勾股定理经典例题含答案.

勾股定理经典例题含答案11页
勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，(a,b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。

古埃及人也应用过勾股定理。

在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：OC＝1米(大门宽度一半)，
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地
有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，
他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定
理得
（提问：勾股定理）
∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７cm．
类型四：利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。

斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

【答案】答：DE⊥EF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。

经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202
化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3
∴AD＝
S△ABC＝BC·AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3)
(3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2
化简得：n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。

例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。

【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积。

解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝AP＝80。

（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s
t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
类型三：数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE ⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：当已知
的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则，由勾股定理，得。

因为，所以，
，，。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF
的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以。

所以。

设，则。

在Rt△ECF中，，即，解得。

即EF的长为5cm。