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各种类型的微分方程及其相应解法

专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法

1.可分离变量的方程

dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx

dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.

解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-

设,01,012≠-≠-x y 分离变量得

dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2

112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y

2.齐次方程

（1）)(x

y f dx dy = （2） )(c by ax f dx

dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy

y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u

u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得

,ln ln ln 2

1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

整理得 .)2(1

2/3Cx u u u =--

所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-

3.一阶线性微分方程

⎰+⎰⎰==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx

dy dx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， π

π1)(=y ； 解 将方程改写为 x

x y x dx dy sin 2=+， 这里x x p 2)(=，x

x x q sin )(=，故由求解公式得 )sin (1sin 222⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=-

xdx x C x dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x x x x x C +-=

. 由初值条件ππ1

)(=y ，得0=C .

所以初值问题的解为 2

cos sin x x x x y -= 例 4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1

200()()()x

f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．

解：设1

20()A t f t dt =⎰，则0()()x

f x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得 ()()()x f x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =⇒=⇒=

又 1

1222004()()1

t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=+⎰⎰，则 24()1

x f x e e =+ 例5.设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：

)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且()00f =，x e x g x f 2)()(=+．

① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式．

解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +

=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x -=,

可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为

2()2()4(0)0

x

F x F x e F '⎧+=⎨=⎩． (2) 由通解公式有

]4[)(222C dx e e e x F dx x dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．

将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是

22()x x F x e e -=-

4.伯努利方程

。内适当选定的点的坐标是区域其中内恒成立，此时通解为在区域要条件是方程的充分

的全微分，其为全微分左边恰好是某一个函数全微分方程

即可，其余同再令同除以G ,,),(),(),(G ),(,0),(),(.53,,)()(00100

y x C dy y x Q dx y x P y x u x Q y P y x u dy y x Q dx y x p y u y y x Q y x p dx

dy x x y

y n n n =+=∂∂=∂∂==+==+⎰⎰-二、二阶线性微分方程的解法

1.可降阶微分方程

次分型，求解方法：连续积n )()1()(x f y n =

（2）''''''',),(p y p y y x f y ===则型，求解方法：令

（3）p dy

dp dx dp y y y f y ===='''''p y ),(，则型，求解方法：令‘ 例6. 方程03='+''y y x 的通解为 ． 解：330y xy y y x ''''''+=⇒=-

令,y p y p ''''==，原方程变为 3p p x '=- 11333ln 3ln ln C dp dp dx dx p x C p y p x p x x

'⇒=-⇒=-⇒=-+⇒==⎰⎰ 所以232

112C dx C y C x x =-+=⎰