一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程： ①、形如

)()(y g x f dx

dy

= 当0)(≠y g 时，得到

dx x f y g dy

)()

(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、

xy dx

dy

= 解：当0≠y 时，有

xdx y

dy

=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=

所以)(112

12

C x e C C e

C y ±==为非零常数且

0=y 显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为)(12

12

为常数C e

C y x =

②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M

当0)()(≠y N x P 时，可有

dy y N y Q dx x P x M )

()

()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）

x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2

2

=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2

2

≠--y x 时，有

dx x x

dy y y 1

122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C

y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C

y x ；

当0)1)(1(2

2

=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2

2

为常数C C y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程：

①、形如

)(x

y

g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx

du

x =+为变量可分离方程，得到

)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x

y

f =。

②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx

dy

解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b

a

dx du b =+为变量可分离方程，

得到)(0

),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。

③、形如

)(2

221

11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0

1、

02

2

11=b a b a ，转化为

)(by ax G dx

dy

+=，下同①； 02、

022

1

1≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00

222111

c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u 得到，)()(

)(221

12211u v g u

v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(

xy v xy f dx dy x ==),(2

22),(x

y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++

以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、

2

5

--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u

u dx du 7

1+=

-

，有dx udu 7-= 所以)(72

2

为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72

22

为常数）

（C C

x y x =+--。

例2.2、

1

212+-+-=y x y x dx dy 解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到

u

v

u v

v u v u du dv 21222--

=

--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2

)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=，

所以有)(112

1C e C t

t C u ±=+-=

，，故代入得到)0(,3131313113

1

12

1

≠⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-++-

-

=+

C x y x y C x

（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dx

dy

x a =+（ 标准形式：

)()(x Q y x P dx

dy

=+ 解法：1、直接带公式：

))(()()()()()()(⎰

⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：

])()([)

(1

)(⎰+=

C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：

)()(x Q y x P dx

dy

=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰

⎰=-

-

x x ds

s P ds

s P x x ds

s P ds s P dt e t Q e

y y dt e t Q e

y t

x t

x x

x x

x 0

00

)()(00)()()())((

例3、1)1()

1(++=-+n x x e ny dx

dy

x 解：化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1

)(n x x e x Q x n

x P +=+-=

代入公式得到n dx

x n

dx

x P x e

e x -1)()1()(+=⎰=⎰

=+-μ

所以，)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x

n

n

x

n

n

++=++++=⎰

-

(4)、恰当方程：

形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=∃=+ 解法：先判断是否是恰当方程：

如果有

x

y x N y y x M ∂∂=∂∂)

,(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个