固体物理 电子教案 5.3平面波法

二级小量，中心方程简化为：
2 2m
(Kn

k)2

2k 2 2m

a(
K
n
)
V (K n )a(0)

0
即
a(Kn )

2k2 2m
V (Kn) 2 2m (Kn
k)2
a(0)


2k2 2m
V (Kn ) 2 2m (Kn

k )2
当
( Kn
k)2
远离
k
2
时，由于V
(
K
n
)是小量，所以
a(
K
n
)也是
小量，但当
(Kn

k)2

k2
时，a(
K
n
)
变得很大，此时中心方程中

除a(0)和 a(Kn )不能忽略外其它项仍是二级小量,可以忽略。中心
方程化为:
2k2

2m



E(k )a(0) V (Kn )a(Kn )
)e
i
(
K
l

k
)r
将

(r
k
)
代入薛定谔方程Hˆ
k
(r )

E(k
)
k
(r)得
:

Kl
2
a(
K
l
)
2m
(
K
l
k)2

E
(
k
)e
iK
l
r


Km
'V
(
K
m
)e i (
Km

Kl
)r


0
V ( Kn )a(0)

2k2

2m

E(k )a( Kn )


0
要使a(0)和a(Kn )有非零解，必须
2k2

E(k)
2m

V (Kn )

V (Kn )
2k2

E(k)

0
2m


利用：V ( Kn ) V ( Kn )
就可得到：
的方程式。在计算精度范围内，可取有限项平面波来作 ( r ) 的
k
近似。在此情况下，上式就变为一个有限项的方程。这样的方
程构成了一个齐次方程组。


a (Kn )，a (Kl ) 有解的条件是，它的系数行列式为零。若以 Kn为

行的指标，Kl 为列的指标，行列式的元素为如下形式：
A Kn ,Kl

V
(Km
)e iK
m

r
km


因为 V (r) 是实数，所以 V ( K m ) V * ( K m )


V (r ) V (r Rn )



V ( K m )eiKm ( r Rn )

eiKm Rn 1


Km


因为 Rn为正格矢，所以 Km 必为倒格矢，即
我们令
k'

k
K n
，则从图

k'
中可以看出，不仅 相等，而且，若把
Kl ,Kn
e dr N Ω i( Km Kl Kn )r
Km ,Kn Kl


2 2m (Kn
因为
K nk，)K2l 有E无(k数)a多(K个 n 取) 值Kl ，KVn所(K以 n上 式K l是)a一(K个l ) 无 0限多项


0

上式点乘 eiKnr 并对整个晶体积分得：
2 2m
(Kn

k)2

E
(k
)a(
K
n
)


V (K n
Kl Kn

Kl
)a(K l
)

0
在上式求解过程中，利用了关系式：
e dr i
(
K
l

K
n
)r

N
Ω
，
禁带宽度 Eg 2V (Kn )
在禁带中不存在布洛赫波描述的电子态。
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为：
Kn
(k
Kn 2
)

0
k'

间中上从式原的点几所何作意义的是倒：格在矢k空K n
Kn
k
0
Kn
2
Kn
的垂直平分面的方程。

k
(r)

1 NΩ
eikr
Kl
a(
K
l
)e
iK
l
r
中 a(0) ~ 1,

其他系数 a(Kl ) 是小量；电子能量也与自由电子能量近似
Ek0

2k 2 2m
电子的近自由电子行为是由势场决定的，此种情况的势
场起伏不大，中心方程中的系数
V(Kn

Kl
) 是小量。若忽略掉
E(k)

2k2 2m

V (Kn)
由此可知，当
(
Kn

k )2

k2
时，波矢k将对应两个能级，
E (k)
2k 2 2m

V (Kn )
2k2

E (k ) 2m V (K n )
这两能极之间的能量区间称为禁带，禁带宽度为相应傅
里叶分量绝对值的二倍。
Ek0

2k2 2m
考虑到 Hˆ 后解薛定谔方程，由布洛赫定理可知波函数应为：

k
(r )

eikr
uk
(r )
其中周期性因子uk (r) 展成傅里叶级数，

k
(
r
)

1
eikr
NΩ
Kl
a(
K
l
)e
iK
l
r

1
NΩ
Kl
a(
K
l


Km m1b1 m2b2 m3b3
5.3.1 微扰计算
哈密顿量可写为 Hˆ 2 2 V r
2m

V(r )

V
(
K
m
)e
iK
m
r
V0

'
V
(
K
m
)e
iK
m
r
km
km
为方便计算，我们取势能平均值V0=0，这样
Hˆ
第三节 平面波方法
本节主要内容： 5.3.1 微扰计算 5.3.2 三维能带与一维能带的区别
§5.3 平面波方法
模型：平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电
子近似。
由势场的周期性
V (r ) V (r Rn )
势能V(r) 是具有周期性的函数，可以作傅氏展开。
V (r)


2 2m
(Kl
k)2
E(k)
V (Kn Kl )
当(Kl Kn ) 当 (Kl Kn)
由此行列式可求出电子的能量 E(k )。
如果电子的行为接近于自由电子时，其波函数与平面波相
近:

0 k
(r)

1
eikr
NΩ
在


2 2 2m


'
V
(
K
m
)e
iK
m
r
Km

Hˆ 0

Hˆ
Hˆ 0


2 2m
2，Hˆ


'
V
(
K
m

)eiK
m
r
Km
由Hˆ 0
0 k
(r
)

E百度文库
0
k
0 k
(r)得零级近似解

0 k
(r
)

1

eikr
V
1

e ik r
NΩ