微分方程应用实例

的速度抽出混合均匀的盐水，试求容器内含盐量x随时
间t变化规律。
解
为了求出含盐量x随时间t的变化规律x x(t),
我们采用通过对x的微小增量x的分析得出微分方
程的微元分析法，这是建立微分方程的一种常用
方法。
考虑从时刻t到t dt时间间隔内，含盐量从x 变到x dx，注意到在dt时间内，含盐量的改变量为：
因为T (1) 21.1 C 32.6.所以C 11.5
又因为T (1) 21.111.5ek 31.4,所以k ln 115 0.110. 103
于是
T (t) 21.111.5e0.110t
当T 37。C时，有21.111.5e0.110t 37，所以
t 2.95小时 2小时57分
所以
Td 8小时20分 2小时57分 5小时23分
即被害人死亡时间大约在下午5：23，因此张某不
能被排除在嫌疑犯之外。
二。含盐量问题
设容器内有100公斤盐水，内含食盐10公斤，现以
2L / min的速度注入的0.01kg / L淡盐水，同时以2L / min
dx 注入盐水中所含盐量－抽出盐水中所含盐量 注入盐水中所含盐量为0.01 3 dt（公斤），由于
t时刻盐水的浓度为 x(t)
, t到dt的时间间隔
100 (3 2)t
内浓度可以近似看作不变，故抽出的盐量为
x(t )
2 dt（公斤）.于是可得方程：
100 (3 2)t
这就是绳索曲线满足的微分方程。设OP a,则上面微分方程的初值条件为
y x0 a, y x0 0
令y p, y dp ，则上述二阶微分方程化为 dx
dp g 1 p2
dx S
解得
ln( p
1
p2
)

g
S
x
C1
将初值条件y x0 p x0 0代入，得C1 0，从而
dx 0.01 3 dt
x(t )
2 dt
100 (3 2)t
或
dx 2 x 0.03
dt 100 t
这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件
x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此
方程的通解
x(t) 0.01(100 t) C (100 t)2
ln( p 1 p2 ) g x
S
变形整理得
p

1
g x
(e S
g x
e S )
2
将p dy 代入，得 dx
dy

1
g x
(e S

g
eS
x
)dx
2
两边积分得
y

1 2
S
g
g x
(e S
g x
e S )
C2
将y x0 a代入，得
S
C2 a g
解 以绳索所在的平面为 xoy 平面，设绳索最低点
为y轴上的P点，如图8－ 1所l示。考察绳索上从点p到另
一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 l，绳索线密度
为 ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软的
所以绳索上各点所受张力总沿着绳索的切线方向。这样， PQ 这段绳索在P点所受的张力是水平的，设其大小为S.
在Q点所受张力与x轴正向成角，设其大小为T，则这段
绳索所受重力及两个张力恰好平衡，所以
T sin gl,T cos S
上面两式相除，得
设绳索曲线方程为y y(x),则
tan g l
S
tan y,l x (1 y2 )dx 0
于是
y g x (1 y2 )dx S0
有初值条件可得C 9 104，所以容器内含盐
量x随时间t的变化规律为
9 104 x 0.01(100 t) (100 t)2
三.悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。
取a

S
g
, 得C2

0.这样，绳索在平衡状态下得曲线方程为
y1
S
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g x
g x
(e S e S )
2 g
此曲线方程又称为悬链线方程。
解 设表示时刻尸体的温度，并记晚8：20为，则
T (0) 32.6。C, t(1) 31.4。C
假设受害者死亡时体温是正常的，即T 37。C。
要确定受害者死亡的时间，也就是求T (t) 37。C的
时刻Td。如果此时张某在办公室，则他可被排除在 嫌疑犯之外，否则不能被排除在嫌疑犯之外。
8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为32.6。C，一小时 后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为 31.4。C
室温在几小时内始终保持21.1。C ，此案最大的嫌疑犯是 张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打 完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害 者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某 不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？
人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节 功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体 温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化 率正比于尸体温度与室温的差，即
dT k(t 21.1) dt 其中k为常数，这是一个一阶可分离变量的微分方程。
此微分方程的通解为 T (t) 21.1 Cekt
8.6 微分方程应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。
一。嫌疑犯问题
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上