微分方程应用实例
数学中的微分方程组
数学中的微分方程组微分方程组是数学中一个重要的研究对象，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
它是由多个微分方程联立而成，描述了多个未知函数随着独立变量的变化而变化的关系。
本文将介绍微分方程组的基本概念、求解方法以及应用实例。
一、微分方程组的基本概念微分方程组是由多个微分方程联立而成的方程集合。
它可以描述多个未知函数与自变量之间的关系，并且这些未知函数与自变量之间可能存在相互影响。
在微分方程组中，未知函数的导数与自变量的关系通常是以向量形式表示的。
例如，考虑一个二阶线性微分方程组：\[ \frac{d^2y}{dt^2} + A \frac{dy}{dt} + By = 0 \]其中，未知函数y是一个向量，A和B是已知矩阵。
这个微分方程组可以描述物理系统中多个相关变量的演化规律。
二、微分方程组的求解方法求解微分方程组的方法通常取决于其类型和性质。
以下是几种常见的求解方法：1. 解析方法：对于一些可以求得解析解的微分方程组，可以直接通过积分和代数运算得到解析解。
例如，对于线性常系数微分方程组，可以通过特征值分解和特解叠加的方法求得解析解。
2. 数值方法：对于一般的微分方程组，往往难以求解解析解。
此时可以利用数值方法进行近似求解。
常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代来逼近真实解。
3. 变换方法：有些微分方程组可以通过变量替换或坐标变换的方法转化为更简单的形式，从而更容易求解。
例如，可以利用拉普拉斯变换、傅里叶变换等方法将微分方程组转化为代数方程组。
三、微分方程组的应用实例微分方程组在科学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍几个应用实例。
1. 电路分析：电路中的电压和电流可以通过微分方程组来描述。
通过求解微分方程组，可以得到电路中各个节点和元件的电压和电流随时间的变化规律，从而分析电路的稳定性和性能。
2. 力学系统：刚体运动、振动系统等力学问题可以通过微分方程组进行建模和求解。
通过求解微分方程组，可以得到系统中各个物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律，从而研究物体的运动特性。
微分方程的求解方法应用与实例
微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。
本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。
一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。
分离变量法适用于可分离变量的微分方程。
通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。
参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。
通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。
齐次法适用于齐次线性微分方程。
通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。
常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。
通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。
二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。
以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。
之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
最后将等式两边积分得到微分方程的解。
三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。
常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。
以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。
四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。
假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。
3.1微分方程模型-微分方程的几个简单实例
微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。
在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。
当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。
与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。
设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。
讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。
设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。
B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
微分方程应用
微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。
通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。
一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。
许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。
例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。
通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。
二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。
许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。
以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。
通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。
三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。
通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。
总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。
无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。
通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。
高考数学中的微分方程应用及实例题解析
高考数学中的微分方程应用及实例题解析一、微分方程的应用微分方程在数学中有着广泛的应用，而在高考数学中尤为重要。
微分方程可以用来描述各种物理和工程问题中的连续变化。
在高考数学中，微分方程的应用主要包括解决物理和工程问题，并用微分方程模型求解。
下面，我们将以几个实例来解释微分方程的应用。
二、实例题解析1. 一个水箱有一个进水口和一个排水口，进水口的水速是10升/分钟，排水口排水的速度是6升/分钟。
在水箱的初态下，水箱的水量是7升。
求15分钟之后水箱的水量是多少？解答：由于水箱的进水口和排水口都是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
不妨设水箱的初始状态下的水量为y，当t时间后，进水和排水的水量都为10-6=4升/分钟，因此有：y'(t)=4根据微分方程得：y(t)=4t+C由于初态下，水量为7升，因此C=7。
当t=15时，有：y(15)=4*15+7=67因此，15分钟后水箱的水量是67升。
2. 某商品的回报率为r，市场容量有限，其市场占有率y变化满足dy/dt=ry(1-y)，y初始为0.2，求当市场占有率达到60%时所需的时间。
解答：由于市场占有率随时间的变化是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
设市场占有率为y，时间为t，有：dy/dt=ry(1-y)将该微分方程分离变量得：1/(y(1-y))dy=rdt两边积分得：ln|y/(1-y)|=rt+C由于当y=0.2时，t=0，因此C=ln(1/4)。
当y=0.6时，有：ln|0.6/(1-0.6)|=0.4r+C代入C得：ln(3/2)=0.4r+ln(1/4)解得r=ln3/16，因此所需的时间为：t=[ln(3/2)-ln(1/4)]/0.4ln3/16≈8.25因此，市场占有率达到60%时所需的时间为8.25。
三、总结微分方程在高考数学中的应用极为广泛，需要考生有扎实的微积分和数学建模的基础。
通过多做微分方程的实例题目，可以帮助考生更好地掌握微分方程的应用方法和技巧。
数学建模
微分方程应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一。嫌疑犯问题(尸体温度的变化率正比于尸
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
当T 37。 时，有21.1 11.5e 0.110 t 37，所以 C t 2.95小时 2小时57分 所以 Td 8小时20分 2小时57分 5小时23分 即被害人死亡时间大约 在下午5： ，因此张某不 23 能被排除在嫌疑犯之外 。
二、微分方程模型
引言
体温度与室温的差)
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上
32.6。 ，一小时 C 8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为
后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为 31.4。C
室温在几小时内始终保持21.1。C ，此案最大的嫌疑犯是 张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打 完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害 者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某 不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？ 解设T (t ) 表示时刻t尸体的温度，并记晚 ： 为t 0，则 8 20
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高考数学中的微分方程分析及应用实例
高考数学中的微分方程分析及应用实例微分方程是数学的一个分支，可以用来描述物理世界中的许多现象和规律。
在高中数学中，微分方程也是一个非常重要的知识点，尤其是在高考数学中，微分方程的考查频率也很高。
本文将从微分方程的定义、解法以及应用实例三个方面进行阐述，帮助大家更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的定义微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的数学方程。
简而言之，微分方程就是“导数方程”。
形式化地表述，设$ y=f(x)$ ，则微分方程一般可以写成如下形式：$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$其中，$ y^{(i)} $表示$ y $的$i$阶导数，$ F $是关于$ x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)} $的函数。
二、微分方程的解法微分方程的解法主要有三种方法：分离变量法、齐次方程和一阶线性微分方程。
1. 分离变量法所谓“分离变量”，就是把方程中的$ x $和$ y $分别独立出来。
具体来说，就是在微分方程两边同时乘上$ dx $，然后把所有包含$ y $的项移到等号右边，所有包含$ x $的项移到等号左边，形如：$$F(y)dy=G(x)dx$$然后两边同时积分即可求得$ y $的解。
需要注意的是，这个方法只适用于能够分离变量的微分方程。
2. 齐次方程所谓“齐次方程”，就是系数和次数都相同的微分方程。
对于这类方程，我们可以进行一些变换，将其转化为可分离变量的形式。
具体方法是令$ y=vx $，然后把微分方程中的$ y $用$ v $和$ x $表示出来，形如：$$ y'=v+xv'$$将其代入微分方程中，消去$ v $得到一个可分离变量的方程。
3. 一阶线性微分方程所谓“一阶线性微分方程”，就是可以写成如下形式的微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$ P(x) $和$ Q(x) $都是已知函数。
二阶变系数齐次微分方程的举例应用
二阶变系数齐次微分方程的举例应用引言微分方程作为数学中的一个重要分支，在科学与工程的许多领域中都有广泛的应用。
其中，二阶变系数齐次微分方程是一类常见的问题，在工程与物理学中有着重要的实际意义。
本文将以一个具体的举例来说明二阶变系数齐次微分方程的应用。
问题描述我们考虑一个简单的弹簧-质量系统。
弹簧的质量忽略不计，质量为m的物体连接在一个弹性系数为k的弹簧上，忽略空气阻力等影响。
我们希望求解物体的运动方程。
分析与推导设物体的位移为x(t)，根据牛顿第二定律，可以得到物体的运动方程： m * d^2x(t) / dt^2 = -k * x(t)我们可以看到，这是一个二阶变系数齐次微分方程，其特点是方程中的k是一个变量，它随着物体的运动而改变。
为了求解这个微分方程，我们可以尝试使用变量分离法。
我们将微分方程改写为： md^2x(t) / dt^2 + k * x(t) = 0假设解为x(t) = e(rt)。
将其代入微分方程，我们可以得到： mr2 * e^(rt) +k * e^(rt) = 0因为e(rt)永远不为0，我们可以约去e(rt)，并整理方程，得到：mr^2 + k = 0这是一个关于r的二次方程，解出r可得：r = ±√(-k / m)当k / m > 0时，r是虚数，我们可以直接看出解为复数。
当k / m < 0时，r是实数，我们可以得到两个解，分别为r_1 = √(-k / m)和r_2 = -√(-k / m)。
综上，我们可以看到当弹簧的弹性系数k / m < 0时，物体的运动由两个指数函数组成。
每个指数函数都代表一个解，我们可以用线性组合来表示通解： x(t) = c_1 * e^(r1t) + c_2 *e^(r2t)，其中c_1和c_2是任意常数。
当弹簧的弹性系数k / m > 0时，物体的运动由两个虚数指数函数组成。
虚数指数函数可以表示为两个实函数的线性组合：x(t) = c_1 * cos(√(k / m) * t) + c_2 * sin(√(k / m) * t)，其中c_1和c_2是任意常数。
微分方程型建模实例题
一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。
下面就微分方程模型建模展开建模。
下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。
1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。
设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。
5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。
8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。
9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。
05 第五节 数学建模—微分方程的应用举例
第十节 数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示衰变问题★ 例1 ★ 例2 ★ 逻辑斯谛方程★ 环境污染的数学模型 ★ 例3 ★ 自由落体问题内容要点一、 衰变问题二、 逻辑斯谛方程三、 环境污染的数学模型 四、 自由落体问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，依题意得.kx dtdx-= (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中0>k 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少.易求出方程(1)的通解为.ktCex -=若已知当0t t =时，,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt ex C =则可得到特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素)(238U 的半衰期约为50亿年；通常的镭)(226Ra 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素Ra 230的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.例2 (E02) 碳14(C 14)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律.设遗体当初死亡时C 14的含量为0p ,t 时的含量为),(t f p =于是，C 14含量的函数模型为,)(0kt e p t f p ==其中),0(0f p =k 是一常数.常数k 可以这样确定：由化学知识可知，C 14的半衰期为5730年，即C 14经过5730年后其含量衰减一半，故有,2573000k e p p = 即.215730k e =两边取自然对数，得,69315.021ln5730-≈=k 即.0001209.0-≈k 于是，C 14含量的函数模型为.)(0001209.00t e p t f p -==由题设条件可知，遗体中C 14的含量为原含量0p 的80％，故有 ,8.00001209.000t e p p -= 即.8.00001209.0te -=两边取自然对数，得,0001209.08.0ln t -= 于是 .184********.022314.00001209.08.0ln ≈--≈-=t由此可知，遗体大约已死亡1846年.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、环境污染的数学模型随着人类文明的发展,环境污染问题已越来越成为公众所关注的焦点.我们将建立一个模型,来分析一个已受到污染的水域,在不再增加污染的情况下,需要经过多长的时间才能将其污染程度减少到一定标准之内.记()t Q Q =为体积为V 的某一湖泊在时刻t 所含的污染物的总量.假设洁净的水以不变的流速r 流入湖中,并且湖水也以同样的流速流出湖外,同时假设污染物是均匀地分布在整个湖中,并且流入湖中洁净的水立刻就与原来湖中的水相混合.注意到Q 的变化率= — 污染物的流出速度,等式右端的负号表示Q 是减少的,而在时刻t ,污染物的浓度为VQ.于是 污染物的流出速度=污水外流的速度⨯浓度=VQr ⋅.这样,得微分方程 Q Vrdt dQ -= 又设当0=t 时,()00Q Q =,解得该问题的特解为Vrte Q Q -=0.污染量Q 随时间t 的变化如下图t Q 0Q 0（污染量）Q =Q 0e -rt/V例3（E03） 若有一已受污染的湖泊,其体积为6109.4⨯m 3,洁净的水以每年3310158m⨯的流速流入湖中,污水也以同样的流速流出.问经过多长时间,可使湖中的污染物排出90%?若要排出99%,又需要多长时间?解:因为03225.0109.41015833≈⨯⨯=V r t e Q Q 03225.00-=所以,当有90%的污染物被排出时,还有10%的污染物留在湖中, 即01.0Q Q =,代入上式,得 te Q Q 03225.0001.0-=解得 ()7203225.01.0ln ≈-=t (年) 当有99%的污染物被排出时,剩余的001.0Q Q =,于是t e Q Q 03225.00001.0-=,解得()14303225.001.0ln ≈-=t (年).自由落体问题例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222y kMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数.因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y 先求物体到达地面时的速度.由,v dtdy=得 ,22dydvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得 dy ygR vdv 22-= .2122C y gR v += 把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t。
微分生活实例
微分生活实例
例子一：火力发电厂的冷却塔的外形要做成弯曲的原因就是冷却塔体积大，自重非常大，如果直上直下，那么最下面的建筑材料将承受巨大的压力，以至于无法承受（地球上的山峰最高只能达到3万米，否则最下面的岩石都要融化了）。
把冷却塔的边缘做成双曲线的性状，正好能够让每一截面的压力相等，冷却塔就能做的很大。
例子二：计算机内部指令需要通过硬件表达，把信号转换为能够让我们感知的信息。
Windows系统带了一个计算器，可以进行一些简单的计算，比如算对数。
计算机是计算是基于加法的，运用微积分的级数理论，可以把对数函数转换为一系列乘法和加法运算。
微积分理论可以粗略的分为几个部分，微分学研究函数的一般性质，积分学解决微分的逆运算，微分方程（包括偏微分方程和积分方程）把函数和代数结合起来，级数和积分变换解决数值计算问题，另外还研究一些特殊函数，这些函数在实践中有很重要的作用。
微分方程特解
微分方程特解在微分方程中，特解是指满足给定微分方程的具体解。
与一般解不同，特解是通过给定的条件，得到的能够满足特定约束条件的解。
本文将介绍微分方程特解的概念、求解方法以及应用实例。
一、微分方程特解的概念微分方程是描述自然现象和各种变化规律的数学模型。
根据方程的类型和特征，可以分为常微分方程和偏微分方程。
在求解微分方程时，通常需要找到一般解和特解。
特解是方程的一个解，它能够满足给定的边界条件或初值条件。
特解与一般解的区别在于，一般解包含了无穷多个解，而特解是在给定条件下的具体解。
特解的求解通常需要利用初值条件、边界条件或特定约束关系。
二、求解微分方程特解的方法对于一般的微分方程，求解特解的方法可以分为以下几种：1. 变量分离法：对于可以通过对方程两边同时积分的微分方程，可以通过变量分离法求解。
具体步骤是将微分方程中的变量分离到方程的两边，然后分别对两边进行积分得到特解。
2. 参数法：对于一些特殊形式的微分方程，可以通过引入新的参数来简化求解过程。
通过选择适当的参数值，可以使得微分方程变得容易求解，从而得到特解。
3. 变换法：对于一些复杂的微分方程，可以通过变换来将其转化为简单的形式。
常见的变换包括线性变换、广义变换等。
通过变换后的方程求解，可以得到特解。
4. 特殊函数法：对于一些常见的微分方程，可以利用特殊函数的性质来求解。
例如，常微分方程中的一阶线性方程可以通过指数函数、正弦函数等特殊函数的形式求解。
三、微分方程特解的应用实例微分方程特解在科学、工程、经济等领域具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用实例：1. 振动问题：在物理学中，振动问题可以描述为微分方程。
通过求解微分方程的特解，可以得到振动系统的运动规律。
2. 热传导问题：热传导可以用偏微分方程来描述。
通过求解偏微分方程的特解，可以得到热传导的温度分布。
3. 人口模型：人口增长可以用微分方程来描述。
通过求解微分方程的特解，可以预测未来的人口增长趋势。
第四章 微分方程
（可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个 特解 y1 , y2 ，只要他们不成比例，则 y C1 y1 C2 y2 为该方程的通解） 例7 求方程 y 6 y 9 y 0 的通解 解 特征方程 r 2 6r 9 0 r1 r2 3
3 x 则通解为 y (C1 C2 x)e
《高等数学》
微分方程
第四章 微分方程
内容导航
什么是微分方程 分离变量法
微分方程的应用（1）
二阶常系数线性微分方程 数学建模：微分方程应用（2）
4-1 什么是微分方程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 dy 2（ x 1）
x 2
解 特征方程为
共轭虚根为
原方程的通解
y e (C1 cos
3 3 x C2 sin x) 2 2
（共轭虚根时，由欧拉公式有
e
r 1x
e
1 3 i x 2 2
e e
x 2
3 ix 2
e (cos
x 2
3 3 x sin x) 2 2
再根据该方程 C1 y1 C2 y2 y 的线性组合仍是解而 消去i ）
4-4 二阶微分方程
于是二阶线性齐次微分方程的特解形式 ：
特征方程 的两个根 r 2 pr q 0 微分方程
y py qy 0 的通解
(1)两个不相等实根r1,r2
y C1er1 x C2er2 x
(2)两个相等实根r1=r2=r (3)共轭虚根
r 12 i
常微分方程的解法及其应用实例
常微分方程的解法及其应用实例常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是应用数学的一个重要分支，它被广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，是研究自然现象、解决实际问题的重要工具。
本文将介绍常微分方程的解法及其应用实例。
一、常微分方程的解法对于一个一阶常微分方程，可以利用变量分离、恰当形式、一次齐次、一阶线性、伯努利等方法解方程；对于高阶常微分方程，需要使用一些特殊的技巧和方法来求解。
1. 变量分离法对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果可以写成f(x)dx=g(y)dy的形式，就可以使用变量分离法求解。
其基本思想是将全部x及y分离到方程等号两边，并进行积分。
例如，求解dy/dx=2x/(1+y)可以写成(1+y)dy=2xdx，从而积分得到y+ln(1+y)=x^2+C，其中C为任意常数。
2. 恰当形式法如果一个方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并且可以找到一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，就称该方程是恰当形式的。
对于恰当形式的方程，解法就是将方程左右两边同时对x和y分别求偏导数，然后利用偏导数的交错性进行积分。
例如，对于方程(2xy+3y)dx+(x^2+3x)dy=0，可以发现∂M/∂y=3和∂N/∂x=3，因此该方程是恰当形式的。
求得u=∫(2xy+3y)dx=(x^2)y+3xy，从而得到其通解为(x^2)y+3xy+(1/3)(x^3)=C，其中C为任意常数。
3. 一次齐次法一阶齐次方程形如dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x的函数。
将y/x表示为u，可以得到dy/dx=u+f(u)，如果对于此方程有一个够好的u的解析解，则可以解出y/x的表达式，从而求得y的解析解。
求解的基本思路是令v=y/x，则y=vx，dy/dx=v+x(dv/dx)，将其代入原方程，即得dv/(v+f(v))=dx/x，从而求得u的表达式，从而得到y的表达式。
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
微分方程总结归纳
微分方程总结归纳微分方程是数学中重要的概念之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
本文将以人类的视角，通过几个具体的实例来总结归纳微分方程的应用。
第一部分：生物学中的微分方程在生物学中，微分方程经常被用来描述生物体的生长、变化和适应过程。
比如，我们知道细胞的增长速度与其当前的大小有关。
假设细胞的大小为x，细胞的增长速率为dx/dt，那么可以用微分方程来表示细胞的增长规律：dx/dt = kx其中，k是一个常数，表示细胞的增长速率。
这个微分方程告诉我们，细胞的增长速率与其当前的大小成正比。
这个简单的微分方程可以帮助我们理解细胞的生长规律，为生物学研究提供重要的理论基础。
第二部分：物理学中的微分方程在物理学中，微分方程被广泛应用于描述物体的运动和力学性质。
比如，牛顿第二定律可以用微分方程的形式来表示：F = m(d^2x/dt^2)其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，x是物体的位移。
这个微分方程告诉我们，物体所受的力与其质量和加速度成正比。
通过求解这个微分方程，我们可以计算出物体的运动轨迹和速度变化，从而更好地理解物体的运动规律。
第三部分：经济学中的微分方程在经济学中，微分方程被用来描述经济系统中的变化和发展。
比如，我们知道市场需求和供给的变化会影响商品的价格。
假设商品的价格为p，需求量为x，供给量为y，那么可以用微分方程来描述价格的变化规律：dp/dt = k(x-y)其中，k是一个常数，表示价格的变化速率。
这个微分方程告诉我们，价格的变化速率与需求量和供给量的差异成正比。
通过求解这个微分方程，我们可以预测价格的走势，为经济决策提供重要参考。
结论微分方程是数学中重要的工具，它可以帮助我们理解和描述许多自然界和人类社会中的现象和规律。
本文通过生物学、物理学和经济学三个领域的实例，总结归纳了微分方程的应用。
希望读者通过本文的介绍，对微分方程有更深入的理解，并能在实际问题中灵活运用。
常微分方程在高考数学中的应用
常微分方程在高考数学中的应用高考数学中最重要的一个分支便是微积分，旨在研究函数的变化率与积分。
与微积分有很大关联的一个主题便是常微分方程。
常微分方程是以微分方程为研究对象的一个分支，常常作为微积分所研究的对象，也是高考数学难度较大的考点之一。
常微分方程起源于物理学，研究自然现象中的变化规律。
其中最经典的数学问题是牛顿第二定律，它描述了物体的运动，这个运动取决于物体所受的力、物体的质量和物体的反应。
大部分高考中会涉及到这个概念，同时也会让我们研究如何应用微积分知识解决该问题。
下面，就让我们深入了解一下高考数学中如何应用常微分方程的知识。
一、基础概念在介绍如何应用常微分方程之前，我们先要回顾一下常微分方程的基础概念。
常微分方程是关于函数及其导数的方程，常常被用来描述某种变化规律。
形式上常微分方程可表示为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中，y是未知函数，x为自变量，f(x,y)为函数变量。
二、应用实例对于高考中的常微分方程应用，我们通常需要掌握以下几个方面的内容：1.解微分方程高考中最基本的考点就是解微分方程，需要动用微积分、几何学等知识来求解问题。
在解微分方程时，我们需要注意以下几个方面：a.分类讨论不同类型的微分方程需要采用不同的解法，为此我们需要根据方程特点进行分类讨论。
例如，一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程和二阶线性微分方程等。
b.常数求解在解微分方程时常常会遇到常数问题，我们需要用到边界条件来求解常数。
通常的条件有：求值问题，即y(0)=y0；初值问题，即y(f(x0))=y0；边值问题，即y(a)=ya，y(b)=yb。
2.求导运用对于高考中的求导运用题目，我们通常需要做到以下几点：a.理解题目在解题前我们需要仔细看题，先理清求导的方式，明确求解的方向。
b.化简运算求导通常需要进行多次运算，所以我们需要化简运算，减小解题难度。
c.推导公式一些与微分方程相关的公式可以帮助我们更快找到解题方法，例如一些特定类型的微分方程解法公式。
第7节 微分方程的初等积分法
常微分方程: 偏微分方程:
微分方程的阶 :
n阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
1、微分方程的解 : 2、微分方程的通解: 3 初始条件:
n阶微分方程 F(x, y, y,, y(n) ) 0 的初始条件为
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y1,, y (n1) (x0 ) yn1
m
d 2s dt 2
mg
即d 2s dt 2
g
(2)
(2) 若考虑空气的阻力,设阻力大小与速度成正比,
则 F mg kv mg k ds , dt
由此得 m d 2 s mg k ds ,
dt 2
dt
即
d 2s dt 2
k m
ds dt
g
(3)
此外, s(t) 还应满足条件 : s(0) 0, s(0) 0
解 : 令 z y , 则 y z dz , dy
原方程化为：
2y z dz 1 z 2 , dy
注 1：对不显含 y 与不显含 x 的二阶方程，均作变换
z y , 但实际上是有区别的。
2：求二阶微分方程初值问题的解时，应边解边确定 任意常数。
3
例 16 求第一节例 3 中方程 (1 y2 ) 2 a y 的通解。
例 7 求 dy 1 y 1的通解. dx x
解：常数变易法：
齐次方程 dy 1 y 0 的通解: y Cx
设
y
dx C(x) x
为xdy
1
y
1的解,
代入得
dx x
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人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节 功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体 温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化 率正比于尸体温度与室温的差，即
dT k(t 21.1) dt 其中k为常数，这是一个一阶可分离变量的微分方程。
此微分方程的通解为 T (t) 21.1 Cekt
因为T (1) 21.1 C 32.6.所以C 11.5
又因为T (1) 21.111.5ek 31.4,所以k ln 115 0.110. 103
于是
T (t) 21.111.5e0.110t
当T 37。C时，有21.111.5e0.110t 37，所以
t 2.95小时 2小时57分
所以
Td 8小时20被害人死亡时间大约在下午5：23，因此张某不
能被排除在嫌疑犯之外。
二。含盐量问题
设容器内有100公斤盐水，内含食盐10公斤，现以
2L / min的速度注入的0.01kg / L淡盐水，同时以2L / min
8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为32.6。C，一小时 后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为 31.4。C
室温在几小时内始终保持21.1。C ，此案最大的嫌疑犯是 张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打 完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害 者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某 不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？
这就是绳索曲线满足的微分方程。设OP a,则上面微分方程的初值条件为
y x0 a, y x0 0
令y p, y dp ，则上述二阶微分方程化为 dx
dp g 1 p2
dx S
解得
ln( p
1
p2
)
g
S
x
C1
将初值条件y x0 p x0 0代入，得C1 0，从而
取a
S
g
, 得C2
0.这样，绳索在平衡状态下得曲线方程为
y1
S
g x
g x
(e S e S )
2 g
此曲线方程又称为悬链线方程。
解 以绳索所在的平面为 xoy 平面，设绳索最低点
为y轴上的P点，如图8－ 1所l示。考察绳索上从点p到另
一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 l，绳索线密度
为 ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软的
所以绳索上各点所受张力总沿着绳索的切线方向。这样， PQ 这段绳索在P点所受的张力是水平的，设其大小为S.
解 设表示时刻尸体的温度，并记晚8：20为，则
T (0) 32.6。C, t(1) 31.4。C
假设受害者死亡时体温是正常的，即T 37。C。
要确定受害者死亡的时间，也就是求T (t) 37。C的
时刻Td。如果此时张某在办公室，则他可被排除在 嫌疑犯之外，否则不能被排除在嫌疑犯之外。
有初值条件可得C 9 104，所以容器内含盐
量x随时间t的变化规律为
9 104 x 0.01(100 t) (100 t)2
三.悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。
的速度抽出混合均匀的盐水，试求容器内含盐量x随时
间t变化规律。
解
为了求出含盐量x随时间t的变化规律x x(t),
我们采用通过对x的微小增量x的分析得出微分方
程的微元分析法，这是建立微分方程的一种常用
方法。
考虑从时刻t到t dt时间间隔内，含盐量从x 变到x dx，注意到在dt时间内，含盐量的改变量为：
dx 注入盐水中所含盐量－抽出盐水中所含盐量 注入盐水中所含盐量为0.01 3 dt（公斤），由于
t时刻盐水的浓度为 x(t)
, t到dt的时间间隔
100 (3 2)t
内浓度可以近似看作不变，故抽出的盐量为
x(t )
2 dt（公斤）.于是可得方程：
100 (3 2)t
dx 0.01 3 dt
x(t )
2 dt
100 (3 2)t
或
dx 2 x 0.03
dt 100 t
这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件
x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此
方程的通解
x(t) 0.01(100 t) C (100 t)2
ln( p 1 p2 ) g x
S
变形整理得
p
1
g x
(e S
g x
e S )
2
将p dy 代入，得 dx
dy
1
g x
(e S
g
eS
x
)dx
2
两边积分得
y
1 2
S
g
g x
(e S
g x
e S )
C2
将y x0 a代入，得
S
C2 a g
8.6 微分方程应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。
一。嫌疑犯问题
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上
在Q点所受张力与x轴正向成角，设其大小为T，则这段
绳索所受重力及两个张力恰好平衡，所以
T sin gl,T cos S
上面两式相除，得
设绳索曲线方程为y y(x),则
tan g l
S
tan y,l x (1 y2 )dx 0
于是
y g x (1 y2 )dx S0