周易八卦中的数学

最高数学奖菲尔兹奖章上面刻着：“智者的游戏，体验神奇的数学；超越人类的极限，做宇宙的主人。”古老的数学谜题，神奇的数学规律，妙趣横生的数学史话构成了智者的数学饕殄盛宴。

中国近代的数学是源自欧洲，但是中国自古就有数的概念。天地人称为三才，金木水火土称为五行，东南西北上下称为六合，此外还有十天干十二地支。中国道德文化讲究三纲五常，中国关于命理的说法自古有天数、定数、易数、变数。中国军事中各种阵法，其实也是数的推演与变化。

中国一切文化的起源太极或者说无极，是这样一种数量关系：八卦的由来

《周易·系辞上》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”在《史记·日者列传》中说：“自伏羲作八卦，周文王演三百八十四爻而天下治。”

无极是0，太极是无穷，两仪指阴阳，也指乾坤。四象指少阴、太阴、少阳、太阳，也指青龙白虎玄武朱雀。八卦则分别指的是乾，兑，离，震，巽，坎，艮，坤。

八卦的含义

八卦的意义可谓“仁者见仁，智者见智.”人们赋予了它们各种各样的内容，但把它们看做数学符号是最容易理解的。在阴阳学中，八卦通过“—”（阳爻）“- - ”（阴爻）两种符号的排列组合构成了世间万物。

“—”代表自然界中的天、日、乾。“乾”表示健、动、刚，阳爻象征万物归一，大合之数。从数的意义上看：“—”表示奇数，又表示一个整体。“—”是数的开始和数的发展的基体，是万物生发之源。

“- - ”代表自然界中的地、月、坤。“坤”表示顺、静、柔，阴爻象征一分为二，小分之数。从数的意义上看它表示偶数。太阳落山，月亮升起；月亮下去，太阳出来，日月互相推移交替，就产生了时光，寒暑易节形成了岁月。于是阴阳交融，万物繁衍。

1、八卦与集合论

集合论是现代数学的基础，它不仅渗透到数学的各个领域，也渗透到其它自然科学和社会科学领域。《周易·系辞》说：“方以类聚，物以群分。”这里所说的“类”与“群”就与数学中的“集合”概念非常相近。将八卦用集合论的语言描述，就会更方便、更清楚、更精确。

（1）八卦与自然现象的关系

八卦卦集A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}

八种自然物集B={天、地、山、泽、风、雷、水、火}

它们之间构成了一个一一映射。

八卦乾：乾三连坤：坤六断震：震仰盂艮：艮覆碗自然界

事物天地山泽▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅

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八卦离：离中虚坎：坎中满兑：兑上缺巽：巽下断自然界

事物风雷水火▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅

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（2）八卦与方位的关系

八卦集A={乾、坤、离、坎、兑、巽、震、艮}

八方集B={南，北，东，西，东南，西南，东北，西北}

它们之间又构成了一种一一映射。

（3）八卦与五行之间的关系

八卦集A={乾、兑、巽、震、坎、离、坤、艮}，

五行集B={金，木，水，火，土}。 它们之间的映射，显然是从A 到B 的满射。

2.八卦与二进制

▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅卦

图

▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅二进制数000001010011100101110111十进制数

1

2

3

4

5

6

7

八卦中两卦相重，又是一个新的数，这个数是进位数，乾000，兑001，离010，震011，巽100，坎101，艮110，坤111。计算机的二进制也是如此：德国数学家莱布尼兹就是根据我国八卦图发明了计算机二进制，震动了世界科学界，故八卦有计算机之母的美誉。

3、八卦与组合论

八卦中的每一卦都由两种符号（阴爻和阳爻）重复选取3个所做的组合。

设组合数为N ，则N= , 所以N=2*2*2=8，对应于八卦。 4、八卦与代数式

令a 表示阴爻，b 表示阳爻，规定ab ≠ba ， 则当n=2时，

C C C 1

2

12122

22)(b ba ab a b a +++=+

对应与八卦：

八卦在群论、空间几何、概率论等中都有数学解释

如：在数学上，阳为正，阴为负，我们说四象指太阳、少阳、少阴、太阴。在数学上其符号分别为++、+-、-+、--而四象可用坐标表示，各象的正负完全符合Ｘ、Ｙ轴的符号。各象分处于数轴中的一、二、三、四象限。

“四象生八卦”，在空间坐标上表现为由平面数轴Ｘ、Ｙ轴转化为立体数轴Ｘ、Ｙ、Z 轴。八卦也体现了排列组合思想，八卦以两个爻[yáo]（——或——）三叠成一个卦，恰好可以组合成八卦，而且只能组成八卦，这不仅和代数的排列原理和方法相一致（其排列运式：２的三次方为８），也正和立体几何学把空间三个轴（ＸＹＺ）分成八个象限，用三个轴的正负符号来表示立体坐标上的一个点相符合。由八卦与立体坐标轴的对应可见，卦所表示的实际上就是空中的一个特体——抽象的点，所不同的只是表达符号的差别，即数学是用＋＋＋，―――等符号，而八卦是用爻表示罢了。为什么只有三个符号而不是四个，这是由于我们生活的空间是三维空间，各符号分别代表每一维度的属性。

既然万物都有这样一种数字属性，于是人们把人生走向、时运趋势、环境变化、天道循环等全部融入到八卦当中，以此八卦易数的变化来断定吉凶祸福，深有玄机。

数学是科学之科学，学好数学用好数学至关重要。

四、八卦的数学美感

八卦是一种深奥精巧的数学结构，蕴涵着一种极丰富的数学之美。中国古代的人们更欣赏世间万物相互作用影响中所表现出来的动态美。《周易·说卦》中认为：凡符合动态美原则的即为吉祥卦；凡绝对平衡、绝对静止的则为凶险卦。

我们为自己祖先创造了这具有哲学和科学内涵的八卦文化而感到骄傲自豪，我们应当继续把八卦文化发扬光大。而八卦与众多数学分支的联系，还有待我们去发掘整理。感兴趣的朋友可以去研究。

八卦文化太奇妙，趣味知识真不少，

天地人文全知晓，数学魅力实在好！

有趣的数字“0”