电磁场与电磁波_课后答案(冯恩信_著).(DOC)

第一章 矢量场

1.1 z y x C z y x B z y x

A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=

求:(a) A ； (b)

； (c)

； (d)

； (e)

(f)

解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B

B b -+==

( c) 7=⋅B A ; (d) z y x

C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯

(e)

z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯

(f)

19)(-=⋅⨯C B A

1.2

;

求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) B A

+

解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(14

1ˆz b -+-=

ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρ

π

(e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ

1.3

;

求:(a) A ； (b)

； (c)

； (d)

; (e)

解：(a) 2

54π+=A ； (b) )ˆˆ(11

ˆ2

θππ-+=r b

； (c) 22π-=⋅B A

；

(d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r

A B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A 1.4 ;

当时，求

。

解：当

时，

=0, 由此得 5-=α

1.5 将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表

示。

解：(1)圆柱坐标系

由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==x

F ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F

(2)圆球坐标系

由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x

F

ϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r y

F

1.6 将圆柱坐标系中的矢量场

用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ22

2

1y y x

x y

x y x F ++=+==ϕϕρ

)ˆˆ(3ˆcos 3ˆsin 3ˆ32

2

2y x x

y y

x y x F +-+=+-==ϕϕϕ

1.7将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-15)式，

)ˆˆˆ(5)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52

2

2

1z z y y x

x z

y x z y x

F ++++=++=θϕθϕθ

)ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+= 2

2222ˆˆˆˆˆˆˆz y x z z y y x

x y x y x x y r ++++⨯

++-=⨯=ϕ

}ˆ)(ˆˆ{1

12222222z y x y yz x

xz y

x z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：

(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6 (b) (c)

解：(a) z x y x x z y f

ˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b)

z z f ˆˆcos 2ˆρϕ

ρ

ϕρ-+-=∇ (c) ϕθ

θθθˆsin 5

ˆsin 2ˆcos 2r r

f --=∇ 1.9 求标量场

在点(1,1,1)沿)ˆˆ(2

1

y x l -= 方向的变化率。 解：)(2

1ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂

1.10 在球坐标中，矢量场

为

其中

为常数，证明矢量场

对任意闭合曲线的环量积分为零，即

解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅s

l

S d F l d F 因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r r

k

F 所以

1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。 1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。 1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。 1.14计算下列矢量场的散度

a)

b)

c)

解：(a) z x F

+=⋅∇

(b)

ϕ

ρ

cos 2z

F +=⋅∇

(c)

θ

θ

θsin sin cos 42-+=⋅∇r F

1.15计算下列矢量场的旋度 a) b)

c)

解： (a) z x x y F

ˆˆ2--=⨯∇

(b) ∧

=

⨯∇z F ρ

ϕsin (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1

ϕθθθ+-=⨯∇r

r

F 1.16计算 a)

b)

c)

解：(a) ;ˆˆˆˆρ

ϕρϕρρ

ρ

=∂ψ

∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇z z ;ˆsin ˆˆˆr r r r r r =∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇ϕ

θϕθθ kr kr kr kr ke r

r ke kr e e ˆ)(=∇=∇=∇ (b) ;2)(1=∂∂

=

⋅∇ρρρρρ ;3)(122=∂∂=⋅∇r r r r r

kr kr

kr kr kr ke r

k e k k e e k e k ˆ)(⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ (c) ϕρ

ρˆ)ˆ(;0;0=⨯∇=⨯∇=⨯∇z r

1.17已知

，计算

解：0)(;ˆ2=⨯∇⋅-=⨯∇A A z

A

1.18已知

计算

解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⨯∇F

，所以0=A

⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅∇=ΦV

V r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41

''')'()'()'(41')'('41)(