高中数学人教版必修幂函数教案(系列一)

2.3 幂函数

课前预习·预习案

温馨寄语

你是花季的蓓蕾，你是展翅的雄鹰，明天是你们的世界，一切因你们而光辉

学习目标

1．能熟练利用幂函数的图象和性质解决相关的综合问题.

2．结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况.

3．通过实例了解幂函数的概念.

学习重点

幂函数的图像和性质

学习难点

幂函数的图像和性质

自主学习

1．幂函数的概念

(1)解析式为：(其中为常数).

(2)自变量是：.

2．常见的五种幂函数的图象与性质

幂函数

图象

定义域__________ __________ __________ ________ __________ 值域__________ _________ __________ __________ __________ 奇偶性__________ __________ __________ __________ __________ 单调性__________ __________ __________ _________ __________

过定点____________________________

预习评价

1．下列函数中不是幂函数的是

A. B. C. D.

2．幂函数是二次函数，则

A.1

B.4

C.2

D.3

3．已知，，则.

4．幂函数的定义域为，其奇偶性是.

5．幂函数在(0，∞)上是减函数，则的取值范围是.

知识拓展·探究案

合作探究

1．幂函数的解析式根据幂函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征：

(1)特征1：自变量在位置，且只能是而不能为关于的代数式.

(2)特征2：指数位置为，不含变量.

(3)特征3：的系数是.

2．幂函数的图象和性质根据幂函数为常数)的解析式及当到不同范围内值时在第一象限的图象的特征，思考下列问题：

(1)观察上面的图象，①当时图象都经过定点，.

②当时，图象经过定点.

(2)观察上面的幂函数图象，分析幂函数在区间(0，∞)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，∞)上为减函数时，满足的条件是什么？

3．幂函数的图象和性质幂函数中，令(其中，).讨论，的取值是如何影响函数的奇偶性的？

教师点拨

1．对幂函数解析式的说明

(1)定义中所说的形如为常数)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是幂函数.

(2)解析式中的指数是常数.

2．对幂函数图象与性质的三点说明

(1)定点：所有幂函数的图象均过定点(1，1).

(2)单调性：当时，在区间(0，∞)上是增函数；当时，在区间(0，∞)上是减函数.

(3)图象特征：当时在区间(0，∞)上增加得越来越快；当时

在区间(0，∞)上增加得比较缓慢.

交流展示

1．在，，，四个函数中，幂函数有

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2．已知是幂函数，求，的值.

3．如图所示的曲线是幂函数的第一象限的图象，已知，相应于曲线，，，的值依次为

A. B.

C. D.

4．已知幂函数的图象过点，试求出该函数的定义域、单调区间、奇偶性.

5．若，则的取值范围是

A. B. C. D.

6．把，，，，按从小到大的顺序排列 .

学习小结

1．幂函数的判断方法

(1)看形式：判断一个函数是否是幂函数，关键看解析式是否符合为常数)这一结构形式.

(2)明特征：幂函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是幂函数.

2．求幂函数解析式的依据及常用方法

(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.

(2)常用方法：设幂函数解析式为，根据条件求出.

3．幂函数图象的画法

(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象.

(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限内的图象.

4．求幂函数中含参数问题的三个步骤

当堂检测

1．已知函数为幂函数，求其解析式.

2．比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与.

(2) 与.

(3) 与.

答案

课前预习·预习案

自主学习

1．(1)y＝x a(2)x

2．R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R[0，＋∞)R[0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}奇偶奇

非奇非偶奇增x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0)减增增x∈(0，＋∞)减，x∈R(－∞，0)减(1，1)

预习评价

1．D

2．B

3．1

4．(0，＋∞)非奇非偶函数

5．a＞2

知识拓展·探究案

合作探究

1．(1)底数(2)常数α(3)1

2．(1)①(0，0)(1，1)②(1，1)

(2)当α＞0时，y＝x a在(0，＋∞)上为增函数.

当α＜0时，y＝x a在(0，＋∞)上为减函数.

3．当p，q都为奇数时，幂函数y＝x a(α为常数)为奇函数；当p为奇数，q为偶数时，幂函数y＝x a(α为常数)为偶函数.

交流展示

1．B

2．由题意得

解得

所以m＝－3，.

3．B

4．因为，所以，

即，所以.

由，得x≠0，