分形理论

图1.4 人体小肠的自相似结构
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝 与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该 树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的 特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会 无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之 间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉， 也可以发现类似的自相似结构。
（二）自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从 不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系 统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在 整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。 一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局 域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似 性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、 经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于 物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普 遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几 个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发 现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这 两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物 质系统之间存在着自相似的性质。 物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存 在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的 产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、 血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度 的自相似性。图1.4是人体小肠的结构，由图可以看 到，当以不同的放大倍数观察小肠结构时，即从a到 e较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构 具有自相似性。
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总结欧氏几何的测量可以看到：第一类几何图形 的测量是以长度为基础；第二类几何图形也是以长度 （两点间的距离r ）为基础的，平面图形以圆为基础， 空间图形以球为基础。所以，在欧氏几何中对规整几何 图形的测量，可以用下式来表示：
长度= l 面积= al
2来自百度文库
( 2.1) V bl3
体积 = 式中a和 b为常数，称为几何因子，与具体的几何图 形的形状有关，如对圆 a ；对球， b 4 . 由式 3 （2.1）可以得出如下结论： 它们是以两点间的距离为基础的，而且它们的量纲 数分别等于几何图形存在的空间的维数。 在物理学中，大于3维的空间也是存在的，如把时间和 空间一起加以考虑，就得到了所谓的四维空间。 以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何 形状的变量个数及自由度数是一致的。也就是说，直线 上的任意点可用1 个实数来表示，平面上的点可用由2 个实数组成的数组来表示……
所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标 度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的 koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它 放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很 显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关 的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性 并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸 线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称 之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相 似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形, 如图1.5所 示。
医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市 规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、 商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在 发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具 有强大的生命力。
一、非线性复杂系统 （一）什么是分形（fractal）
下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解， 但不够精确，也不够数学化。 定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整 体相似的形状叫分形。 定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合， 它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则 （irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小， 这种集合的不规则性仍然是明显的。 分形具有广阔的应用前景, 在分形发展的过程中， 许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。 分形作为一种新的概念和方法正在许多领域应用探索。 美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就 不能称为科学的文化人。正因为分形饱含哲理，概念新 颖，且应用前景宽广，才能引起人们的浓厚兴趣。
我们把自由度数作为维数，也称为经验维数。
现在我们会问:是否有非整数维的几何存在呢？实际上, 若对长度为1的线段n等分，每段长为r，则
nr 1
(2.2)
对面积为1的正方形作n等分，每个小正方形的边长 为r，则
(2.3) n r2 1 对体积为1的正方体作n等分，每个小正方体的边长 为r，则 (2.4) n r3 1 上面三个等式中，r的幂次实际上就是几何体能得 到定常度量的空间维数，于是有如下公式
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有 2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研究 图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线 段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种 三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、正 四面体等。另外一类就是曲线或由曲面所组成的几何图 形，平面上的圆与椭圆，空间中的球、椭球、圆柱以及 圆台等。这些点、直线、平面图形、空间图形的维数 （欧氏维数）分为为0、1、2、和3。对规整几何图形的 几何测量是指长度（边长、周长以及对角线长等）、面 积与体积的测量。所以在欧氏几何测量中，可以把上述 两类几何图形（分别以正方体和球作为代表）归纳为如
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明， 自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一 切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形 和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严 格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度， 就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方 体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物 体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特 征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加 简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有 太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高 度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错； 如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替 身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说， 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、
下二点： (1)长度= l , 面积= l 2, 体积= l 3（正方体）； 4 (2)长度（半径）= r,面积= r 2 , 体积= r 3(球）； 由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是 长度单位的1、2和3次方，它们恰好与这些几何图形存在 空间的欧氏维数相等，而且均为整数。 除了正方体和球以外的那些几何图形的体积，都可 以用正方体或球来进行测量。
“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理部 研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot ）在 1975 年首次提出（创造）的，其原义 是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词 是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英 文 中
frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山 西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就 有了“日月光明，分形变化”的语句。 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
（三）标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，
对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的 形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它 的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。 所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果 用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看 到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放 大镜的倍数。
分形理论
——非线性科学三大理论前沿之一
前言
一、非线性复杂系统 （一）什么是分形（FRACTAL） （二）自相似性 （三）标度不变性 二、非欧氏几何学（分形几何学） 三、分形理论的应用 结束语
分 形 理 论
——非线性科学三大理论前沿之一
前
言
自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的， 而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中， 它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个 例子。 在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一 种复杂现象，非线性关系更是常见。 客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上 是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原 论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这 种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科 学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人
们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本 来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而 生。 在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征， 但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律 性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这 些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形 态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间 的本质联系。 目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会 议论文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉 及分形理论和应用的论文。世界上1257种学术刊物在80 年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发 表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材 料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、
图1.5 三次koch曲线
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一 段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成 一个生成单元，如图1.5(b).然后再把每一条直线段用 生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无 穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是 相当理想的。
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。 所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状 态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描 述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几 何。
koch曲线是分形的，因为它是自相似的。自相似性 就是跨尺度的对称。它意味着递归，在一个图形内部还 有图形。从图1.5（e）中可以清楚看到这一点。自相似 性指的是，把要考虑的图形的一部分放大，其形状与整 体相同。设想把图1. 5（e）中的koch曲线区间[0,1/3] 中的图形放大3倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全 相同。把区间[2/3,1]放大3倍，也会得到同样的结果。 虽然区间[1/3,1/2] ，[1/2,2/3]的图形是倾斜的，但是 把它放大，也会得到同样的结果。若把区间[0,1/9]的图 形放大9倍，同样也可以产生与原来相同的图形。对更小 的部分进行放大也是如此，不论多小部分，若把它放大 到适当大小，应该能得出与原来相同的图形。