固体物理电子教案

固体物理

第一章晶体的结构

1．1晶体的共性与密堆积

1.1.1晶体的共性：

长程有序，平移操作，周期性

自限性晶面角守衡定律

各向异性：结构各向异性、性质各向异性

1.1.2密堆积：

晶体是由实心的基石堆砌而成的设想虽然肤浅，但形象的直观的描述了晶体内部的规则排列这一特点，即为密堆积。

一个粒子的周围最近邻的粒子数，可以被用来描写晶体小粒子排列的紧密程度，这个数称为配位数．粒子排列愈紧密，配位数应该愈大．现在来考虑晶体中最大的配位数和可能的配位数。

二维原子球的正方堆积

六角密积及立方密积

在六角和立方两种密积电每个球在同一层内和6个球相邻，又和上下层的3个球相切，所以每个球最近邻的球数是12即配位数是12，这就是晶体结构中最大的配位数．

如果球的大小不等，例如晶体由两种原子组成，则不可能组成密积结构，因而配位数必须小于12，但由于周期性和对称性的特点，晶体也不可能具有配位数11、10和9，所以次一配位数是8，为氯化铅型结构．晶体的配位数不可能是7，再次一个配位数是6，相应于氯化钠型结构．晶体的配位数也不可能是5，下一个配位数是4，为四面体．配位数是3的为层状结，构配位数是2的为链状结构．

配位数是4，为四面体．配位数是3的为层状结，构配位数是2的为链状结构．

作为例子，现在来看由于球的半径不等组成氯化银型或氮化钠型结构时．两种球半径的比．

一氯化铯型

设大球的半径是R,则立方体的边长为a＝2R，空间对角线为．若

小球恰与大球相切，则小球的直径应等于-2R，即小球的半径为

这时排列最紧密，结构最稳定．

如果小球的半径r小于0.73R，则不能和大球相切，结构不稳定，以致不能存在，于是结构将取配位数较低的排列，即取配位数是6的排列．所以，当1＞(r／R)≥0.73时，两种球的排列为氯化铯型

二氯化钠型

当，结构为氯化钠型

1．2布喇菲空间点阵原胞晶胞

1.2.1布喇菲空间点阵

晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。

二维晶体结构，基元及其点阵：

沿三个不同方向通过点阵中的结点作平行的直线族，把结点包括无遗，点阵便构成一个三维网格．这种三维格子称为晶格，又称为布喇菲格子，结点又称格点．

1.2.2 原胞

以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相

等．

下图示出了原胞与基矢．

原胞与基矢

原胞选取的任意性

1.2.3 晶胞

为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．

我们称重复单元的边长矢量为基矢．若以a1、a2和a3表示原胞的基矢。

简立方

原胞基矢与晶胞基矢的关系：

简立方晶胞体心立方原胞基矢

体积：

面心立方

原胞基矢

体积：

立方晶系中几种实际晶体结构：氯化铯：

氯化钠：

金刚石：

钙钛矿：

1．3晶列晶面指数

1.3.1 晶列指数

通过任意两格点作一直线，这一直线称为晶列．晶列最突出的特点是晶列上的格点具有一定的周期．如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都有格点，则称这些直线为同一族晶列．这些直线上的格点的周期都相同．因此，一族晶列的特征有二：一是取向；二是晶列格点的周期．在一个平面内，相邻晶列之间的距离必定相等．

如图中，设矢量

其中a b c 为晶胞基矢，基矢中的系数为互质的整数，即

则这一束直线的方向就可以l, m, n 表示记[l m n ].

1.3.2 晶面指数

原子所在的平面称为晶面，晶面方位用米勒指数标记。设某一原子面在基矢a、b、c方向的截距为ra、sb、tc，将系数r、s、t的倒数简约成互质的整数h、k、l，并用圆括号包括成(h k l)，就是这一晶面的米勒指数。下图标记出立方晶体中几个最为常见而重要的晶面族的米勒指数。

对于六角晶体，由于其六角面上的特殊对称性，通常采用四个晶胞基矢a1、a2、a3与c，如下图所示。

立方晶格的等效晶面

1.4 倒格空间

用正格基矢来构造倒格基矢

将正格基矢在空间平移可构成正格子，相应地我们把倒格基矢平移形成的格子叫倒格子．由a1、a2、a3构成的平行六面体称为正格原胞，相应地我们称由b l、b2、b3构成的平行六面体为倒格原胞．

下边介绍倒格子与正格子的一些重要关系．

（1）正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于

（2）正格子与倒格子互为对方的倒格子

晶胞坐标系中

倒格点P的选取与倒格子基矢

1．5晶体的对称性及晶格结构的分类

晶体具有自限性，外形上的晶面呈现出对称分布．晶体外形这对称性，是晶体内在结构规律性的体现．

人们定义：一个晶体在某变换后，晶格在空间的分布保持不变，这一变换称为对称操作．

在研究晶体结构时，人们视晶体为刚体，在对称操作变换中，晶体两点间的距离保持不变．在数学上称这种变换为正交变换．在

研究晶体的对称性中有以下三种正交变换．

1.5.1 晶体许可的旋转对称轴

周期性要求彼此有相同的格点间距离，换言之，应有

其中m为整数。由图可知

即

在上式中将m分别代以一1、0、1、2、3可得α分别为

如绕轴旋转角度及其整数倍为对称操作则称其为n度旋转轴。上面的讨论表明晶体周期性只允许2度、3度、4度和6

度这四种族转对称轴存在．可分别用数字2、3、4及6或符号、▲、■及

代表．而不允许有5度或其他的旋转对称轴。立方体有6个2度轴、4个3度轴与3个4度轴，均通过立方体的中心，如下图所示。

1.5.2 中心反演：

变换矩阵为：

这一操作称为中心反演，用符号?表示。

1.5.3 晶体的旋转反演轴

?与n的结合也可以是晶体的对称操作，称为n度旋转反演对称。由于周期性制约，同样也只能有2度、3度、4度或6度旋转反演轴，分别用数字记号

、、、，而也就是i。操作的示意图如下。

一个晶体所有的宏观对称操作必满足如下的共同性质。一是必具有不变操作；二是如果具有两个对称操作A与B，则这两个操作相继连续操作的组合操作仍为一对称操作；三是如果A为对称操作，其逆操作也是对称操作。

.5.4 滑移面和螺旋轴