东南大学固体物理基础课后习题解答

《电子工程物理基础》课后习题参考答案
第一章 微观粒子的状态
1-1一维运动的粒子处在下面状态
(0,0)()0
(0)
x
Axe x x x λλψ-⎧≥>=⎨
<⎩
①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知2
220
1x
A
x e
dx λ∞
-=⎰
，解得归一化常数32
2A λ=。

所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)
x
xe
x x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩
（2）粒子坐标的概率分布函数为：3222
4(0,0)
()()0(0)
x
x e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨
<⎩
（3）令
()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1
x λ
=处找到粒
子的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?
③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?
解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：2
2440
211()()(sin )sin
422
a a n n P x x dx x dx a a n ππ
ψπ===-⎰⎰。

（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11
()+46P x π=。

（3）当n→∞时，1
()4
P x =。

此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。

1-3一个势能为221
()2
V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态
2212
()()x m x Ae
αω
ψα-=
求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值221
2U m x ω=。

解：（1）由归一化条件，可知22
21x A e dx α+∞
--∞=⎰，得到归一化常数4A απ
=。

（2）振子的概率密度22
2
()()x
w x x e α
αψπ
-==，由
()
0dw x dx
=得到在0=x 处振子出现的概率最大。

（3）势能平均值22
22222211112244
x m U m x m x e dx αωωωωα+∞--∞====⎰。

1-4设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

22
0()102
x V x m x x ω∞<⎧⎪
=⎨≥⎪⎩ 解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。

半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足
同样的波动方程，但根据题意，在x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。

这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）。

即⎪⎩
⎪⎨⎧<=≥==-)
0(05,3,1)0;()()(221
n x n x x m H e A x n ，ω
ξξψξ，1,1,3,5
2n E n n ω⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭。

1-5电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

解： 电子总能量2
2E 2s e p m r
=-，作近似代换，设~~~
r r p p r p ∆∆∆∆，，由不确定关系，
则2224
222
222222111E ()()2222
s s s s e me me me p m r m r r m r ∆=-=-=--∆∆∆∆。

所以电子的最小能量
4
min
22
s me E =-，与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

1-6氢原子处在基态0
30
(,,)r a r a
ψθϕπ-
=，求：①r 的平均值；②势能2
s e r
-的平均值；③
最概然半径。

解：（1）r 的平均值：
22222
303
1
3(,,)sin sin 2
r a r r r r d d dr e
r d d dr a a ππ
ππ
ψθϕθϕθθϕθπ-
+∞
+∞===
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
（2）势能2
s e r
-的平均值：
0222
222
223
00
000
1(,,)sin sin r
a s s s e e e U r r d d dr e r dr d d r a r a ππ
ππψθϕθϕθθθϕπ-+∞
∞
=-=-=-
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰（3）在球壳dr r r +-的范围内，电子出现的概率为：
00222222
22330
0000
14()(,,)sin sin r
r
a a w r r r d d e r d d e r a a π
π
ππψθϕθθϕθθϕπ--===⎰
⎰
⎰⎰，
由()
0dw r dr
=得在0a r =处电子出现的概率最大，即最概然半径为0a 。

1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E 01及E 02，受到微扰ˆH
'作用，微扰矩阵元 12
211122,H H a H H b ''''====。

a ，b 都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。

解：根据非简并微扰公式∑
-'+'+=n
n
k kk
kk
k k E E H H E E )
0()0(2
'
)
0(，有：
2
2
2221
21(0)(0)
1111
01222202(0)(0)
(0)(0)12
010*******
H H a a E E H E b E E H E b E E E E E E E E ''''=++=++=++=++----，。

1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz ，求在5000K 时，下列两种情况下振动态上粒子占
据数之比。

①n=0，n=1；②n=1，n=2。

解：将氢分子的振动看作为谐振子，因此振子的能级为1
()2
n E n ω=+。

振动态上被粒子占
据的概率服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，则当n=0，n=1 时，0010001001
= 3.55E E E k T
k T
k T
E k T
f e
e
e
f e ω
----===，
当n=1，n=2时，1120002012
= 3.55E E E k T
k T
k T
E k T
f e
e
e
f e ω
-
---===。

1-9求在室温下(k 0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev 和费米能级以下0.1ev 的概率各是多少?
解：由费米-狄拉克分布，电子处在费米能级以上0.1ev 的概率00.14
11
= 1.8%1
1
i E E k T
f e e
-=
=++f
， 电子处在费米能级以下0.1ev 的概率0-0.14
11
=98.2%1
1
i E E k T
f e e
--=
=++f 。

第二章 晶体中原子的状态
2-1. 试说明格波和弹性波有何不同?
提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。

2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即
ρ
E
v =
式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。

2-3. 设有一维原子链，第2n 个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n 个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。

设两种原子的质量相等，最近邻间距为a ，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和a
q 2π
=
时的振动频率。

解：根据题意，原子运动方程为：)1()()()()(21221222212212222
1
22⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫-'+-=-+-'=-+++++n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ
设上两式的行波解为：
)2(]2([22])12([12⎪⎭⎪
⎬⎫==-+-++t na q i n t a n q i n Be x Ae x ωω）将式（2）代入式（1）并整理得：
)3(0))(0)--22⎪⎭
⎪
⎬
⎫='--+'+=+'+'--B m A e e B e e A m iqa iqa iqa iqa ββωββββββω（（）（（3）中的A 、B 有非零解，则方程组的
系数行列式为零，得到：[]
qa m
2cos 21
222
ββββββω'+'+±'+=, 所以当0,)(20='+=
=-+ωββωm q 时，；m
m a q βωβωπ'
===-+2,22时，。

2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界a
q 2π
±=处，声频支中所有轻原子m 静
止，光频支所有重原子M 静止。

证明：声学波两种格波的振幅比02cos 22
>-=⎪⎭⎫
⎝⎛-
-ωββωm qa B A ，光学波两种格波的振幅比0cos 222
<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++qa M B A βωβω。

当a q 2π±→时，，可认为轻原子不动，B A B A <<→⎪⎭⎫
⎝⎛-
0ω，
，可认为重原子不动。

，B A B A >>-∞→⎪⎭⎫
⎝⎛+
ω
2-5. 什么叫声子?它和光子有何异同之处?
答：声子是晶格振动的简正模能量量子，光子是传递电磁相互作用的基本粒子。

两者均为玻色子，其分布均服从玻色-爱因斯坦分布，但产生的原因、描述的现象、对晶格的作用均不同。

2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg ，另一种原子的质量M=4m ，力常数β=15N·m -1，求：
(a) 光学波的最大频率和最小频率0
m ax ω、0
m in ω； (b) 声学波的最大频率A
m ax ω； (c) 相应的声子能量是多少eV?
(d) 在300K 可以激发多少个频率0
m ax ω、0m in ω、A
m ax ω的声子? (e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少? 解：（a ）m M
m mM
8.0=+=
μ，
即s rad /106.70152130max ⨯==
μ
β
ω，s rad m
/105.9942130
min
⨯==β
ω； （b ）s rad M
/102.997213A
max ⨯==
β
ω； （c ）eV E 04417.00max 1==ω ，eV E 0395.00
min 2==ω ，eV E A 01975.0max 3==ω ；
（d ）122.011
max
max =-=
kT
o e
n ω ，772.011
min
min =-=
kT
o
e
n ω ，287.01
1
max
max =-=
kT
A
A
e
n ω ； （e ）m c
o 5max
10138.22-⨯==
ωπλ。

2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量
ω 2
1
，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解：晶体的零点振动能0E 是各振动模式零点能之和。

即晶体的零点振动能为：
D Nl d v V d
E D
D ωωωπωωωρωεωω 8
9
2321)()(2320
00=⋅==⎰
⎰。

2-8. 设长度为L 的一维简单晶格，原子质量为m ，间距为a ，原子间的互作用势可表示成
()cos()U a A a
δ
+δ=-。

试由简谐近似求：
（1）色散关系； （2）模式密度()ρω；
（3）晶格热容（列出积分表达式即可）。

解：（1）原子间的弹性恢复力系数为22
2=
a
d U
A d a δβδ=，带入色散关系即qa m A a 2
1sin 2=ω； （2）对于一维简单晶格，在波矢q q dq -+中的振动模式数为22L Na
dq dq ππ
⨯=，即 模式密度()Na dq d ρωπω=。

由（1）所得的色散关系为qa qa m A a m 2
1
sin 21sin 2ωω==，
即
122d a qa dq ωω===，
带入模式密度表达式整理后
可得：()ρω=
=
（3） 带入公式可得晶格比热/2
/0
(
)
(1)D
kT
V kT
e C k kT
e
ωωωω
ω=
-⎰。

2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率ω的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。

而ω 代表
一个声子。

因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。

这种说法是否正确? 提示：不正确，因为声子是一种玻色子，其分布服从玻色-爱因斯坦分布，即()1
1-=
kT
e
n ω
ω ，
可知平均声子数与与温度有关，温度越高，平均声子数越多。

2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。

解：（1）在一维情况下，在波矢q q dq -+中的振动模式数为22L
dq ⨯π。

由于德拜模型假设v q
ω
=
，所以在d ωωω-+中振动模式数为()L d d v ρωωωπ=
，
即频谱密度()L
v
ρωπ=。

且
()D
D L d N v ωρωωωπ=
=⎰
，即D N v L πω=，故德拜温度=
D D N T k Lk
ωπν
=。

带入公式可得晶格比热/2/2
0()(1)D kT
V kT L e C k d v kT e ωωωωωπ=
-⎰。

（2）在二维情况下，在波矢q q dq -+中的振动模式数为2
22(2)
S
qdq ⨯
⋅ππ，由于德拜模型假设v q
ω
=
，所以在d ωωω-+中振动模式数为()Sq
d d v
ρωωωπ=
，即频谱密度2()Sq
S v v ωρωππ=
=，且20()2D D S d N v
ωω
ρωωωπ==⎰，即2D ω=，故德拜温度
D
D T k ω=
2v N k
S π=，代入公式可得晶格比热/2/220()(1)2D kT V kT e S C k d kT e v
ωωωωω
ωπ=-⎰。

2-11. 简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：
①T>>θD ；②T<<θD ；③介于①、②之间的温度。

答：①T>>θD 时，此时热容V C 不随温度变化，声子的平均自由程l 近似反比于声子总数，因声子数()ω
ωω kT
e
n kT
≈-=
1
1近似正比于T ，故绝缘体的热导率反比于温度T ，正比于T 1；
②T<<θD 时，此时声子的平均自由程不随温度变化，热容V C 正比于温度T 3，即绝缘体的热导率正比于温度T 3；
③温度适中时，此时热容V C 不随温度变化，发生U 过程的声子数量()T
kT
D
D
e e
n 221
1θωω-
≈-=
，
即绝缘体的热导率正比于T
D
e 2θ-。

第三章 晶体中的大量电子
3-1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为0
32
k ，按照量子论的观点，如取5=F E eV ，则为
040k ，只为经典值的60
1。

试解释何以两者相差这么大。

提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电
子对比热才有贡献。

室温下T F >>T ，大多数电子运动不自由，对热容的贡献很小，只有费米面附近约kT 范围的电子对热容有显著贡献，故一般情况下电子气的热容很小。

3-2. 限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子。

电子能量
()()2
22,2x y x
y E k k k k m
=
+
(a) 求能量E 到dE E +之间的状态数； (b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。

解：（a ）在二维系统中，波矢到+k k dk 中的状态数对应2kdk π圆环中包含的状态数。

且在k 空间中，二维点密度为
2
4π
S ,每个状态可容纳自旋相反的两个电子，所以
2224=⨯⨯π=ππdZ S S k k dk ，由题可得22
()2=k E k m ，即2
()==π
dZ dk S m g E dk dE ，所以能量E 到dE E +之间的状态数2
2
()==πmL dZ g E dE dE 。

（b ）热力学零度时，系统总电子数0020
20
()()()=
==π
⎰
⎰
F
F
E E
F mL N f E g E dE g E dE E ，即
220
2F
N n E mL m ππ==，其中2
N n L =
表示单位面积内的电子数。

3-3. 设有一金属样品，体积为53
10m -，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev 的总的状态数。

解：低于5ev 的总的状态数313
22222220
22()()()23==ππ
⎰
⎰
=
E E mE V m V N g E dE E dE ， 其中ev E 50=，带入数据得低于5ev 的总的状态数约为23
105.06⨯。

3-4. 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
()332.08 2.5710/C T T J mol K -=+⨯⋅
若一个摩尔的钾有23
106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和拜温度D θ。

解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T ，晶格热容正比于T 3。

所以有2
342.0810 1.965102
F F
T
A Nk
T T K T π-=
=⨯=⨯，解得， 433312() 2.5710915D D
T B Nk T K πθθ-==⨯=，解得。

3-5. 一维周期场中电子波函数()k x ψ应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a ，电子的波函数为如下，试求电子在这些状态的波矢。

（a ）()sin
k x x a
π
ψ= （b ）()3cos k x i x a
π
ψ= （c ）()()ψ∞
=-∞
=
-∑k i x f x la （f 是某个确定的函数）
解: （a ）()()ψ=ikx k k x e u x ，所以()()ikx k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+, 则有()sin sin ()ππ--+⎛⎫⎡⎤
=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
ikx
ik x a e
x e x a a a ，所以1-=-ika e 。

得21
0,1,2，π+=
=±±n k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a
a
π
π
-
<≤
，则k a
π
=。

（b ）()()ψ=ikx
k k x e u x ，所以()()ikx
k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+,
则有()33cos cos ()ππ--+⎛⎫⎡⎤
=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
ikx
ik x a e
i x e i x a a a ，所以1-=-ika e 。

得21
0,1,2，π+=
=±±n k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a
a
π
π
-
<≤
，则k a
π
=。

（c ）()()ψ=ikx
k k x e u x ，所以()()ikx
k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+,
则有()()[]
()
()
(1)ikx
ik x a ik x a i i i e
f x la e
f x a la e
f x l a ∞
∞
∞
--+-+=-∞
=-∞
=-∞
-=+-=--∑∑∑，所以
1-=ika e ，得20,1,2，π=
=±±n
k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a a
π
π
-
<≤
，则0k =。

3-6.证明，当0
0F k T E <<时，电子数目每增加一个，则费米能变化
00
1
()
F F E g E ∆=
其中0
()F g E 为费米能级的能态密度。

解：热力学零度时费米能级22
2033()2π=
F
N E m V。

电子数目每增加一个，即费米能级的变化()2
22
220
3333()12π⎡⎤∆=+-⎢⎥⎣⎦
F
E N N m V ，且有()22223333121(1)(1)3+=+≈+
N N N N N ，31
02
222()4()()F
F m g E V E h
π=，带入后化简即可得00
1()F F E g E ∆=。

3-7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数。

提示：只要证明ˆp
p ψψ≠即可，其中ˆp 为动量算符，ψ为布洛赫函数。

证明：布洛赫函数可以表示为()()r u e r k r
k i k
⋅=ψ，动量算符∇-= i p
ˆ作用在布洛赫函数上得[]
)()()()()(r p r u e i r k r u e i r i k k r
k i k k r k i k ψψψ≠∇-=∇-=∇-⋅⋅，即布洛赫函数不
是动量的本征函数。

3-8.电子在周期场中的势能
()()()()2
221201ω⎡⎤=
-- -≤≤+⎣⎦ = -+≤≤-⎡⎤⎣⎦
V x m b x la la b x la b l a b x la b
式中，ω，b a 4=是常数。

试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。

解：势能曲线如下图所示：
由势能曲线可知：)(x V 是以b a 4=为周期的周期函数，所以平均势能
()()22
223322
01111121()22236T la b la b V x V x dx m b x la dx m b b m b T a a ωωω+-⎛⎫⎡⎤==⨯--=⨯⨯-= ⎪⎣⎦⎝
⎭⎰⎰
3-9.用近自由电子模型处理上题。

求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。

解：由图可知：势能)(x V 在周期)2,2(b b -上是偶函数，将其展开成傅立叶级数为
()'0cos 2n n n V x V V x b π
⎛⎫=+
⎪⎝⎭∑，其中221()cos 42b n b n V V x x dx b b
π
-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
⎰。

即第一个禁带宽度 2
22222
2
11333282()cos 424b
g b m m b m b E V b x x dx b b b ωπωωππ-⎛⎫
==
-=⨯= ⎪⎝⎭
⎰，第二个禁带宽度2
22222
22222
42()cos 44b
g b
m m b m b E V b x x dx b
b
b ωπ
ωωππ-⎛⎫
==
-=⨯= ⎪⎝⎭
⎰。

3-10. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k 都存在一个与之简并的状态-k ，为什么只在
n a
π
附近才用简并微扰，而其它k 值却不必用简并微扰处理呢? 提示：由非简并微扰计算可得，只有两个状态k 之间必须满足2n
k k a
π'-=
（n 为整数）时，0≠'kk
H ，才会对微扰解有贡献，否则适用于非兼并微扰。

3-11. 能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N 有无关系?
3-12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面吗?
提示：不一定。

对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维和三维则不一定。

可能存在第一布里渊区在某个k 方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值，使能带出现交叠，导致多个允带贯通，即很大范围内没有禁带，能级上都能填充电子。

3-13. 已知一维晶体的电子能带可写成
()2
271cos cos 288E k ka ka ma ⎛⎫
=
-+ ⎪⎝⎭
其中a 是晶格常数，试求：
（a ）能带的宽度；
（b ）电子在波矢k 的状态时的速度； （c ）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（a ）首先求能量的最大值和最小值，由
0cos 211sin )(=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ka ka a dk k dE 得a n k π=。

当n 为偶数时,0)(min =k E ,当n 为奇数时,2
2
max 2)(ma
k E =，所以能带宽度=∆E 2
2min
max 2)()(ma k E k E =-； （b ）速度)cos 211(sin 2sin 41sin )(1)(ka ka ma
ka ka ma dk k dE k v -=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-==
； （c ）有效质量ka ka m dk k E d m 2cos 21cos )(2
22-==*
,由（a ）可知：能带底处有a
n k π
=，n
为偶数，代入上式得m m
2=*底
，能带顶处有a n k π=
，n 为奇数，代入上式得m m 3
2-=*
顶。

3-14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s 态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带
为
()04cos cos cos cos cos cos 222222y y x x z z k a k a k a k a k a k a
E k E A J ⎛⎫=--++ ⎪⎝
⎭，
并求能带底部电子的有效质量。

解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为：
,,0),,,0),,0,),,0,),0,,),0,,)222222222222
（（（（（（±±-±±-±-±a a a a a a a a a a a a 。

带入紧束缚方法得到的能量式0()()s
s ik R i s R E k E J J R e -⋅=--∑=near
,得到面心立方s 态原子能
级相对应的能带：
()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++--=+--+----+------+--+------+--+-z y z y z y z y z x z x z x z x y x y x y x y x k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a
i k k a
i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i e e e e e e e e e e e e
J A E k E 222222222222
0)(⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=------22222222222204a k i a k i a
k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i x x z z z z y y y y x x e e e e e e e e e e e e J A E 04(cos cos cos cos cos cos )222222
y y x x z z k a k a k a k a k a k a
E A J =--++
由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当0===z y x k k k 时,s E 取最小值,即在能带底
0===z y x k k k ，电子的有效质量J
a k k E m k x x
220
2
2
2
2)( =∂∂==*，同理可得：J a m y 222 =*
，
J a m z
222 =*，即J
a m 222 =*。

3-15. 紧束缚方法导出体心立方晶体s 态电子的能带
()08cos cos cos 222y x z k a k a k a E k E A J ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
试画出沿x k 方向（0y z k k ==）()x E k 和()x v k 的曲线。

解：（1）任取一个格点为原点，最近邻格点有8个，它们的位置坐标分别为：（2
,2,2a
a a ±±±）。

带入紧束缚方法得到的能量式0()()s s ik R i s R E k E J J R e -⋅=--∑
=near
,得到体心立方s 态原子能
级相对应的能带：
()()()()()()()()⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++--=++--+-+-------+--+++z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x k k k a i k k k a i k k k a i k k k a
i k k k a
i k k k a i k k k a i k k k a i e e e e e e e e J A E k E 222222220)( ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---2cos 2cos 2cos 880222222
0a k a k a k J A E e e e e e e J A E z y x a k i a k i a k i a k i a k i a k i z z y y x x
沿x k 方向（0y z k k ==），能量()08cos 2
x x k a
E k E A J =--，最大值max 08E E A J =-+，最小值min 08E E A J =--，速度()1()4sin 2
x x x k a E k Ja
v k k ∂=
=∂，曲线略。

3-16.用图示法表示出金属，绝缘体，本征半导体的能带填充情况。

画出费米能级的位置。

并注明能隙的经典数据。

解：
金属或导体的能带中一定有不满带，价带是满带，导带是半满带，费米能级在导带中； 绝缘体中的能带只有满带和空带，价带是满带，导带是空带，禁带很宽，费米能级在禁带中央；
半导体和绝缘体相似，能带中只有满带和空带，但禁带较窄，费米能级仍在禁带中央。

各能带示意如下图所示：
3-17.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？
解：密度泛函理论直接用概率密度n(x)而不是波函数来描述电子运动，其基本量n具有直观的电子云密度的含义，以密度n为自变量进行数值分析能得到真实的密度解。