微分方程在经济方面的应用

目录摘要 (I)Abstract................................................................................................................ I I 第1章绪论 (1)1.1 课题研究背景及目的 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究方法 (1)1.4 研究内容 (2)第2章经济学中常用微分方程的解法 (3)2.1 微分方程的简介 (3)2.2经济中常用微分方程的解法 (3)第3章三个经济模型 (8)3.1价格调整模型 (8)3.2蛛网模型 (9)3.3Logistic模型 (10)第4章微分方程在经济的两个分析中的应用 (12)4.1边际分析 (12)4.2弹性分析 (12)结语 (14)参考文献................................................................................. 错误!未定义书签。

附录..................................................................................... 错误!未定义书签。

致谢..................................................................................... 错误!未定义书签。

微分方程在经济方面的应用摘要微分方程是数学的一个重要组成部分，本文首先对微分方程的解法做了简要介绍，使下文的使用有根有据。

然后通过经济学中的三个模型两个概念分析，阐述了微分方程在经济中的广泛应用。

关键词：微分方程；经济模型；概念分析；应用Research of AES Encryption AlgorithmAbstractThe theory of essential truth is not only an important aspect of the Marxist theory of truth in journalism, but also a major principle and guideline in the course of socialistic journalism. However, there are more or less misunderstandings on putting this theory into practice. Even some journalists doubt and deny the feasibility of carrying this theory out. This thesis focuses on the practice of the theory of essential truth. The operation of this theory is an activity performed by the medium under the principle of the scientific view of cognition. On the premise of objectivity, fairness, complete and balance, journalists can achieve the goal of essential truth by using the methods of report such as, successive report, serial report and integrated report on the basis of interaction and combination of individual efforts and group work.Key words: essential truth in journalism； operate； successive report；serial report；Integrated report第1章绪论1.1 课题研究背景及目的数学，它涉及我们日常生活的方方面面，而如今，它的应用也遍及几乎所有的科技领域。

如何将这门古老、严谨的科学理论应用到实践当中去已经成为现在众多学者研究的主要课题。

随着经济社会的快速发展，数学在经济活动中的应用越来越多。

数学方法对经济问题的定性分析和定量分析是严谨的、缜密的、可信的。

而微分方程，作为高等数学的一个重要分支，为研究两个或多个经济变量之间的关系和经济规律提供了一种机理分析的方法。

经济学中的一些理论，可以通过微分方程转化为易懂、明了的公式。

这就在一定程度上方便了人们对一些较难经济理论的理解，而且，数学的多样性，在各领域应用的广泛性也使得这些理论可以解释更多的经济问题。

1.2 研究现状国内外对微分方程在经济领域的应用的研究有很多。

微分方程大致与微积分同时产生。

苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。

牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。

后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

数学家们经过长时间研究，证明了求微分方程的通解一般是不可能的，逐步放弃了这一奢望，转而研究定解问题、初值问题、边值问题等。

在当代，微分方程展示了它强大的生命力与广泛的应用性，在经济领域，它已经成为重要的研究工具之一。

1.3 研究方法在应用微分方程解决经济问题时，一般有三个步骤。

第一步是建立模型，即根据实际问题建立实际的微分方程模型。

可以通过对实际问题的分析，做出合理的假设并将其简化或抽象成一个数学问题。

根据微分方程构造出函数、自变量及自变量导数间的关系。

第二步就是求解建立好的微分方程。

第三步是对得出的结果进行分析。

对常系数和线性微分方程，往往能得出其解析解或精确解。

这对解决实际的经济问题有很大帮助。

对于一些变系数及非线性的微分方程，可以通过特定的方法，如欧拉方程和拉普拉斯方程求解。

1.4 研究内容本文着重分析微分方程在价格调整模型，蛛网模型,logistic模型三个模型及边际分析，弹性分析两个分析中的应用，借这三个模型，两个分析来说明微分方程在经济中的应用十分广泛。

第2章 经济学中常用微分方程的解法2.1 微分方程的简介含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。

未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。

2.1.1 方程的阶微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。

若一个微分方程的阶为n ，则称这个微分方程为n 阶微分方程。

2.1.2 方程的解（1）、如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解。

（2）、求微分方程解的过程，叫做解微分方程。

（3）、若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。

当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。

通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。

一般地，一阶微分方程的初始条件为：0x x =时，0y y =。

二阶微分方程的初始条件为：当0x x =时，)1(0y dxdy =。

2.2 经济中常用微分方程的解法2.2.1 一阶微分方程的求解（1）变量分离方程：形如 )()('x q x p y = （1）的方程。

其中)(x p ,)(x q 分别为,x y 的连续函数。

将（1）式写成dx x p y q dy )()(=的形式，两边同时积分得到 c dx x p y q dy +=⎰⎰)()( （2）例：求解方程.y xdx dy-=解 将变量分离，得：,xdx ydy -=两边积分，既得,22222cx y +-=因而，通解为,22c y x =+这里c 是任意常数。

齐次微分方程： 形如)(x yf dx dy=（3） 的方程。

其中)(u f 为u 的连续函数。

作变量变换,x yu =（4） 即ux y =，于是,u dx dux dx dy+=（5） 将（4），（5）代入（3）中，原方程变为),(u f u dx dux =+整理后，得到.)(x uu f dx du-=（6） 是个变量分离方程。

可按变量分离的方法求解得到结果。

例：.y x yxdx dy -+=解 .11xyxydx dy -+= 令x y u =，以,ux y =.u x dx dudx dy+=代入。

则原方程变为uu u x dx du -+=+11， 即.1)1(2xdx u du u =+- 两边同时积分，得到.ln )1ln(21arctan 2c x u u +=+- 将x y u =代入得到通解.ln )1ln(21arctan 22c x x y x y +=+- 一阶线性微分方程：,)(y x p dxdy = 称为一阶齐次线性微分方程。

其通解为,)(⎰=dx x p ce y其中c 是任意常数。

),()(x q y x p dxdy +=其中0)(≠x q ， 称为一阶非齐次线性微分方程。

其通解为))(()()(⎰+⎰⎰=-c dx e x q e y dx x p dx x p 。

2.2.2 二阶常系数线性微分方程的求解1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法形如'''0y py qy ++=（其中,q p 为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其求解步骤如下：（1）求解方程'''0y py qy ++=的特征方程20p q λλ++=；（2）根据特征方程根的不同分为如下三种情形：1） 当240p q ∆=->时，两特征值为12λλ≠，则原方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+；2） 当240p q ∆=-=时，特征方程有两个相等的实根12λλ=，则原方程的通解为()112x y C C x e λ=+；3） 当240p q ∆=-<时，特征方程有两个共轭虚根1,2i λαβ=±，则原方程的通解为()12cos sin x y e C x C x αββ=+.例1：求'''60y y y --=的通解.解 方程'''60y y y --=的特征方程为260λλ--=，特征值为122,3λλ=-=，原方程的通解为2312x x y C e C e -=+.例2：求'''440y y y -+=的通解.解 方程'''440y y y -+=的特征方程为2440λλ-+=，特征值为122λλ==，原方程的通解为()212x y C C x e =+.例3: 求'''220y y y -+=的通解.解 方程'''220y y y -+=的特征方程为2220λλ-+=，特征值为1,21i λ=±，原方程的通解为()12cos sin x y e C x C x =+.2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形如()'''y py qy f x ++=（其中,q p 为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据()f x 的不同形式可将求特解方程分为如下两种情况：（1）()()kx n f x P x e =情形一：若k 非特征值，令()()001n kx kx n y a a x a x e Q x e =+++=.如：()'''21x y y y x e --=+，令()00x y a b e =+；情形二：若k 与一个特征值相同，令()()001n kx kx n y x a a x a x e Q x e =+++=.如：()'''221x y y y x e --=+，令()()2220x x y x ax b e ax bx e =+=+；情形三：若k 与两个特征值都相同，令()()2001n kx kx n y x a a x a x e Q x e =+++=.如：()'''24421x y y y x e -+=-，令()()223220x x y x ax b e ax bx e =+=+.代入原方程整理后的式子为：()()()'''22n Q k p Q k pk q Q P x +++++=，特别地，若k 与一个特征值相同，则()()'''2n Q k p Q P x ++=；若k 与两个特征值相同，则()''n Q P x =.（2）()()()cos sin x l s f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦令{}max ,n l s =，情形一：若i αβ+不是特征值，则令()()()()()120cos sin x n n y x e Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦；情形二：若i αβ+是特征值，则令()()()()()120cos sin x n n y x xe Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦.例：设'''22cos x y y y xe x -+=，求该方程的特解形式. 解 由2220λλ++=得特征值1,21i λ=±，因为1,1αβ==且1i i αβ+=+为特征值，所以该方程的特解形式为()()()0cos sin x y x xe ax b x cx d x α=+++⎡⎤⎣⎦.第3章 三个经济模型微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，经济模型从状态上分一般有两类,静态模型和动态模型。