【衡水金卷先享题 调研卷】2019高考模拟试题 理科数学(三)(含答案)
河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷及参考答案
河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1|,1|<=<=xe x B x x A ，则( )A. {}1|<=x x B AB. {}e x x B A <=|C. R B C A R =)(D.{}10|)(<<=x x B A C R2. 已知i 为虚数单位，若1i(,)1+ia b a b =+∈R ，则b a = （ ） A. 1 B.2 C.22D.2 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.24.函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（ ） A. 51 B. 1 C. 53 D. 565.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 （ ）A ． 932B ．516C ．38D ． 7166.已知0>a ，)6(log )(ax x f a -=，则“31<<a ”“是)(x f 在)2,1(上单调递减”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数)(x f y =的图象在下列四个选项中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列{}n a 满足n n a a <+1.则该函数的图象可能是( )A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线的左、右焦点分别为， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B.C. D.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 122F F c =2F x A 3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭22F Q F A >P C 11232PF PQ F F +>2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭71,6⎛⎫⎪⎝⎭7,62⎛ ⎝⎭1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10.已知实数、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x y x y x ，若1)1(-+≥x k y 恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．]3,21[ B ．]34,(-∞ C ．),3[+∞ D ．]21,(-∞11.已知三棱锥中，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A. B.π6 C. π9 D. π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),7[+∞-上的所有零点之和为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为__________．14.522)1)(111(x xx +++展开式中2x 的系数为 15.过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B ，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N ，若△MON的面积为，则|AF |=________.16..已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=C B ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，13,111+==+n n S b b .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；A BCD -2,2AB AC BD CD BC AD =====AD BCD π8（Ⅱ）若数列{}n c 满足*+∈=+++N n a b c b c b c n nn ,12211 ,求201721c c c +++ 的值18．(本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中2,3,300===∠AB AD A ，沿BD 将ABD ∆翻折到BD A '∆的位置，使平面⊥BC A '平面BD A '.（1）求证：⊥D A '平面BCD ；（2）在线段C A '上有一点M 满足C A M A ''λ=，且二面角C BD M --的大小060，求λ的值.19． (本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知定点)0,1(F ，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0=∙，=+．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 第一象限上一点),(00y x R （其中10>x ）作切线交直线1-=x 于点1S ，连结RF 并延长交直线1-=x 于点2S ，求当21S RS ∆面积取最小值时切点R 的横坐标．21.(本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(22R a ax x a x x f ∈-+-=. （1）若0>a ，求函数)(x f 的单调性；（2）若0=a 且)1,0(∈x ，求证：11)(2<-+xx e x f x 请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选4－4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()f x x a a=--+，()2124g x x x =-++．（1）解不等式()6g x <；（2）若对任意的1x ∈R，存在2x ∈R，使得()()12g x f x -=成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】1-12.CBDDC,AAABD,AB13. 14. 15 15. 2 16. 1017．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．依题意得解得，，所以. 当时，，当时，，，以上两式相减得，则，又，所以，.所以为首项为1，公比为4的等比数列，所以．（Ⅱ）因为，当时，，以上两式相减得，所以，.当时，，所以，不符合上式，所以.18．解：（1）中，由余弦定理，可得.∴，∴，∴.作于点，∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴. 又∵，，∴平面.又∵平面，∴.又，，∴平面.（2）由（1）知两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，.设，则由.设平面的一个法向量为，则由,取.平面的一个法向量可取，∴.∵，∴.19．解：（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.20．解：（1）设，，.因为，，所以，，，所以.（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，.21.解：解法一：（1）函数的定义域为，，若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则.设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，P (x 0)·P （1）<-2<0,故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则222211121'()20x x x g x x x x x x---=--=<<， 则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.22．解：（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=；（2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为123．解：（1）由21246x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<，即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立， 即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+，知()(],f x a ∈-∞， 由()2124g x x x =-++≥()()21245x x --+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.。
【衡水金卷先享题信息卷】2019届高三理科数学普通高校招生全国统考模拟试题(三)及答案(扫描版,全国I卷A)
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2019年衡水中学高三三调理科数学试题及答案
2018〜2019学年度上学期高三年级三调考试数学（理）试卷命题人2tanAtanB A, z、则皿伽奸燮）的值頫）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，时间120分钟.一、选择题畠本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.1、集合M = { X|2X2-X-1<0},N= { xpx + a>O}t U = R,若网。
（：剥=巾，贝血的取值范围是（）A. a>lB. a > 1C. a < 1D. a 12 22、若直线尸虹与双曲线寻一f=l相交，则A的取值范围是（）A.(0, |B. 2 2、孑3D.-8, -|)峭，-I—)3、在△4BC 中，AB = 3t AC = 2, BD = -BC,则AD-BD=( )2C.--4丄'14、已知数列{%}的前项和S…=n2-n ,正项等比数列也}中，b2=a3 r如+3札T = 4矿(〃 2 2顼E N+ ),则log2如=(A. n-1B. 2n-lC. n-2D- n5、已知直线ax-by-l = O与圆c：（x-l）2^（y + a）2^l相交于A, B,且△ ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为（） 1A. -或"B. -17C. D. 1或-16、在△ ABC中，a, b, c分别是角A, B, C的对边，若a^^=20U c2A. 2013B. 1 D. 20147、已知点旳，牧泌夭0）是圆C*『V瑚内一点，直线1是以M为中点的弦所在的直线，直线盼的方程为bxra^r2^那么C I丄淞且in与圆C相离B "加且/W与圆C相切D 〃/说且w与圆C相离8、若圆工2 +y 2 一邳+2* +1=0和圆工2 +歹2 =1关于直线y =工一1对称，过点C （一外。
）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是A.C.9、A.y 2 - 4x +4* + 8 = 0y2+4x-4j^ 4-8 = 0B. J/ ? +及一2» + 2 = 0D. y 2—2x —y +1 = 0平行四边形A8CD中，AB = 2,AD = 1,AB ' AD = 点M在边CD上，则Sv新8的最大值为（）C・D.10、已知椭圆「+%■ = 1 （a > 0,方> 0）上一点A关于原点的对称点为点B, F为其右焦点，若a bAF1BF,设ZABF = a,且a e 则该椭圆的离心率e的取值范围是（6 4A.,1] B.成屈1] C. D.IK已知点A是抛物线xMy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|曲PB|,当m取最大值时，点P恰好在以A, B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.),曲T2~C.姬+1髙三年级、数学（理）试题、第1页共3页12、已知在R 上的函数F(x)满足如下条件：①函数,(工)的图象关于y 轴对称；②对于任意 xe J R,/(2 + x)-/(2-x) = 0 ；③ 当 XG ［0,2］时，/ (x) = x ；④函数 f^x)^f(r-x-x),n&N\若过点(-1,0)的直线,与函数扁⑴ 的图象在工司0,2］上恰有 8个交点，在直线/斜率左的取值范围是( ) A- (°,号) B. (0,?) C. (0,~) D. (0,?)H 卷二、填空题:本题共4个小题，每小題5分，共20分.13、在A48C 中，M&c 分别是角&.&C 的对边，已知sin(2n + S )= !，b = \,山因。
2019届四省高三第三次大联考【衡水金卷】数学(理)试题(解析版)
2019届四省高三第三次大联考【衡水金卷】数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．复数满足为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则进行计算，然后确定其虚部即可.详解：由复数的运算法则可得：，据此可知，复数的虚部为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式得到关于d的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为直角三角形，且直角三角形的直角边长度分别为dcm,9cm，其高为8cm，结合三棱锥体积公式可得：，解得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．设集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定集合N，然后考查两个集合的关系即可.详解：求解二次不等式可得：，则，则集合M是集合N的真子集.据此可知.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将问题转化为数列的问题，然后求解数列中对应的项即可.详解：原问题等价于：已知等差数列中：，且：，，求的值.不妨设数列的公差为，则：，即，①则，②联立①②可得：，.即最小的一份为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查等差数列及其应用，等差数列的前n项和等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．对任意实数有若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意分别求得的值，然后两者作差得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：令可得：，即，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，则，结合题意有：，解得：.本题选择B选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．6．双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合圆的方程首先确定渐近线方程，然后结合双曲线的方程求得b的值，之后求解离心率即可.详解：圆的方程的标准方程为：，圆的圆心坐标为，且经过坐标原点，双曲线的渐近线经过坐标原点，若双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分,则双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，据此可得：，双曲线的离心率为.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定程序的功能，然后结合题意确定a的取值范围即可.详解：由程序语句可知程序运行程序过程中数据变化如下：S=11，i=9；S=20，i=8；S=28，i=7；S=35，i=6，此时结束循环，故6<a≤7.即程序中的取值范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查程序语句是识别与应用，当型循环与直到型循环的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。
河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试(理)试题
河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n nn S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-② 由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+. 20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =， 因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+， 所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题 Word版含答案
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA 二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =，因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。