初一数学培优专题三：方程与不等式的综合应用

专题三：方程与不等式的综合应用

◆类型一图表问题

1．如图，一个多边形的顶点全在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中三角形ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中

a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的

值．

变式：（3）)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN+bL+c,其中a，b,c为常数，若某格点多边形对应的N＝7，L＝18，求S的值．

2．某中学2015年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生共23名，资助一名中学生的学习费用需a元，一名小学生的学习费用需b元，各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表：

年级筹款数额(元)

资助贫困中

学生人数(名)

资助贫困小

学生人数(名)

初一年级4000 2 4

初二年级4200 3 3

初三年级7400

(2)初三年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求出初三年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少．

◆类型二方案问题

此类问题通常第(1)问列方程(组)解决，第⑵问列不等式解决，解题思路及过程同平时列方程(组)、不等式(组)解应用题相同．

这类综合题只是限于实际问题的要求，题目中相关的量为正整数，该量每取一个整数解，就可得实际问题的一种解决方案，不等式有多少个整数解，实际问题就相应有多少种解决方案．

3、汕头森达汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车每辆7万元，面包车每辆

4万元，公司共投入的购车款为55万元.

求轿车与面包车各购多少辆？

变式：汕头森达汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司共投入的购车款不超过55万元.

符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由

4.某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴。该地农户夏爷在改善的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投入共14万元，相关信息如表所示

根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖?

变式：某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴。该地某农户夏爷在改善的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投入不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益,相关信息如表所示

(收益=毛利润-成本+政府津贴)：

(1)根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖?

(2)应怎样安排养殖,可获得最大收益?

5、学校组织270名同学和7名教师参加校外学习交流活动，现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为45人辆，小客车载客量为30人辆

学校准备租用7辆客车，有几种租车方案？

在的条件下，若大客车租金为400元辆小客车租金为300元辆，哪种租车方案最省钱？

学校临时增加10名学生和4名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有1名教师带队同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有20人，请你帮助设计租车方案．

6、为了解决震后灾区水源问题，政府决定给汶川某镇购置10台污水处理设备，现在有A、B两种型号，其中每台月处理污水量如下表：Array（1）若同时购置A、 B型各两台需资金44万

元，若购置A型一台，B型2台则共需资金32万元，请问A、B型污水处理设备每台各为多少万元？

（2）经预算，政府只用于购置设备资金不高于105万元，且该镇每月预计将产生污水量为2040吨，为节约灾款，请你设计购置的方案？

7、为迎接新生考试，改善办学条件，我们学校计划购买日立空调和宜家课桌.第一次用去9万元购买了日立空调10台和宜家课桌200张.第二次用去9万元购买了日立空调12台和宜家课桌120张.

（1）每台日立空调和每张宜家课桌的价格各是多少元？

（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售，规定：一次购买日立空调35台以上（含35台），按九折销售，一次购买宜家课桌600张以上（含600张），按八折销售.学校准备用27万元全部购买空调和课桌.其中空调不少于35台，课桌不少于600张，问

有几种购买方案？

8、深汕高速公路要经过澄海某村，因工程的需要，需搬迁一批农户；政府在“节约土地资源，保护自然环境，保证农民正常生活”的前提下，统一规划了搬迁建房区域，规划要求区域内的绿地面积不得少于区域内总面积的20%，如果搬迁农户每户占地150m2，则区域内绿地面积还占规划区域总面积的35%；某政府采取优惠政策，鼓励其他有积蓄的农户到规划区域内建房，这样又有15户农户加入，若仍以每户建房占地150m2计算，则这时绿地面积又只占规划区域总面积的10%；

（1）求最初搬迁的农户有多少？政府规划的建房区域总面积是多少？

(1)为保证绿地面积不少于规划区域总面积20%,至少需退出几户农户？

（3）在第（1）（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，而若在政府在此处建造大型的污水厂处理污水则需每吨10元，请你计算，该镇自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：该镇处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）