2018-2019学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷(含答案)

北京市西城区2018— 2019学年度第一学期期末试卷
八年级数学 2019.1
试卷满分：100分，考试时间：100分钟
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是．．轴对称的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST ，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”． 2018年4月18日， FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为 （A ）0.519×10-2
（B ）5.19×10-3
（C ）51.9×10-4
（D ）519×10-6
3．在△ABC 中，AB =3，AC =5，第三边BC 的取值范围是 （A ）10＜BC ＜13 （B ） 4＜BC ＜12 （C ）3＜BC ＜8 （D ） 2＜BC ＜8
4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于
（A ）360° （B ）540° （C ）720° （D ）900°
5．对于一次函数y ＝（k -3）x ＋2，y 随x 的增大而增大，k 的取值范围是
（A ）k ＜0 （B ） k ＞0 （C ）k ＜3 （D ） k ＞3
6．下列各式中，正确的是（ ）．
（A ）2
242ab b a c c = （B ） 1a b b
ab b ++= （C ）23193x x x -=-+ （D ）22x y x y
-++=-
7．如图，已知△ABC ，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC 全等的是
图1
（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁
8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km ，线路二全程90 km ，
汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h ，则下面所列方程正确的是 （A ）
759011.82x x =+ （B ） 75901
1.82x x =- （C ）
759011.82x x =+ （D ）75901
1.82x x =-
9．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，∠CPE 的度数是 （A ）30° （B ）45°
（C ）60°
（D ）90°
10. 如图，线段AB =6cm ，动点P 以2cm/s 的速度从A ---B---A 在线 段AB 上运动，到达点A 后，停止运动；动点Q 以1cm/s 的速度从B---A 在线段AB 上运动，到达点A 后，停止运动．若动点P ，Q 同时出发，设点Q 的运动时间是t （单位：s ）时，两个动点之间的距离为s （单位：cm ），则能表示s 与t 的函数关系的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
6
326
3
o
t
s
4636
3o t s
636
o t s
6426
3o
t s
58°72°B c
C b
a 50°
A
c a 50°乙
甲50°
58°b
c
a
58°丙b
a 50°甲
P
E
D
C
B A
二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）
11．若分式1
1
x x -+的值为0，则x 的值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，-2）关于x 轴对称的点的坐标为 ．
13．计算20 + 2-2 = ．
14．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，
连接BD ．若AC =7，BC =5，则△BDC 的周长是 ．
15．如图，边长为a cm 的正方形，将它的边长增加b cm ，根据图形
写一个等式 ．
16．如图，在△ABC 中，CD 是它的角平分线，DE ⊥AC 于点E ．
若BC =6 cm ，DE =2 cm ，则△BCD 的面积为 cm 2．
第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 点A 的坐标为 （4，－3），且OA =5，在x 轴上确定一点P ，
使△AOP 为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P 的坐标 ； （2）请在图中画出所有．．
符合条件的△AOP ． 18．（1） 如图1，∠MAB =30°，AB =2cm ．点C 在射线AM 上，利
用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取
的BC 的长约为 cm （精确到0.1cm ）． （2）∠MAB 为锐．角．，AB =a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ， BC =x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．
E C D B A
三、解答题（本题共30分，每小题6分）
19．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式3
2
1025x y x y xy -+ （1）解： （2）解：
20．计算221244
1
x x x x x x x --++÷++
解：
21．解方程
6
133
x x x +=-+ 解：
22．如图，点A,B,C, D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB．
求证：∠E=∠F.
证明：
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1: y=3x与直线l2: y=kx+b交于点A(a，3) ，点B(2，4)在直线l2上．
（1）求a的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．
解：（1）
（2）
（3）关于x的不等式3x＜kx+b的解集为_________________．
四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）
24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(-2，0) ，D(-2，4) ，顶点B在x轴的正半轴上．
（1）写出点B，C的坐标；
（2）直线y=5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．
25．阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．
作法：
图3
证明：
五、解答题（本题8分）
26．在△ABC 中，AB ＝AC ，在△ABC 的外部作等边三角形△ACD ，E 为AC 的中点，连接DE 并延
长交BC 于点F ，连接BD ．
（1）如图1，若∠BAC =100°，求∠BDF 的度数；
（2）如图2，∠ACB 的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN ．
①补全图2；
②若BN =DN ，求证：MB =MN ．
图1 图2
（1）解：
（2）① 补全图形； ② 证明：
B
D
A
C
E
F
B
D
A
C
E
F
北京市西城区2018— 2019学年度第一学期期末试卷
八年级数学参考答案及评分标准 2019.1
一、选择题（本题30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B
D B D
C
C
A C
D 二、填空题（本题共18分，第11～16题每小题2分，第17，18题每小题3分）
题号 11 12 13
14 15
16 答案 1
（1， 2）
114
12
a 2 + 2a
b + b 2 = ( a + b ) 2
6
题号
17
18
答案
（1）答案不唯一，如：（-5，0）； （2）如图，
(1) 答案不唯一，如： BC =1.2cm ；
(2) x =d 或x ≥a ．
三、解答题（本题共30分，每小题6分）
19．（1）解： ()()x x a y a x -+- =()()x x a y x a ---
=()()x a x y -- ............................................................................................................ 3分
（2）解：3
2
1025x y x y xy -+ =2(1025)xy x x -+
=2
(5)xy x - ................................................................................................................... 3分
20． 解：221244
1
x x x x x x x --++÷++
=
2
12(1)(1)(2)x x x x x x -++⋅+- M B
A
=11
(2) x x x
+
-
=
21 (2)(2) x
x x x x
-
+
--
=
1
(2)
x
x x
-
-
............................................................................................................................ 6分
21．解：方程两边乘(x - 3)(x + 3)，得x(x+3)+ 6 (x-3)= x2-9．
解得x =1 ．
检验：当x =1时，(x - 3)(x + 3)≠0．
所以，原分式方程的解为x =1 ． ..................................................................................... 6分22．证明：∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AB = CD，
∴AB + BC = CD + BC
即AC = DB． ...................................... 3分
在△ACE和△DBF中，
∵
,
43,
, AC DB EC FB
=
⎧
⎪
∠=∠⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△DBF．....................................................................................................... 5分∴∠E=∠F．.................................................................................................................... 6分
23．解：（1）直线l1: y=3x与直线l2: y=kx+b交于点A(a，3) ，
所以3a =3．
解得a =1．
（2）由（1）点A(1，3) ，
直线l2: y=kx+b过点A(1，3) ，
点B(2，4) ，
所以
3,
2 4.
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
解方程组得
1,
2. k
b
=⎧
⎨
=⎩
直线l2的解析式为y=x+2．.............. 4分
4
32
1
E
C
F
D
H
B
A
（3）x＜1．
............................................................................................................................................... 6分四、解答题（本题共12分，第24题8，第25题6分）
24．解：（1）点B的坐标为(2，0) ，点C的坐标(2，4)；................................................. 2分
直线EC的解析式为
44
33
y x
=+，
（2）直线y=5x+5与x轴交于点E (-1，0) ，与y轴交于点F(0，5) ． ....................... 4分
直线EC的解析式为
44
33
y x
=+，
EC与y轴交于点H（0，4
3
），
所以FH=11
3
．
所以S△EFC=1
()
2E C
EH x x
⋅+=
11
2
． ......................................................................... 8分
25．（本题5分）
本题答案不唯一，如：
作法：如图3,
（1）延长BA至B’，使得AB’=AB；
（2）分别以点B ，点B’ 为圆心，BB’长为半径画弧，
两弧交于点C；
（3）连接AC，BC．
△ABC就是所求的直角三角形．.............................. 1分
证明:连接B’C．
由作图可知，BC= BB’ = B’C，AB’=AB，
∴△ABC是等边三角形(等边三角形定义)．
∴∠B=60° (等边三角形每个内角都等于60°)．
∴AC⊥BB’于点E (等边三角形一边上的中线与这边上的高相互重合)．
∴△ABC就是所求作的直角三角形．........................................................................ 6分
四、解答题（本题共8分）
26．（1）解：在等边三角形△ACD中，
∠CAD =∠ADC =60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE=1
2
∠ADC＝30°．................................................................................. 2分
∵AB＝AC，
∴ AD ＝AB ．
∵ ∠BAD =∠BAC +∠CAD ＝160°．
∴ ∠ADB =∠ABD ＝10°．
∴ ∠BDF =∠ADF -∠ADB ＝20°． ................................................................. 4分
（2）①补全图形，如图所示． ......................................................................................................... 5分
②证明：连接AN ．
∵ CM 平分∠ACB ，
∴ 设 ∠ACM =∠BCM =α．
∵ AB ＝AC ，
∴ ∠ABC =∠ACB =2α．
在等边三角形△ACD 中，
∵ E 为AC 的中点，
∴DN ⊥AC ．
∴ NA =NC ．
∴ ∠NAC =∠NCA =α．
∴ ∠DAN =60°+ α．
在△ABN 和△ADN 中，
∵ ,,,AB AD BN DN AN AN =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴ △ABN ≌△ADN ．
∴ ∠ABN =∠ADN ＝30°，∠BAN =∠DAN ＝60°+ α．
∴ ∠BAC ＝60°+ 2α．
在△ABC 中，∠BAC +∠ACB +∠ABC ＝180°，
∴ 60°+ 2α+ 2α+2α=180°．
∴α=20°．
∴ ∠NBC =∠ABC -∠ABN = 10°．
∴ ∠MNB =∠NBC + ∠NCB =30°．
∴ ∠MNB =∠MBN ．
∴ MB =MN ． ................................................................................................................... 8分 N B D A C
E F M。