数学建模——一个有趣的风险处理问题

一个有趣的风险理问题

摘要：

美国次贷危机和希腊主权债务危机的连接爆发使人们对金融创新特别是金融衍生产品创新中风险度量、风险控制甚至风险管理的理论和方法尽心了深层次全方位的审查和思考。消费信用是企业、银行和其他金融机构向消费者个人提供的、直接用于生活消费的信用。当前社会信用关系链的中断导致一系列的金融风暴，次贷危机，最主要问题是信用风险度量。因此衡量信用程度和还款能力来降低次贷风险系数是最主要的，而次贷风险的防范应从信贷源头开始。

调查显示：信贷源头防范的两个主要指标就是客户的偿还能力和信用程度。而衡量客户偿还能力的主要指标是贷款年限；在下文中，我们将着重对此已于分析说明；对客户的信用程度的衡量可通过我们调查的信用比例来。因此，下文我们将以贷款年限和信誉评分来预测次贷危机的风险性。毫无疑问，

关键词：

次贷危机、风险度量、信用程度、偿还能力、贷款年限、信用比例。

一﹑问题的提出与背景

2008年9月，美国金融市场风云再起，雷曼兄弟控股公司破产，美洲银行收购美林集团和AIG集团陷入危机。由此引发了美国金融市场的强烈震撼，并在国际金融市场掀起滔天巨浪，旷日持久的美国次贷危机终于演变成一场严峻的全球经济危机。危机爆发一年多来，贸易骤减，企业倒闭，失业增加，各国经济，特别是发达国家经济呈现出一片萧条的景象。危机爆发后，各国政府相继推出了一系列大规模的经济刺激措施和一揽子经济刺激计划。到2009年第四季度，这些经济刺激措施和经济刺激计划的效果开始显现，经济衰退的趋势有所缓解，经济似乎开始“复苏”甚至“超预期复苏”。然而，正当人们满怀豪情，举杯欢庆战胜又一次经济灾害之时，希腊政府主权债务危机爆发，这是我们始料不及的。刹那间，全球股市狂泻，世界经济又一次乌云密布，经济复苏的乐观情绪一扫而光。

然而，美国次贷危机和希腊主权债务危机都是因为信用关系链中断导致的金融危机，或者说，都是信用风险所导致的危机。两者的区别只是债务人不同而已。前面的债务人为个人，后者的债务人为政府。

美国次贷危机和希腊主权债务危机的接连爆发使人们对金融创新特别是金融衍生

产品创新中的风险度：风险控制甚至风险管理的理论和方法进行了深层次、全方位的审视和思考。有人认为，传统的以风险度量和风险控制为主构成的风险理论存在严重的漏洞，有人甚至认为应该把传统的风险理论推倒重来。Andrew的等人在他们刚刚(2010年4月)完成的论文“WARNING:Physics Envy May Be Hazardous To Your Health!”中已经就后危机时代风险理论研究提出了一个全新的框架，其中关于次贷风险的度量和防范成为一个重要的研究内容。

二﹑模型的假设

模型中的要素越多，其衡量结果往往越接近现实。但是在实际应用中，必须考虑

到成本/效益原则。过多的要素一方面给权重分配造成困扰，更重要的是，收集所有相关信息的成本可能会很高。实践中的经验是，从客户的种种特征中选择出对信用分析意义最大、直接与客户信用状况相联系的若干因素，把它们编为几组，分别对这些因素评分并综合分析，最后得到一个较为全面的分析结果。

1.一般来说，年轻的比年老者信用度高，借款后偿还能力强。

2.年龄在25-55周岁的人信用度强于其他年龄的人。

3.每月有固定收入的人信用度强于没有固定收入的。

4.一般说来，已婚认识的信用度高于单身人士。

5.薪水越高的人士偿还贷款的能力强于薪水低的。

6.在本地定居的人士的信用度高于不在本地定居的人士。

7.归自己所有住宅的人士高于其他租赁和不固定的人士。

8.有担保人的偿还能力强于没担保人的。

9.担保人的多的偿还能力强于担保人少的是指没担保人的。

三﹑建立模型

通过对以上模型假设的分析可建立以下关系：

年收入（元）——a 固定资产（元）——r

借款金额（元）——c 借款期限（年）——t

分期预算付款额（元）——b 银行利率（％）——i

偿还能力（％）——k 信用程度（％）——j

收回贷款的可靠性——f 申请者的信用得分——p

信用好对数的记分——s

对以上的数据关系中其中（年收入﹑固定资产﹑借款金额﹑分期预算付款额﹑银行利率）根据模型的假设全为定量，（申请者的信用得分﹑偿还能力﹑信用程度）根据模型的假设全为变量，p的测定可用附录1的数据进行评定，根据p的数值再由附录2的数据就可测出s的值。

注：为了读者便于理解下面的数学模型这里可引进两个参考公式：

资产 = 负债 + 所有者权益

个人（家庭）资产净值 = 个人（家庭）总资产 - 个人（家庭）总负债

1.在进行（偿还能力（％）——k ）的计算时可进行一个假设：假如有一个人问你借钱请问你最关心的是什么？（假如利率一定）那么有调查显示很多人最关心的是借

债年限(t)，那么可以说t是衡量一个人的偿还能力的主要标志。

根据以上关系（分期预算付款额（元）——b，借款金额（元）——c，借款期限（年）——t，银行利率（％）——i）于是我们有：

12bt=c（1+i）^t

∴ b = c（1+i）^t/12×t

又由经验可知如果一个人在较短的时间内还清债务的话那么他的偿还能就越强，反之，如果一个人在较长的时间内还清债务的话那么他的偿还能就越弱。所以假定 k ∝1/ t

由上式可得b，那么贷款户每月付给银行的资金站起收入的比例就为

q = 12 b/a = c（1+i）^t/t×a

由于模型假设6对模型的简化可得

k ∝ q

由于比例系数对k与q的单调性不影响，因此，为了简化模型可假设比例系数为1

即 k = c（1+i）^t/t×a

2.在进行（信用程度（％）——j）的计算时为了更全面的描述各个因素对信贷的影响我们将引进一个集合S﹛﹜:

根据申请表中的内容确定申请者信用价值的得分，用随机变量S表示，其结局

S=﹛s1,s2,s3,……,sN﹜

银行的决策D（design）是接受A（accept）还是拒绝R（refuse）“贷款者的申请贷款申请者的实际信用价值用随机变量X表示，其结构X=﹛G,B﹜其中G,B代表（good , bad）” D=﹛A,B﹜.决策结果V(X,D)取决是否贷款D和申请人的信用价值X，其可能的取值集合是

V=﹛0,g,-1﹜，其中，g是收益，-1是损失，即V（G,A）=g，V（B,A）=-1及V（G,R）=0，V（B,R）=0.信用得分s的边界概率为PS(s)，申请者信用价值的先验概率P(G)和P(B)是不随记分系统改变而改变的。

根据以上分析可知，贷款申请者的信用得分s是申请者信用好的机会的自然对数值，得分s申请者信用好的概率预测值为（信用程度（％）——j ），二者间有如下公式：s=In〔j/(1-j)〕 j≠1

解得 j=1/1+exp(-s) （1）

又因为信用得分s为银行评价一个客户的主要指标，由经验可知信用得分s越高那