ( a )

b a

1

b

b

a b 时，则 (a

) b a

1

b

又∵ a a b b

0 ，∴ a a b b

a b b a

分析二： 不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。

证法二： ∵

a 0,

b 0

∴

a lg a

b lg b a lg b b lg a

(a

b)(lg a lg b)

ⅰ）当 a b 0 时， a b 与 lg a lg b 同为正

ⅱ）当 b a 0 时， a b 与 lg a lg b 同为负

∴ 即 a a b b

a b b a

评注： 有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等） ，可使变形更方便。

分析三： 不等式两边均为正数，也可用作商法。

证法三： a a b b

( a )a b

b a a b

b

ⅰ）当 a

b 0 时，

a

1,a b

0,

( a )a b

1

b

b

ⅱ）当 b

a 0 时， 0 a 1,a b

0, ( a

)a b 1

b

b

∴ a a b b a b b a

评注： 1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与

1 的关系——结论

2 ．作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形

式的不等式。

例 5 ：设 a, b,c 都正数，求证：

bc

ca ab a b c

a

b c

分析： 不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。

证明： a, b, c

R , bc , ca , ab

R

,

a b c

∴ bc

ca 2 c , ca ab

2 a , ab bc 2

a

b b

c

c a

b

∴ 2(

bc

ca ab 2(a b c) ，

a

b c

∴ bc

ca ab a b c

a

b c

评注： 1. 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要

证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法

2

．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

例 6: 设 a,b,c 均为正实数，求证： 1 +1+1

≥ 1 + 1 + 1 .

2a 2b 2c b c c a a b

分析一： 不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。

证法一： ∵ a,b,c 均为正实数，

∴1（ 1

＋

1

）≥ 1 ≥ 1 ，当 a =b 时等号成立；

2 2a

2b

2 ab

a b

1 （ 1 ＋ 1

）≥ 1

≥

1 ，当 b =c 时等号成立；

2 2b 2c

2 bc

b c 1 （ 1 ＋

1

）≥

1

≥

1 ．当 a =c 时等号成立； 2

2c

2a 2 ca

c

a

三个不等式相加即得

1+1+1≥

1 + 1 + 1 ，当且仅当 a =b =c 时等号成立 .

2a 2b 2c b c c a a b

分析二： 从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。

证法二： ∵ a

0, b 0

(a

b)( 1

1 ) 4.

∴ 1

1 4 .

a b a

b

a b

同理：

1

1 4 . 1 1 4 .

c

b c b

a

c

a c ∴ 2(

1

1 1) a 4 4 c

a 4 .

a b c

b b c

∴1+1+1

≥

1 + 1 + 1

2a

2b 2c

b c c a a b

评注： 运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的

方法。

例 7 : 已知 a,b,c ∈ R +，且 a +b +c =1. 求证：

（ 1+a ）（ 1+b ）（1+c ）≥ 8（ 1－ a ）（1－ b ）（ 1－ c ） .

分析：在条件 “a +b +c =1”的作用下， 将不等式的 “真面目” 隐含了， 给证明不等式带来困难，

若将“ a +b +c ”

换成“ 1”，则还原出原不等式的“真面目” ，从而抓住实质，解决问题

.

+

证明： ∵ a,b,c ∈ R 且 a +b +c =1， ∴要证原不等式成立，

即证［（ a +b +c ）+a ］·［（ a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥ 8［（ a +b +c ）－ a ］·［（a +b +c ）－ b ］·［（ a +b +c ）－ c ］.