微分方程应用问题案例

第四章微分方程

一、微分方程的概念

案例1 [曲线方程]已知曲线过点(１，２)，且曲线上任一点处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程．

解:设曲线方程为，于是曲线在点处切线的斜率为．根据题意有

（4.1.1）

又曲线过点（１，２），故有

（4.1.2）

对式（4.1.1）两边积分，得

将式(4.1.2)代入上式，得，即．

故所求曲线方程为．

案例2 [自由落体运动]一质量为的质点,在重力作用下自由下落,

求其运动方程.

解:

建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始下落点, 轴铅直向下.设在时刻 质点的位

置为

,

由于质点只受重力 作用,且力的方向与

轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程

为

，

即 ．

方程两边同时积分，得

上式两边再同时积分，得

其中

是两个独立变化的任意常数．

案例3[列车制动] 列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.42

米秒，

问开始制动后要 经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？

解: 记列车制动的时刻为t=0，设制动后t 秒列车行驶了s 米.由题意知，制动后列车行驶的加速度

220.4d s

dt =-， （4.1.3）

初始条件为当0t =时，0s =，

20ds

v dt =

=.

将方程（4.1.3）两端同时对t 积分，得

1()0.4ds

v t t C dt =

=-+， (4.1.4)

式(4.1.4)两端对t 再积分一次，得

212

0.2C C s t t =-++ ， (4.1.5)

其中1C ，2C 都是任意常数，把条件当t=0时， 20ds

dt =代入（4.1.4）式，得1C 20=,

把t=0时，s=0代入式（4.1.5），得2C ＝0．于是，列车制动后的运动方程为

20.220s t t =-+ ， （4.1.6）

速度方程为

0.420ds

v t dt =

=-+ . （4.1.7）

因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7）中，令 0ds

v dt =

=,得0=-0.4t+20，解 出得列

车从开始制动到完全刹住的时间为

20

50()0.4t s =

=

再把t=50代入式（4.1.6），得列车在制动后所行驶的路程为

2

0.22050500()

50s m =-⨯+⨯=

二、可分离变量的微分方程

案例1 [国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值（GDP ）为80,423亿元，如果我国能保持

每年8%的相对增长率， 问到2010年我国的GDP 是多少？ 解: (1)建立微分方程

记0t =代表1999年，并设第t 年我国的GDP 为()P t ．由题意知，

从1999年起，()P t 的相对增长率为8%，

即 ()

8%

()dP t dt P t =，

得微分方程

()

8%()

dP t P t dt =，且(0)80,423.P =

（2）求通解 分离变量得

()

8%()dP t dt P t =,

方程两边同时积分，得 ln ()0.08ln P t t C =+ (3) 求特解

将(0)80,423.P =代入通解，得80,423C =，所以从1999年起第t 年我国的GDP 为

()P t =0.08t 80,423e ,

将2010199911t =-=代入上式，得2010年我国的GDP 的预测值为

(11)P =0.081180,423e 193891.787⨯=(亿元) ．

案例2 [落体问题] 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比．运动员离塔时

（t=0）的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系． 解: （1）建立微分方程

运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响．重力的大小为mg ，方向与速度v 的方向一致；阻力的大小为kv(k 为比例系数)，方向与v 相反．从而运动员所受的外力为F mg kv =-，其中m 为运动员的质量.又由牛顿第二定律有

F ma =，

其中a 为加速度，

dv

a dt =

．于是在下落过程中速度()v t 满足微分方程

dv

m

mg kv dt =-，

初始条件为0

0==t v .

（2）求通解

方程是一个可分离变量的微分方程．分离变量后，得

m dt

kv mg dv =

-．

两端积分得

1)ln(1C m t kv mg k +=--

,即 t

m

k e C kv mg -=-2(其中12kC C e -=)，

或 t m k

Ce k mg v -+=（其中

2

C C k =）.

（3）求特解

把初始条件

0==t v 代入通解，得

k mg

＝－

C ．

于是所求速度与时间的关系为 )

1(t m k

e k mg

v --=

.

由上式可见，当t 很大时，t m

k

e

-很小，此时v 接近于mg

k ．由此可见，跳伞运动员开始跳伞时是加速

运动， 以后逐渐接近于匀速运动，其速度为

k mg v =

.

案例3 [环境污染问题] 某水塘原有50000t 清水(不含有害杂质)，从时间0=t 开始，含有有害杂质%5的浊水流入该水塘．流入的速度为2t ／min ，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t ／min 的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到%4?